二次根式知识点

二次根式的知识点汇总

知识点一： 二次根式的概念

形如

（

）的式子叫做二次根式。

注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以

，

等是二次根式，而

是，

为二次根式的前提条件，如

等都不是二次根式。

，

知识点二：取值范围

1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，

有意义，是

二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。 2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，

义。

知识点三：二次根式

（

）的非负性

没有意

（0

（

）表示a的算术平方根，也就是说，）。

（

）是一个非负数，即

注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0

）的算术平方根是非负数，即

0（

），

的算术平方根是0，所以非负数（

这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解

答题目时应用较多，如若

，则a=0,b=0。

，则a=0,b=0

；若

，则a=0,b=0

；若

知识点四：二次根式（）的性质

（）

文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 注：二次根式的性质公式

（

）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的

公式也可以反过来应用：若知识点五：二次根式的性质

，则，如：，.

文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 注： 1、化简

时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则

；若a是负数，则等于a的相反数-a,

即

；

等于a

本身，即

2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；

3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。

知识点六：与的异同点

1、不同点：平方，而

与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的

中

，而，

中a。

表示一个实数a的平方的算术平方根；在

与

都是非负数，即

可以是正实数，0

，负实数。但

因而它的运算的结果是有差别的， ，而

2、相同点：当被开方数都是非负数，

即而

.

时，=；时，无意义，

二次根式测试题（一）

1． 下列式子一定是二次根式的是（ ）

A．x2 B．x C．x2 D．

2

2．若(3b)3b，则（ ）

2

x22

A．b>3 B．b

xx2

4．若x

x

A．0 B．—2 C．0或—2 D．2 5．下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） A． B．48 C．6．如果xx6

a

D．4a4 b

x(x6)，那么（ ）

4

2

A．x≥0 B．x≥6 C．0≤x≤6 D．x为一切实数

7．小明的作业本上有以下四题：①a4a；②5aa52a； ③a

11

a2a；④a2aa。做错的题是（ ） aa

A．① B．② C．③ D．④

11的结果为（ ）A． B．30 C． D．30 563030

9．若最简二次根式a与42a的被开方数相同，则a的值为（ ）

8．化简

34

B．a C．a=1 D．a= —1 43

10．化简2(22)得（ ）A．—2 B．22 C．2 D． 422

A．a

2

11．①(0.3)；②(2)

2

12．二次根式

1x3

有意义的条件是 。

2

13．若m

115．比较大小：m3。

x21成立的条件是

16．2xyy27。 17．计算a18．

33aa a132

与32的关系是 。

53，则x26x5的值为

1

20．化简45的结果是

3

19．若x

21．求使下列各式有意义的字母的取值范围： （1）x4 （2）

22．化简：

（1）(144)(169) （2）

23．计算：

11

8a （3）m24 （4） 3x

11

225 （3）5 （4）m2n 32

23324

 （2） （3）3(945) （1）7341425

22

（4）7

24．若x，y是实数，且y

33113 （5）454542 （6）62 28322

x1x

|1y|1

，求的值。

y12

二次根式测试题（二）

1．下列说法正确的是（ ）

2

A．若aa，则a

24824

2．二次根式

m13

2(m3)的值是（ ）

2

A．32 B．2 C．22 D．0 3．化简|xy|x(xy0)的结果是（ ）

A．y2x B．y C．2xy D．y 4．若

a

是二次根式，则a，b应满足的条件是（ ） b

A．a，b均为非负数 B．a，b同号 C．a≥0，b>0 D．5．已知a

3

a0 b

A．aab B．aab C．aab D．aab

1

根号外的因式移到根号内，得（ ） m

A．m B．m C．m D．m

6．把m

7．下列各式中，一定能成立的是（ ）

A．(2.5)2(2.5)2 B．a2(a)2 C．x22x1x-1 D．x298．若x+y=0，则下列各式不成立的是（ ）

22

A．xy0 B．xy0 C．x

2

x3

x3

y20 D．xy0

9．当x3时，二次根m2x25x7式的值为5，则m等于（ ）

x

2

10．已知x22xx10，则x等于（ ） A．4 B．±2 C．2 D．±4 11．若x5不是二次根式，则x的取值范围是12．已知a

cm，高为cm，则它的体积为cm

3

16．若yx33x4，则xy

17．若的整数部分是a，小数部分是b，则ab 18．若m(m3)19．若x

2

,

mm3，则m的取值范围是

13

x1,则yy2431

222

20．已知a，b，c为三角形的三边，则(abc)(bca)(bca)

