中国农业发展方向的数学模型

桂林电子科技大学第九届大学生数学建模

竞赛

承 诺 书

我们仔细阅读了桂林电子科技大学第九届大学生数学建模竞赛的竞赛规则。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

参赛队员信息 ：

中国农业发展方向的数学模型

一、摘要

本次建模旨在解决寻找中国农业发展方向的问题。为了解决相关问题，我们

建立了一个用于分析、预测农业发展的灰色模型。在建立模型的过程中我们用到了层次分析法，对各个问题提取出几个具有代表性的指标（粮食进口量、全国年均降雨量、耕地面积、农村居民年均收入、城乡人口比例），首先找到了主要粮食作物与各指标间的关系，由此推导出农产品产量与各素间的关系。我们所建立的模型的主要特点是思路清晰。

关键字

农业发展 层次分析法 灰色模型

二、问题的重述与分析

2.1问题的重述

农业发展水平直接影响到一个国家的粮食能否自给自足。

第一要解决的问题是建立一个可靠的模型来比较各已知存在问题对中国农业发展影响大小，最后给出一个影响大小的排序。

第二要问题是要建立相应的模型，预测我国未来三年：水稻、小麦，玉米三中粮食作物的产量。

2.2问题的分析

1、中国农村问题的研究，目前似乎都集中在提高农民收入上面。但是，在

如何提高农民收入的问题上，却有着不同的认识一些经济学家看到了中国农村金融制度的缺陷，认为只有发展农村金融，才能保证农民有条件进行再生产。也有一些学者认为，中国的农民收入太低，是因为存在着工农业产品之间的剪刀差题， 只要提高农产品的价格，就能增加农民的收入。

2、中国现有的城市布局并不能适应未来发展的需要。在广大的乡村普遍缺乏资金流动、信息流动和实物流动密切结合的小城镇，因此，今后应该更多地建设符合农村需要的小城镇。但是，

小城镇的发展必然会带来土地使用的矛盾。当前中国一些地方的经济开发区热从某种意义上来说就是中国农村城镇化发展所带来的问题。在一些开发区，已经形成了新型的小城镇。政府在清理和整顿经济开发区时，应该注意小城镇的正常发展与经济开发区盲目建设之间的区别，通过政策引导和充分发挥市场的作用，将经济开发区逐步改造为吸纳农村剩余劳动人口的小城镇。

三、模型假设及符号说明

3.1模型假设

1．假设我国政策在今后几年内没有大的变动； 2．调查数据是客观公正的没有主观干扰因素；

3.2符号说明

x0 粮食总生产量

k 表示时刻 ρ∈[0,1] 分辨系数 x(0) (k) 灰导数 a 发展系数

z(1) (k) 白化背景值 b 灰作用量

四、建模原理

4.1建模原理一

由于我国的农业发展与很多因素有关，而粮食总产量是其发展水平的一个重要指标。粮食的总产量也不是由单一变量所决定的。它与很多的因素有关系，例如粮食的进口量，农村生活水平，耕地面积，降雨量，农村人口比例等„„ 因为他是受多方面因素影响的事物，所以，对粮食产量的分析就要分为多方面考虑。灰色系统理论提出了一种新的分析方法——关联度分析方法，即根据因素之间发展态势的相似或相异程度来衡量因素间关联的程度，它揭示了事物动态关联的特征与程度。在这个的基础上我们进行建模就可以很轻松的找到粮食总生产量与其他因素的关系了。

即 降雨量 粮食进口量 粮食总生产量 农村生活水平 耕地面积

由此模型我们就可以得到第一个问题的答案。

4.2建模原理二

粮食的总产量 是由小麦、玉米 、水稻 、 豆类所构成的，然而它们同样也受降雨量，粮食进口量，农村生活水平，耕地面积影响。我们要把小麦等各类农作物及其影响因素带入模型一中，再建立灰色预测模型，即可得出我国未来三年来的粮食生产量了。

五、模型建立与模型求解

问题一：

用关联分析 选取参考数列

即为粮食总生产量x0得：

x0{x0(k)|k1,2,…，n}(x0(1),x0(2),…,x0(n))

其中 k 表示时刻。 假设有m个比较数列

xi{xi(k)|k1,2,…，n}(xi(1),xi(2),…,xi(n)),i1,2,…,m i为4.分别为降雨量，粮食进口问题，农村生活水平，耕地面积。 则称

k

minsmint|x0(t)xs(t)|maxsmaxt|x0(t)xs(t)|

|x0(k)xi(k)|maxsmaxt|x0(t)xs(t)| （1）

为比较数列xi 对参考数列x0在k时刻的关联系数，其中ρ∈[0,1]为分辨系数。称（1）式中minsmint|x0(t)xs(t)|、maxsmaxt|x0(t)xs(t)|分别为两级最小差及两级最大差。

一般来讲，分辨系数ρ 越大，分辨率越大；ρ 越小，分辨率越小。

（1）式定义的关联系数是描述比较数列与参考数列在某时刻关联程度的一种指标，由于各个时刻都有一个关联数，因此信息显得过于分散，不便于比较，为此我们给出 定义3 称

1n

rii(k)

nk1

（2）

为数列 xi 对参考数列x0 的关联度。（计算程序详见附录）

由（2）易看出，关联度是把各个时刻的关联系数集中为一个平均值，亦即把过于

分散的信息集中处理。利用关联度这个概念，我们可以对各种问题进行因素分析。考虑

各种因素对粮食生产总量的分析。

在利用（1）式及（2）式计算关联度之前，我们需对表2 的各个数列做初始化处 理。一般来讲，实际问题中的不同数列往往具有不同的量纲，而我们在计算关联系数时，

要求量纲要相同。因此，需首先对各种数据进行无量纲化。另外，为了易于比较，要求

所有数列有公共的交点。为了解决上述两个问题，我们对给定数列进行变换。 定义 4 给定数列x = (x(1),，x(2)，„，x(n))，称

x(2)x(n)x(1,…)

x(1)x(1)