21

221

4

x11

2x)3x 22(5486274) 23(64x2

(2)2 25

24(21)

26已知：x

1

21

27(31)0

231

，求xx1的值。

2

27已知：y8xx1

28.阅读下面问题：

1

,求代数式2xy

2yxxy

2的值。 yx

1122



1(21)(21)(21)

32;

21； 12



52

52

132

(2)(2)111试求：⑴的值；⑵的值；⑶（n为正整数）的值。 1n3276



(2)(32)

勾股定理知识总结

一．基础知识点： 1：勾股定理

直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a+b＝c） 要点诠释：

勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用： （1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC中，C90，

则c

b

，a）

2

2

2

（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题

2：勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a+b＝c，那么这个三角形是直角三角形。 要点诠释：

勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：

（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；

（2）验证c与a+b是否具有相等关系，若c＝a+b，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形

（若c>a+b，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系

区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。

4：互逆命题的概念

如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

规律方法指导

1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。

2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。

3．勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。

4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a，b，c有下列关系：a+b＝c，•那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法． 5.•应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解．

ED

BC

222

我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理）

A

b

5：勾股定理的证明

勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法

a

bc

a

b

用拼图的方法验证勾股定理的思路是

①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：

1

方法一：4SS正方形EFGHS正方形ABCD，4ab(ba)2c2，化简可证．

2

D

b

c

cb

C

a

a

E

b

A

c

B

方法二：

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．

1

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S4abc22abc2

2大正方形面积为S(ab)2a22abb2 所以a2b2c2

6：勾股数

①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2b2c2中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数

②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等

勾股定理练习

一．填空题：

1. 在Rt△ABC中，∠C=90°

（1）若a=5，b=12，则c=________； （2）b=8，c=17，则S△ABC=________。

2.若一个三角形的三边之比为5∶12∶13，则这个三角形是________（按角分类）。 3. 直角三角形的三边长为连续自然数，则其周长为________。

4．传说,古埃及人曾用＂拉绳”的方法画直角,现有一根长24厘米的绳子,请你利用它拉出一个周长为24厘米的直角三角形,那么你拉出的直角三角形三边的长度分别为_______厘米,______厘米,________厘米,其中的道理是______________________.

5.命题“对顶角相等”的逆命题为___________________,它是____命题.(填“真”或“假”) 6．观察下列各式：32+42=52；82+62=102；152+82=172；242+102=262；„„；你有没有发现其中的规律？请用你发现的规律写出接下来的式子：____________________________。

7．利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图(最早由三国时期的数学家赵爽给出的)．从图中可以看到：大正方形面积＝小正方形面积＋四个直角三角形面积． 因而c2＝ ＋ ,化简后即为c2

a

b

第8题图

8． 一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路

线的长是_____________。

二．选择题：

9．观察下列几组数据:(1) 8, 15, 17; (2) 7, 12, 15; (3)12, 15, 20; (4) 7, 24, 25. 其中能作为直角三角形的三边长的有( )组

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

10．三个正方形的面积如图，正方形A的面积为（ ）

A. 6 B.４ C. 64 D. 8

11.已知直角三角形的两条边长分别是5和12，则第三边为 （ Ａ． １３ Ｂ．

Ｃ．１３或 Ｄ． 不能确定

12.下列命题①如果a、b、c为一组勾股数，那么4a、4b、4c仍是勾股数；②如果直角三角形的两边是5、12，那么斜边必是13；③如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a、b、c，（a>b=c），那么a2∶b2∶c2=2∶1∶1。其中正确的是（ ） A、①②

B、①③

C、①④

D、②④

13.三角形的三边长为（a+b）2=c2+2ab,则这个三角形是( )

A. 等边三角形; B. 钝角三角形; C. 直角三角形; D. 锐角三角形.

14.如图一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距 （ ） A、25海里 A、40

B、30海里 B、80

C、35海里

D、40海里

15. 已知等腰三角形的腰长为10，一腰上的高为6，则以底边为边长的正方形的面积为（ ）

C、40或360

D、80或360

16．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要（ ） A、450a元

三．解答题：

17．如图1，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）

（A）CD、EF、GH

（B）AB、EF、GH （D）AB、CD、EF

（C）AB、CD、GH

B、225a 元 C、150a元

D、300a元

东

第14题

第16题图

图1

18.(1)在数轴上作出表示

2 的 点.