为原始数列 X 的初始化数列。

依照问题的要求，我们自然粮食的总生产量作为参考数列，将上表中的各个数列

由以上数据及计算可得影响程度排序为1、降雨量2、耕地面积3、农村人均收入4、城乡人口比例5、粮食进口量。

即问题一的答案为对中国农业发展影响程度最大的是缺水缺地，其次是农村贫困人口生活问题，农转非，城市化建设最后才是2亿人口的粮食不能自给。

问题二：

方法：灰色预测GM（1，1）模型

灰色预测是指利用 GM 模型对系统行为特征的发展变化规律进行估计预测，同时 也可以对行为特征的异常情况发生的时刻进行估计计算，以及对在特定时区内发生事件

的未来时间分布情况做出研究等等。这些工作实质上是将“随机过程”当作“灰色过程”，

“随机变量”当作“灰变量”，并主要以灰色系统理论中的GM(1,1)模型来进行处理。

灰色预测在工业、农业、商业等经济领域，以及环境、社会和军事等领域中都有广

泛的应用。特别是依据目前已有的数据对未来的发展趋势做出预测分析。 模型建立

设已知参考数据列为x(0) = (x(0) (1), x(0) (2),···, x(0) (n))，做 1 次累加（AGO）生 成数列

x(1) = (x(1) (1), x(1) (2),···, x(1) (n)) = (x(1) (1), x(1) (1) + x(0) (2),···, x(1) (n −1) + x(0) (n)) 其中

（k = 1,2,···, n）。求均值数列

z(1) (k) = 0.5x(1) (k) + 0.5x(1) (k −1)，k = 2,3,···n 则z(1) = (z(1) (2), z(1) (3),···, z(1) (n))。于是建立灰微分方程为 x(0) (k) + az(1) (k) = b，k = 2,3,···,n

相应的白化微分方程为

记u = (a,b)T ，Y = (x(0) (2), x(0) (3),···, x(0) (n))T ，

则由最小二乘法，求得使J (uˆ) = (Y − Buˆ)T (Y − Buˆ)达到最小值的uˆ = (a,b)T = (BT B)−1BTY 。于是求解方程（11）得

步骤

1．数据的检验与处理

首先，为了保证建模方法的可行性，需要对已知数据列做必要的检验处理。设参考

数据为x(0) = (x(0) (1), x(0) (2),···, x(0) (n))

，计算数列的级比

如果所有的级比λ (k)都落在可容覆盖

内，

则数列x(0)可以作为模型GM(1,1)的数据进行灰色预测。否则，需要对数列x(0)做必要的变换处理，使其落入可容覆盖内。即取适当的常数c ，作平移变换 y(0) (k) = x(0) (k) + c，k = 1,2,···,n，则使数列 y(0) = ( y(0) (1), y(0) (2),···, y(0) (n))的级比

2．建立模型

按 下述中的方法建立模型GM(1,1)，则可以得到预测值

而且xˆ(0) (k +1) = xˆ(1) (k +1) − xˆ(1) (k)，k = 1,2,···,n −1。 3．检验预测值

（1）残差检验：令残差为ε(k)，计算

ε(k)=

，k=1，2，3···n

如果ε (k)

较高的要求。

（2）级比偏差值检验：首先由参考数据x(0) (k −1)，x(0) (k)计算出级比λ (k)，

再用发展系数a 求出相应的级比偏差

如果ρ (k)

把数列x 各时刻数据依次累加的过程叫做累加过程，记作AGO，累加所 得的新数列， 叫做累加生成数列。具体地， 设原始数列为x0 = (x(0) (1), x(0) (2),„, x(0) (n))，累加生成数列记为x(1) = (x(1) (1),„, x(1) (n))，且x(0)与x(1)满足

x(0)(k)x(0)(i),k,…,n

i

k

（4）

其中α ≤ n为正整数。上述累加过程当1

得到r次累加生成数列x(r )。x(r )与x(r−1)满足下面的关系：

x(r)(k)x(r1)(i),k1,2,…,n

i1

k

（4）

GM(1,1)模型

1．GM(1,1)的定义

设x(0)为n个元素的数列x(0) = (x(0) (1), x(0) (2),„, x(0) (n))，x(0)的AGO生成数列为x(1) =(x(1) (1), x(1) (2),„, x(1) (n)），其中

x(1)(k)x(0)(i)(k1,2,…,n)

i1

k

。则定义x(1)的灰导数为

d(k) = x(0) (k) = x(1) (k) − x(1) (k −1)，令z(1)为数列x(1)的紧邻均值数列，即

z(1) (k) = 0.5x(1) (k) + 0.5x(1) (k −1)，k = 2,3,„n 则z(1) = (z(1) (2), z(1) (3),·····, z(1) (n))。于是定义GM(1,1)的灰微分方程模型为

d(k) + az(1) (k) = b， 即

x(0) (k) + az(1) (k) = b （7） 其中x(0) (k)称为灰导数，a称为发展系数，z(1) (k)称为白化背景值，b称为灰作用量。

将时刻k = 2,3,„, n代入（7）式中有

x(0)(2)az(1)(2)b x(0)(3)az(1)(3)b

„

x(0)(n)az(1)(n)b

令Y = (x(0) (2), x(0) (3),·····， x(0) (n))T ，，u = (a,b)T ， z(1)(2)1z(1)(3)1……z(1)(n)1，称Y 为数据向量，B为数据矩阵，u为参数向量，则GM(1,1)模型B=

可以表示为矩阵方程Y = Bu。由最小二乘法可以求得uˆ = (aˆ,bˆ)T = (BT B)−1BTY

2．GM(1,1)的白化型

对于 GM(1,1)的灰微分方程（7），如果将x(0) (k)的时刻k = 2,3,······, n视为连续连

续的变量t ，则数列x(1)就可以视为时间t 的函数，记为x(1) = x(1) (t) ，并让灰导数

x(0) (k)对应于导数

dt dx(1)

，背景值z(1) (k)对应于x(1) (t)。于是得到GM(1,1)的灰微分方程对应的白微分方程为

称之为 GM(1,1)的白化型。

值得注意的是：GM(1,1)的白化型（8）并不是由GM(1,1)的灰微分方程直接推导出

来的，它仅仅是一种“借用”或“白化默认”。

另一方面，GM(1,1)的白化型是一个真正的微分方程，如果白化型模型精度高，则

表明所用数列建立的模型GM(1,1)与真正的微分方程模型吻合较好，反之亦然。 3.求解过程

由已知数据，对于2000－2010 年某项指标记为矩阵A=( a ij ) 6×12，计算每年的年平 均值，记为

x(0) = (x(0) (1), x(0) (2),···, x(0) (6)) （3） 并要求级比λ(i) = x(0) (i −1) / x(0) (i)∈(0.7515,1.3307)（i = 2,3,···,6）。对x(0)作一 次累加，则

（4）

记

x(1) = (x(1) (1), x(1) (2),···, x(1) (6)) （5）

取x(1)的加权均值，则z(1) (k) =α x(1) (k) + (1−α )x(1) (k −1)（k =

2,3,···,6），α 为确 定参数，记

z(1) = (z(1) (2), z(1) (3),···, z(1) (6)) （6）

GM(1,1)的白化微分方程模型为

（7）

其中 a 是发展灰度，b 是内生控制灰度。

由于x(1) (k) − x(1) (k −1) = x(0) (k)，取x(0) (k)为灰导数，z(1) (k)为背景值，则方

程（7）相应的灰微分方程为

x(0) (k) + az(1) (k) = b（k = 2,3,···,6） 或

x(0) (k) = −az(1) (k) + b（k = 2,3,···,6） （8）

即矩阵形式为：

。 其中Y = (x(0) (2), x(0) (3),···, x(0) (6))，

。

用最小二乘法求得参数的估计值为

（9）

于是方程（7）有响应（特解）

则

（10）

由（10）式可以得到2012年的平均值为x ，则预测2012 年的总值为Z =12x 。

根据历史数据，可以统计计算出2011年后三年的 具体值如下

单位：

问题三：

由以上的模型，我们可以发现我国粮食生产总量逐年提高，而粮食生产总量是我国农村生活状况的重要指标。粮食产量增收可以带动农村经济的增长，从而改善我国农民的生活水平。我国农村现在生活比以往有了很大的提升。农民的收入也是呈增长趋势，这对农村生活状况有一定的体现，由下图可看

出。

但同样历年来的城乡人口比例也可以对我国农村现状作为一个体现的标准，我国农村人口越来越少，这同样也是存在的一个问题，虽然农民的收入越来越高，但这只是一方面说农村生活水平有了一定的提高，但由于现在的通货膨胀越来越严重，单单依靠粮食农作物的变卖无法使他们的收入与支出所平衡，并且有一些政策对城镇人口更有利益，这使有的农民向往去城市去谋取更多的利益既而导致农村人口的减少，这一方面也对我国农村现在生活水平的体现。

而粮食分布特征为稻谷主要分布在湖南、江西、黑龙江、江苏、安徽、贵州四川等地，上述六省的稻谷播种面积占到全国稻谷播种总面积的百分之六十二，其总产量约占全国的百分之六十，但在全过范围内将稻谷作为第一粮食作物的产区主要分布在东南沿海和成都平原。虽然黑龙江属水稻的重要产区，但因其省内玉米作物所占比重大于稻谷，而使稻谷成为当地二类粮食作物。 小麦在河南、山东、河北、安徽、苏州、四川等六省所占比重约为全国的百分之七十，是国内重要的小麦生产基地，除此之外，新疆、甘肃、青海、宁夏、陕西等地也是重要的小麦产区，小麦均是其省内的首位粮食作物。在其他省份，小麦也有分布，但比重相对较小。玉米是东北三省，北京、天津、山西、内蒙、云南等省份的首位粮食作物，玉米在上述地区的播种面积约占到全国播种面积的百分之六十五点三，总产量约占全国总产量的百分之六十八，是我国当之无愧的玉米生产基地，规模大，产量高是该地区玉米生产的主要特色。在全国范围来看，玉米的分布更广，几乎在每个省区都有分布。