2和

(2)在第(1)的基础上分别作出表示 1-

2 +1的点.

19．有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线长，已知门宽4尺， 求竹竿高与门高。

20．一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？

AA

O

B第20题图

11

二次根式（一）

1．C 2．D 3．B 4．D 5．A 6．B 7．D 8．C 9．C 10．A 11．①0.3 ②52 12．x≥0且x≠9 13．—m 14．x≥1 15．

3

21．（1）x

41 （2）a （3）全体实数 （4）x0 324

3

22．解：（1）原式=1691213156；（2）原式=1155； （3）原式=

1122

253216；（4）原式=3m2n3m2n。 22

14

25

25

23．解：（1）原式=49×321；（2）原式=1241； （3）原式=215(275)27453；

3

4

3

（4）原式=

49

28126

974



7227

42

2

；

3656

。 6

22

（5）原式=453522428522；（6）原式=6624．解：∵x—1≥0, 1—x≥0,∴x=1，∴y

1

.∴|1y|=1y1. 2y1y1

二次根式（二）

1．C 2．B 3．B 4．D 5．A 6．C 7．A 8．D 9．B 10．C 11．x

21．解：原式=2(21)324222232223

2

2

；

22．解：原式=(54634)3(234)245； 23．解：原式=(3x2x)3x1；

3

3232214224．解：原式44214

2(1)25．解：原式=31314； 26．解: x1, (1)(1)

1

1

1

3

原式(31)2(1)14211633

27．解：18x0,8x10,18x8x10x原式=

11

21128

11

21128

1

424

1

24

1

，∴y1。∴ 82

25

4

4

953

1422

28．解：登山者看到的原水平线的距离为d18

n2n

，现在的水平线的距离为d28 55

12

29 ⑴

17=6 ⑵

132=32 ⑶

1n1n

=n1n

13

二次根式的知识点汇总

知识点一： 二次根式的概念

形如

（

）的式子叫做二次根式。

注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以

，

等是二次根式，而

是，

为二次根式的前提条件，如

等都不是二次根式。

，

知识点二：取值范围

1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，

有意义，是

二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。 2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，

义。

知识点三：二次根式

（

）的非负性

没有意

（0

（

）表示a的算术平方根，也就是说，）。

（

）是一个非负数，即

注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0

）的算术平方根是非负数，即

0（

），

的算术平方根是0，所以非负数（

这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解

答题目时应用较多，如若

，则a=0,b=0。

，则a=0,b=0

；若

，则a=0,b=0

；若

知识点四：二次根式（）的性质

（）

文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 注：二次根式的性质公式

（

）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的

公式也可以反过来应用：若知识点五：二次根式的性质

，则，如：，.

文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 注： 1、化简

时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则

；若a是负数，则等于a的相反数-a,

即

；

等于a

本身，即

2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；

3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。

知识点六：与的异同点

1、不同点：平方，而

与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的

中

，而，

中a。

表示一个实数a的平方的算术平方根；在

与

都是非负数，即

可以是正实数，0

，负实数。但

因而它的运算的结果是有差别的， ，而

2、相同点：当被开方数都是非负数，

即而

.

时，=；时，无意义，

二次根式测试题（一）

1． 下列式子一定是二次根式的是（ ）

A．x2 B．x C．x2 D．

2

2．若(3b)3b，则（ ）

2

x22

A．b>3 B．b

xx2

4．若x

x

A．0 B．—2 C．0或—2 D．2 5．下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） A． B．48 C．6．如果xx6

a

D．4a4 b

x(x6)，那么（ ）

4

2

A．x≥0 B．x≥6 C．0≤x≤6 D．x为一切实数

7．小明的作业本上有以下四题：①a4a；②5aa52a； ③a

11

a2a；④a2aa。做错的题是（ ） aa

A．① B．② C．③ D．④

11的结果为（ ）A． B．30 C． D．30 563030

9．若最简二次根式a与42a的被开方数相同，则a的值为（ ）

8．化简

34

B．a C．a=1 D．a= —1 43

10．化简2(22)得（ ）A．—2 B．22 C．2 D． 422

A．a

2

11．①(0.3)；②(2)