问题四：

中国是一个拥有13亿人口的发展中农业大国。农业在中国历来被认为是安天下、稳民心的战略产业。1978年开始的以市场化为取向的农村改革，是中国农业发展的历史性转折点，不仅突破传统体制的束缚，推动农村经济的快速发展，创造了以不足世界9%的耕地养活世界近21%人口的奇迹，而且带动和促进了中国经济体制改革的全面展开，有力地支持了中国经济的高速增长。2001年底中国加入WTO，中国农业对外开放程度大幅提高，中国农业与世界农业的关联程度发生重大变化。在世界贸易体系中，中国作为农产品生产大国和消费大国，既可能受到国际市场的不利冲击，同时也对国际市场有着巨大影响。

随着经济发展，劳动力首先由第一产业向第二产业转移，当经济进一步发展，劳动力向第三产业转移，这一规律被称为“配第－克拉克定理”。从国际经验看，广大农民进城从事非农产业，城镇企业进村从事农业产业化经营，形成工农业交

融发展，是一个国家进入工业化中期的普遍现象，我国也不例外。据有关部门统计，近十年来，我国农村劳动力进城务工已近1亿人。据世界银行2004年模型预测，今后农村劳动力每转移1%，GDP可提高0.7%；转移5%，GDP可提高3.3%；转移10%，GDP可提高6.4%。近3年农民工资性收入占农民纯收入都在35%左右，正如农民所说的：一家一人务工解决温饱，二人务工实现小康，三人务工达到富裕。与此同时，也应看到在相当多的地方，从事农业的劳动力多为妇女和老人，群众称为“386170部队”。加上农业耕种面积小而分散，基础设施落后，形成缺人、缺钱、缺技术和缺装备的局面。这种状况迫切要求城镇企业进入农村，通过外部生产要素的引入，通过多种形式的农业产业化经营，推动现代农业发展。企业进入农村之所以有动力，主要是从事第一产业经营风险小、市场好、利润高、发展空间大、优惠政策多，能够发挥企业资金、信息、人才、技术和管理的优势。特别是党中央提出一系列城乡统筹协调发展的重大政策，为工农业交融发展创造了条件。工农业交融发展的这种趋势，目前在全国各地已初见端倪，在珠三角、长三角等经济发达地区表现尤为突出，随着时间的推移，这种趋势将会有更大的发展。

长期以来，我国农业增长主要依靠资源开发和消耗。据有关资料显示，我国耕地面积不到世界的1/10，但氮肥和磷肥用量却分别为世界总用量的30%和26%，在单产相近的情况下，氮、磷肥用量分别高出世界平均水平2.05倍和1.86倍；农业污染量已占全国总污染量的1/3～1/2；这表明，仅靠大规模增加资源消耗来实现农产品生产的增长，不但成本高、效率低，而且已成为制约我国农业持续健康发展的主要瓶颈，这种增长方式将难以为继。从发达国家经验来看，现阶段农业的发展，主要不是靠扩大耕地面积或增加化肥和农药投入，而是靠农业科技进步，提高资源利用效率，高新技术在农业上广泛应用。

许多经济学者的研究证明，

农产品产量的提高对农民收入的增长贡献甚微，因此，在粮食总产品连续3年保持增产（总产超过4.9亿t，2007年粮食总产量预计突破5亿t）的今天，如何在政府层面上保证农产品供给数量上的安全，同时实现农民实际收入的显著提高，是新农村建设中的一大难点。现在，中国处于一个开放的环境中，正视国际农产品市场应有的作用，应当是使农产品供给安全得以有效实现的一条重要途径。中国农业自然资源的人口承载力业已不堪重负，而长期以来中国推广的农业技术却是以资本、土地密集型为导向的，不仅没有利用好最广大的劳动力资源，反而使得贫富差距不断加大。为求得可持续的经济和社会福利，必须把生态学原则结合到以农村充分就业为中心的战略之中，开发“生态技术”使农民能够就地“自我雇佣”，旨在促进农村的充分就业，并开创一系列的增值增收活动。实践表明，农业发展的根本出路在于由资源依赖型向科技推动型转变，充分发挥科技在集约降本、

增产提质、转化增值、提升拓展方面的潜力，使农业发展由粗放型经济增长向集约型经济增长转变。这是我国农业实现可持续发展的必然趋势。

六、模型评价

模型优点：建立的模型方法简单易行，且易中应用于现实生活。且数据可靠。 模型缺点：考虑的影响因素较少，在处理问题时可能存在一些误差。具有一定的局限性。

参考文献

【1】线性代数与解析几何廉庆荣主编高等教育出版社

【2】MATLAB软件与数学实验张兴永编著中国矿业大学出版社

【3】数学建模简明教材张兴永编著中国矿业大学出版社

【4】数学分析（第三版）华东师大数学系编高等教育出版社

【5】高等数学（第五版）同济大学应用数学系编著高等教育出版社

附录

clc,clear

load x.txt %把原始数据存放在纯文本文件x.txt 中 for i=1:15

x(i,:)=x(i,:)/x(i,1); %标准化数据

end

for i=16:17

x(i,:)=x(i,1)./x(i,:); %标准化数据

end

data=x;

n=size(data,1);

ck=data(1,:);m1=size(ck,1);

bj=data(2:n,:);m2=size(bj,1);

for i=1:m1

for j=1:m2

t(j,:)=bj(j,:)-ck(i,:);

end

jc1=min(min(abs(t')));jc2=max(max(abs(t')));

rho=0.5;

ksi=(jc1+rho*jc2)./(abs(t)+rho*jc2);

rt=sum(ksi')/size(ksi,2);

r(i,:)=rt;

end

r

[rs,rind]=sort(r,'descend') %对关联度进行排序

相关图表

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承 诺 书

我们仔细阅读了桂林电子科技大学第九届大学生数学建模竞赛的竞赛规则。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

参赛队员信息 ：

中国农业发展方向的数学模型

一、摘要

本次建模旨在解决寻找中国农业发展方向的问题。为了解决相关问题，我们

建立了一个用于分析、预测农业发展的灰色模型。在建立模型的过程中我们用到了层次分析法，对各个问题提取出几个具有代表性的指标（粮食进口量、全国年均降雨量、耕地面积、农村居民年均收入、城乡人口比例），首先找到了主要粮食作物与各指标间的关系，由此推导出农产品产量与各素间的关系。我们所建立的模型的主要特点是思路清晰。

关键字

农业发展 层次分析法 灰色模型

二、问题的重述与分析

2.1问题的重述

农业发展水平直接影响到一个国家的粮食能否自给自足。

第一要解决的问题是建立一个可靠的模型来比较各已知存在问题对中国农业发展影响大小，最后给出一个影响大小的排序。

第二要问题是要建立相应的模型，预测我国未来三年：水稻、小麦，玉米三中粮食作物的产量。

2.2问题的分析

1、中国农村问题的研究，目前似乎都集中在提高农民收入上面。但是，在

如何提高农民收入的问题上，却有着不同的认识一些经济学家看到了中国农村金融制度的缺陷，认为只有发展农村金融，才能保证农民有条件进行再生产。也有一些学者认为，中国的农民收入太低，是因为存在着工农业产品之间的剪刀差题， 只要提高农产品的价格，就能增加农民的收入。

2、中国现有的城市布局并不能适应未来发展的需要。在广大的乡村普遍缺乏资金流动、信息流动和实物流动密切结合的小城镇，因此，今后应该更多地建设符合农村需要的小城镇。但是，

小城镇的发展必然会带来土地使用的矛盾。当前中国一些地方的经济开发区热从某种意义上来说就是中国农村城镇化发展所带来的问题。在一些开发区，已经形成了新型的小城镇。政府在清理和整顿经济开发区时，应该注意小城镇的正常发展与经济开发区盲目建设之间的区别，通过政策引导和充分发挥市场的作用，将经济开发区逐步改造为吸纳农村剩余劳动人口的小城镇。

三、模型假设及符号说明

3.1模型假设

1．假设我国政策在今后几年内没有大的变动； 2．调查数据是客观公正的没有主观干扰因素；

3.2符号说明

x0 粮食总生产量

k 表示时刻 ρ∈[0,1] 分辨系数 x(0) (k) 灰导数 a 发展系数

z(1) (k) 白化背景值 b 灰作用量

四、建模原理

4.1建模原理一

由于我国的农业发展与很多因素有关，而粮食总产量是其发展水平的一个重要指标。粮食的总产量也不是由单一变量所决定的。它与很多的因素有关系，例如粮食的进口量，农村生活水平，耕地面积，降雨量，农村人口比例等„„ 因为他是受多方面因素影响的事物，所以，对粮食产量的分析就要分为多方面考虑。灰色系统理论提出了一种新的分析方法——关联度分析方法，即根据因素之间发展态势的相似或相异程度来衡量因素间关联的程度，它揭示了事物动态关联的特征与程度。在这个的基础上我们进行建模就可以很轻松的找到粮食总生产量与其他因素的关系了。

即 降雨量 粮食进口量 粮食总生产量 农村生活水平 耕地面积

由此模型我们就可以得到第一个问题的答案。

4.2建模原理二

粮食的总产量 是由小麦、玉米 、水稻 、 豆类所构成的，然而它们同样也受降雨量，粮食进口量，农村生活水平，耕地面积影响。我们要把小麦等各类农作物及其影响因素带入模型一中，再建立灰色预测模型，即可得出我国未来三年来的粮食生产量了。

五、模型建立与模型求解

问题一：

用关联分析 选取参考数列

即为粮食总生产量x0得：

x0{x0(k)|k1,2,…，n}(x0(1),x0(2),…,x0(n))

其中 k 表示时刻。 假设有m个比较数列

xi{xi(k)|k1,2,…，n}(xi(1),xi(2),…,xi(n)),i1,2,…,m i为4.分别为降雨量，粮食进口问题，农村生活水平，耕地面积。 则称

k

minsmint|x0(t)xs(t)|maxsmaxt|x0(t)xs(t)|

|x0(k)xi(k)|maxsmaxt|x0(t)xs(t)| （1）

为比较数列xi 对参考数列x0在k时刻的关联系数，其中ρ∈[0,1]为分辨系数。称（1）式中minsmint|x0(t)xs(t)|、maxsmaxt|x0(t)xs(t)|分别为两级最小差及两级最大差。