2

12．二次根式

1x3

有意义的条件是 。

2

13．若m

115．比较大小：m3。

x21成立的条件是

16．2xyy27。 17．计算a18．

33aa a132

与32的关系是 。

53，则x26x5的值为

1

20．化简45的结果是

3

19．若x

21．求使下列各式有意义的字母的取值范围： （1）x4 （2）

22．化简：

（1）(144)(169) （2）

23．计算：

11

8a （3）m24 （4） 3x

11

225 （3）5 （4）m2n 32

23324

 （2） （3）3(945) （1）7341425

22

（4）7

24．若x，y是实数，且y

33113 （5）454542 （6）62 28322

x1x

|1y|1

，求的值。

y12

二次根式测试题（二）

1．下列说法正确的是（ ）

2

A．若aa，则a

24824

2．二次根式

m13

2(m3)的值是（ ）

2

A．32 B．2 C．22 D．0 3．化简|xy|x(xy0)的结果是（ ）

A．y2x B．y C．2xy D．y 4．若

a

是二次根式，则a，b应满足的条件是（ ） b

A．a，b均为非负数 B．a，b同号 C．a≥0，b>0 D．5．已知a

3

a0 b

A．aab B．aab C．aab D．aab

1

根号外的因式移到根号内，得（ ） m

A．m B．m C．m D．m

6．把m

7．下列各式中，一定能成立的是（ ）

A．(2.5)2(2.5)2 B．a2(a)2 C．x22x1x-1 D．x298．若x+y=0，则下列各式不成立的是（ ）

22

A．xy0 B．xy0 C．x

2

x3

x3

y20 D．xy0

9．当x3时，二次根m2x25x7式的值为5，则m等于（ ）

x

2

10．已知x22xx10，则x等于（ ） A．4 B．±2 C．2 D．±4 11．若x5不是二次根式，则x的取值范围是12．已知a

cm，高为cm，则它的体积为cm

3

16．若yx33x4，则xy

17．若的整数部分是a，小数部分是b，则ab 18．若m(m3)19．若x

2

,

mm3，则m的取值范围是

13

x1,则yy2431

222

20．已知a，b，c为三角形的三边，则(abc)(bca)(bca)

21

221

4

x11

2x)3x 22(5486274) 23(64x2

(2)2 25

24(21)

26已知：x

1

21

27(31)0

231

，求xx1的值。

2

27已知：y8xx1

28.阅读下面问题：

1

,求代数式2xy

2yxxy

2的值。 yx

1122



1(21)(21)(21)

32;

21； 12



52

52

132

(2)(2)111试求：⑴的值；⑵的值；⑶（n为正整数）的值。 1n3276



(2)(32)

勾股定理知识总结

一．基础知识点： 1：勾股定理

直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a+b＝c） 要点诠释：

勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用： （1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC中，C90，

则c

b

，a）

2

2

2

（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题

2：勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a+b＝c，那么这个三角形是直角三角形。 要点诠释：

勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：

（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；

（2）验证c与a+b是否具有相等关系，若c＝a+b，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形

（若c>a+b，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系

区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。

4：互逆命题的概念

如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

规律方法指导

1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。

2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。

3．勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。

4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a，b，c有下列关系：a+b＝c，•那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法． 5.•应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解．

ED

BC

222

我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理）

A

b

5：勾股定理的证明

勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法

a

bc

a

b

用拼图的方法验证勾股定理的思路是

①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：

1

方法一：4SS正方形EFGHS正方形ABCD，4ab(ba)2c2，化简可证．

2

D

b

c

cb

C

a

a

E

b

A

c

B

方法二：

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．

1

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S4abc22abc2

2大正方形面积为S(ab)2a22abb2 所以a2b2c2

6：勾股数

①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2b2c2中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数

②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等

勾股定理练习

一．填空题：

1. 在Rt△ABC中，∠C=90°

（1）若a=5，b=12，则c=________； （2）b=8，c=17，则S△ABC=________。

2.若一个三角形的三边之比为5∶12∶13，则这个三角形是________（按角分类）。 3. 直角三角形的三边长为连续自然数，则其周长为________。

4．传说,古埃及人曾用＂拉绳”的方法画直角,现有一根长24厘米的绳子,请你利用它拉出一个周长为24厘米的直角三角形,那么你拉出的直角三角形三边的长度分别为_______厘米,______厘米,________厘米,其中的道理是______________________.

5.命题“对顶角相等”的逆命题为___________________,它是____命题.(填“真”或“假”) 6．观察下列各式：32+42=52；82+62=102；152+82=172；242+102=262；„„；你有没有发现其中的规律？请用你发现的规律写出接下来的式子：____________________________。

7．利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图(最早由三国时期的数学家赵爽给出的)．从图中可以看到：大正方形面积＝小正方形面积＋四个直角三角形面积． 因而c2＝ ＋ ,化简后即为c2

a

b

第8题图

8． 一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路

线的长是_____________。

二．选择题：

9．观察下列几组数据:(1) 8, 15, 17; (2) 7, 12, 15; (3)12, 15, 20; (4) 7, 24, 25. 其中能作为直角三角形的三边长的有( )组

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

10．三个正方形的面积如图，正方形A的面积为（ ）

A. 6 B.４ C. 64 D. 8

11.已知直角三角形的两条边长分别是5和12，则第三边为 （ Ａ． １３ Ｂ．

Ｃ．１３或 Ｄ． 不能确定

12.下列命题①如果a、b、c为一组勾股数，那么4a、4b、4c仍是勾股数；②如果直角三角形的两边是5、12，那么斜边必是13；③如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a、b、c，（a>b=c），那么a2∶b2∶c2=2∶1∶1。其中正确的是（ ） A、①②

B、①③

C、①④

D、②④

13.三角形的三边长为（a+b）2=c2+2ab,则这个三角形是( )

A. 等边三角形; B. 钝角三角形; C. 直角三角形; D. 锐角三角形.

14.如图一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距 （ ） A、25海里 A、40

B、30海里 B、80

C、35海里

D、40海里

15. 已知等腰三角形的腰长为10，一腰上的高为6，则以底边为边长的正方形的面积为（ ）

C、40或360

D、80或360

16．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要（ ） A、450a元

三．解答题：

17．如图1，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）

（A）CD、EF、GH

（B）AB、EF、GH （D）AB、CD、EF

（C）AB、CD、GH

B、225a 元 C、150a元

D、300a元

东

第14题

第16题图

图1

18.(1)在数轴上作出表示

2 的 点.

2和

(2)在第(1)的基础上分别作出表示 1-

2 +1的点.

19．有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线长，已知门宽4尺， 求竹竿高与门高。

20．一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？

AA

O

B第20题图

11

二次根式（一）

1．C 2．D 3．B 4．D 5．A 6．B 7．D 8．C 9．C 10．A 11．①0.3 ②52 12．x≥0且x≠9 13．—m 14．x≥1 15．

3

21．（1）x

41 （2）a （3）全体实数 （4）x0 324

3

22．解：（1）原式=1691213156；（2）原式=1155； （3）原式=

1122

253216；（4）原式=3m2n3m2n。 22

14

25

25

23．解：（1）原式=49×321；（2）原式=1241； （3）原式=215(275)27453；

3

4

3

（4）原式=

49

28126

974



7227

42

2

；

3656

。 6

22

（5）原式=453522428522；（6）原式=6624．解：∵x—1≥0, 1—x≥0,∴x=1，∴y

1

.∴|1y|=1y1. 2y1y1

二次根式（二）

1．C 2．B 3．B 4．D 5．A 6．C 7．A 8．D 9．B 10．C 11．x

21．解：原式=2(21)324222232223

2

2

；

22．解：原式=(54634)3(234)245； 23．解：原式=(3x2x)3x1；

3

3232214224．解：原式44214

2(1)25．解：原式=31314； 26．解: x1, (1)(1)

1

1

1

3

原式(31)2(1)14211633

27．解：18x0,8x10,18x8x10x原式=

11

21128

11

21128

1

424

1

24

1

，∴y1。∴ 82

25

4

4

953

1422

28．解：登山者看到的原水平线的距离为d18

n2n

，现在的水平线的距离为d28 55

12

29 ⑴

17=6 ⑵

132=32 ⑶

1n1n

=n1n

13