一般来讲，分辨系数ρ 越大，分辨率越大；ρ 越小，分辨率越小。

（1）式定义的关联系数是描述比较数列与参考数列在某时刻关联程度的一种指标，由于各个时刻都有一个关联数，因此信息显得过于分散，不便于比较，为此我们给出 定义3 称

1n

rii(k)

nk1

（2）

为数列 xi 对参考数列x0 的关联度。（计算程序详见附录）

由（2）易看出，关联度是把各个时刻的关联系数集中为一个平均值，亦即把过于

分散的信息集中处理。利用关联度这个概念，我们可以对各种问题进行因素分析。考虑

各种因素对粮食生产总量的分析。

在利用（1）式及（2）式计算关联度之前，我们需对表2 的各个数列做初始化处 理。一般来讲，实际问题中的不同数列往往具有不同的量纲，而我们在计算关联系数时，

要求量纲要相同。因此，需首先对各种数据进行无量纲化。另外，为了易于比较，要求

所有数列有公共的交点。为了解决上述两个问题，我们对给定数列进行变换。 定义 4 给定数列x = (x(1),，x(2)，„，x(n))，称

x(2)x(n)x(1,…)

x(1)x(1)



为原始数列 X 的初始化数列。

依照问题的要求，我们自然粮食的总生产量作为参考数列，将上表中的各个数列

由以上数据及计算可得影响程度排序为1、降雨量2、耕地面积3、农村人均收入4、城乡人口比例5、粮食进口量。

即问题一的答案为对中国农业发展影响程度最大的是缺水缺地，其次是农村贫困人口生活问题，农转非，城市化建设最后才是2亿人口的粮食不能自给。

问题二：

方法：灰色预测GM（1，1）模型

灰色预测是指利用 GM 模型对系统行为特征的发展变化规律进行估计预测，同时 也可以对行为特征的异常情况发生的时刻进行估计计算，以及对在特定时区内发生事件

的未来时间分布情况做出研究等等。这些工作实质上是将“随机过程”当作“灰色过程”，

“随机变量”当作“灰变量”，并主要以灰色系统理论中的GM(1,1)模型来进行处理。

灰色预测在工业、农业、商业等经济领域，以及环境、社会和军事等领域中都有广

泛的应用。特别是依据目前已有的数据对未来的发展趋势做出预测分析。 模型建立

设已知参考数据列为x(0) = (x(0) (1), x(0) (2),···, x(0) (n))，做 1 次累加（AGO）生 成数列

x(1) = (x(1) (1), x(1) (2),···, x(1) (n)) = (x(1) (1), x(1) (1) + x(0) (2),···, x(1) (n −1) + x(0) (n)) 其中

（k = 1,2,···, n）。求均值数列

z(1) (k) = 0.5x(1) (k) + 0.5x(1) (k −1)，k = 2,3,···n 则z(1) = (z(1) (2), z(1) (3),···, z(1) (n))。于是建立灰微分方程为 x(0) (k) + az(1) (k) = b，k = 2,3,···,n

相应的白化微分方程为

记u = (a,b)T ，Y = (x(0) (2), x(0) (3),···, x(0) (n))T ，

则由最小二乘法，求得使J (uˆ) = (Y − Buˆ)T (Y − Buˆ)达到最小值的uˆ = (a,b)T = (BT B)−1BTY 。于是求解方程（11）得

步骤

1．数据的检验与处理

首先，为了保证建模方法的可行性，需要对已知数据列做必要的检验处理。设参考

数据为x(0) = (x(0) (1), x(0) (2),···, x(0) (n))

，计算数列的级比

如果所有的级比λ (k)都落在可容覆盖

内，

则数列x(0)可以作为模型GM(1,1)的数据进行灰色预测。否则，需要对数列x(0)做必要的变换处理，使其落入可容覆盖内。即取适当的常数c ，作平移变换 y(0) (k) = x(0) (k) + c，k = 1,2,···,n，则使数列 y(0) = ( y(0) (1), y(0) (2),···, y(0) (n))的级比

2．建立模型

按 下述中的方法建立模型GM(1,1)，则可以得到预测值

而且xˆ(0) (k +1) = xˆ(1) (k +1) − xˆ(1) (k)，k = 1,2,···,n −1。 3．检验预测值

（1）残差检验：令残差为ε(k)，计算

ε(k)=

，k=1，2，3···n

如果ε (k)

较高的要求。

（2）级比偏差值检验：首先由参考数据x(0) (k −1)，x(0) (k)计算出级比λ (k)，

再用发展系数a 求出相应的级比偏差

如果ρ (k)

把数列x 各时刻数据依次累加的过程叫做累加过程，记作AGO，累加所 得的新数列， 叫做累加生成数列。具体地， 设原始数列为x0 = (x(0) (1), x(0) (2),„, x(0) (n))，累加生成数列记为x(1) = (x(1) (1),„, x(1) (n))，且x(0)与x(1)满足

x(0)(k)x(0)(i),k,…,n

i

k

（4）

其中α ≤ n为正整数。上述累加过程当1

得到r次累加生成数列x(r )。x(r )与x(r−1)满足下面的关系：

x(r)(k)x(r1)(i),k1,2,…,n

i1

k

（4）

GM(1,1)模型

1．GM(1,1)的定义

设x(0)为n个元素的数列x(0) = (x(0) (1), x(0) (2),„, x(0) (n))，x(0)的AGO生成数列为x(1) =(x(1) (1), x(1) (2),„, x(1) (n)），其中

x(1)(k)x(0)(i)(k1,2,…,n)

i1

k

。则定义x(1)的灰导数为

d(k) = x(0) (k) = x(1) (k) − x(1) (k −1)，令z(1)为数列x(1)的紧邻均值数列，即

z(1) (k) = 0.5x(1) (k) + 0.5x(1) (k −1)，k = 2,3,„n 则z(1) = (z(1) (2), z(1) (3),·····, z(1) (n))。于是定义GM(1,1)的灰微分方程模型为

d(k) + az(1) (k) = b， 即

x(0) (k) + az(1) (k) = b （7） 其中x(0) (k)称为灰导数，a称为发展系数，z(1) (k)称为白化背景值，b称为灰作用量。

将时刻k = 2,3,„, n代入（7）式中有

x(0)(2)az(1)(2)b x(0)(3)az(1)(3)b

„

x(0)(n)az(1)(n)b

令Y = (x(0) (2), x(0) (3),·····， x(0) (n))T ，，u = (a,b)T ， z(1)(2)1z(1)(3)1……z(1)(n)1，称Y 为数据向量，B为数据矩阵，u为参数向量，则GM(1,1)模型B=

可以表示为矩阵方程Y = Bu。由最小二乘法可以求得uˆ = (aˆ,bˆ)T = (BT B)−1BTY

2．GM(1,1)的白化型

对于 GM(1,1)的灰微分方程（7），如果将x(0) (k)的时刻k = 2,3,······, n视为连续连

续的变量t ，则数列x(1)就可以视为时间t 的函数，记为x(1) = x(1) (t) ，并让灰导数

x(0) (k)对应于导数

dt dx(1)

，背景值z(1) (k)对应于x(1) (t)。于是得到GM(1,1)的灰微分方程对应的白微分方程为

称之为 GM(1,1)的白化型。

值得注意的是：GM(1,1)的白化型（8）并不是由GM(1,1)的灰微分方程直接推导出

来的，它仅仅是一种“借用”或“白化默认”。

另一方面，GM(1,1)的白化型是一个真正的微分方程，如果白化型模型精度高，则

表明所用数列建立的模型GM(1,1)与真正的微分方程模型吻合较好，反之亦然。 3.求解过程

由已知数据，对于2000－2010 年某项指标记为矩阵A=( a ij ) 6×12，计算每年的年平 均值，记为

x(0) = (x(0) (1), x(0) (2),···, x(0) (6)) （3） 并要求级比λ(i) = x(0) (i −1) / x(0) (i)∈(0.7515,1.3307)（i = 2,3,···,6）。对x(0)作一 次累加，则

（4）

记

x(1) = (x(1) (1), x(1) (2),···, x(1) (6)) （5）

取x(1)的加权均值，则z(1) (k) =α x(1) (k) + (1−α )x(1) (k −1)（k =

2,3,···,6），α 为确 定参数，记

z(1) = (z(1) (2), z(1) (3),···, z(1) (6)) （6）

GM(1,1)的白化微分方程模型为

（7）

其中 a 是发展灰度，b 是内生控制灰度。

由于x(1) (k) − x(1) (k −1) = x(0) (k)，取x(0) (k)为灰导数，z(1) (k)为背景值，则方

程（7）相应的灰微分方程为

x(0) (k) + az(1) (k) = b（k = 2,3,···,6） 或

x(0) (k) = −az(1) (k) + b（k = 2,3,···,6） （8）

即矩阵形式为：

。 其中Y = (x(0) (2), x(0) (3),···, x(0) (6))，

。

用最小二乘法求得参数的估计值为

（9）

于是方程（7）有响应（特解）

则

（10）

由（10）式可以得到2012年的平均值为x ，则预测2012 年的总值为Z =12x 。

根据历史数据，可以统计计算出2011年后三年的 具体值如下

单位：

问题三：

由以上的模型，我们可以发现我国粮食生产总量逐年提高，而粮食生产总量是我国农村生活状况的重要指标。粮食产量增收可以带动农村经济的增长，从而改善我国农民的生活水平。我国农村现在生活比以往有了很大的提升。农民的收入也是呈增长趋势，这对农村生活状况有一定的体现，由下图可看

出。

但同样历年来的城乡人口比例也可以对我国农村现状作为一个体现的标准，我国农村人口越来越少，这同样也是存在的一个问题，虽然农民的收入越来越高，但这只是一方面说农村生活水平有了一定的提高，但由于现在的通货膨胀越来越严重，单单依靠粮食农作物的变卖无法使他们的收入与支出所平衡，并且有一些政策对城镇人口更有利益，这使有的农民向往去城市去谋取更多的利益既而导致农村人口的减少，这一方面也对我国农村现在生活水平的体现。

而粮食分布特征为稻谷主要分布在湖南、江西、黑龙江、江苏、安徽、贵州四川等地，上述六省的稻谷播种面积占到全国稻谷播种总面积的百分之六十二，其总产量约占全国的百分之六十，但在全过范围内将稻谷作为第一粮食作物的产区主要分布在东南沿海和成都平原。虽然黑龙江属水稻的重要产区，但因其省内玉米作物所占比重大于稻谷，而使稻谷成为当地二类粮食作物。 小麦在河南、山东、河北、安徽、苏州、四川等六省所占比重约为全国的百分之七十，是国内重要的小麦生产基地，除此之外，新疆、甘肃、青海、宁夏、陕西等地也是重要的小麦产区，小麦均是其省内的首位粮食作物。在其他省份，小麦也有分布，但比重相对较小。玉米是东北三省，北京、天津、山西、内蒙、云南等省份的首位粮食作物，玉米在上述地区的播种面积约占到全国播种面积的百分之六十五点三，总产量约占全国总产量的百分之六十八，是我国当之无愧的玉米生产基地，规模大，产量高是该地区玉米生产的主要特色。在全国范围来看，玉米的分布更广，几乎在每个省区都有分布。

问题四：

中国是一个拥有13亿人口的发展中农业大国。农业在中国历来被认为是安天下、稳民心的战略产业。1978年开始的以市场化为取向的农村改革，是中国农业发展的历史性转折点，不仅突破传统体制的束缚，推动农村经济的快速发展，创造了以不足世界9%的耕地养活世界近21%人口的奇迹，而且带动和促进了中国经济体制改革的全面展开，有力地支持了中国经济的高速增长。2001年底中国加入WTO，中国农业对外开放程度大幅提高，中国农业与世界农业的关联程度发生重大变化。在世界贸易体系中，中国作为农产品生产大国和消费大国，既可能受到国际市场的不利冲击，同时也对国际市场有着巨大影响。

随着经济发展，劳动力首先由第一产业向第二产业转移，当经济进一步发展，劳动力向第三产业转移，这一规律被称为“配第－克拉克定理”。从国际经验看，广大农民进城从事非农产业，城镇企业进村从事农业产业化经营，形成工农业交

融发展，是一个国家进入工业化中期的普遍现象，我国也不例外。据有关部门统计，近十年来，我国农村劳动力进城务工已近1亿人。据世界银行2004年模型预测，今后农村劳动力每转移1%，GDP可提高0.7%；转移5%，GDP可提高3.3%；转移10%，GDP可提高6.4%。近3年农民工资性收入占农民纯收入都在35%左右，正如农民所说的：一家一人务工解决温饱，二人务工实现小康，三人务工达到富裕。与此同时，也应看到在相当多的地方，从事农业的劳动力多为妇女和老人，群众称为“386170部队”。加上农业耕种面积小而分散，基础设施落后，形成缺人、缺钱、缺技术和缺装备的局面。这种状况迫切要求城镇企业进入农村，通过外部生产要素的引入，通过多种形式的农业产业化经营，推动现代农业发展。企业进入农村之所以有动力，主要是从事第一产业经营风险小、市场好、利润高、发展空间大、优惠政策多，能够发挥企业资金、信息、人才、技术和管理的优势。特别是党中央提出一系列城乡统筹协调发展的重大政策，为工农业交融发展创造了条件。工农业交融发展的这种趋势，目前在全国各地已初见端倪，在珠三角、长三角等经济发达地区表现尤为突出，随着时间的推移，这种趋势将会有更大的发展。

长期以来，我国农业增长主要依靠资源开发和消耗。据有关资料显示，我国耕地面积不到世界的1/10，但氮肥和磷肥用量却分别为世界总用量的30%和26%，在单产相近的情况下，氮、磷肥用量分别高出世界平均水平2.05倍和1.86倍；农业污染量已占全国总污染量的1/3～1/2；这表明，仅靠大规模增加资源消耗来实现农产品生产的增长，不但成本高、效率低，而且已成为制约我国农业持续健康发展的主要瓶颈，这种增长方式将难以为继。从发达国家经验来看，现阶段农业的发展，主要不是靠扩大耕地面积或增加化肥和农药投入，而是靠农业科技进步，提高资源利用效率，高新技术在农业上广泛应用。

许多经济学者的研究证明，

农产品产量的提高对农民收入的增长贡献甚微，因此，在粮食总产品连续3年保持增产（总产超过4.9亿t，2007年粮食总产量预计突破5亿t）的今天，如何在政府层面上保证农产品供给数量上的安全，同时实现农民实际收入的显著提高，是新农村建设中的一大难点。现在，中国处于一个开放的环境中，正视国际农产品市场应有的作用，应当是使农产品供给安全得以有效实现的一条重要途径。中国农业自然资源的人口承载力业已不堪重负，而长期以来中国推广的农业技术却是以资本、土地密集型为导向的，不仅没有利用好最广大的劳动力资源，反而使得贫富差距不断加大。为求得可持续的经济和社会福利，必须把生态学原则结合到以农村充分就业为中心的战略之中，开发“生态技术”使农民能够就地“自我雇佣”，旨在促进农村的充分就业，并开创一系列的增值增收活动。实践表明，农业发展的根本出路在于由资源依赖型向科技推动型转变，充分发挥科技在集约降本、

增产提质、转化增值、提升拓展方面的潜力，使农业发展由粗放型经济增长向集约型经济增长转变。这是我国农业实现可持续发展的必然趋势。

六、模型评价

模型优点：建立的模型方法简单易行，且易中应用于现实生活。且数据可靠。 模型缺点：考虑的影响因素较少，在处理问题时可能存在一些误差。具有一定的局限性。

参考文献

【1】线性代数与解析几何廉庆荣主编高等教育出版社

【2】MATLAB软件与数学实验张兴永编著中国矿业大学出版社

【3】数学建模简明教材张兴永编著中国矿业大学出版社

【4】数学分析（第三版）华东师大数学系编高等教育出版社

【5】高等数学（第五版）同济大学应用数学系编著高等教育出版社

附录

clc,clear

load x.txt %把原始数据存放在纯文本文件x.txt 中 for i=1:15

x(i,:)=x(i,:)/x(i,1); %标准化数据

end

for i=16:17

x(i,:)=x(i,1)./x(i,:); %标准化数据

end

data=x;

n=size(data,1);

ck=data(1,:);m1=size(ck,1);

bj=data(2:n,:);m2=size(bj,1);

for i=1:m1

for j=1:m2

t(j,:)=bj(j,:)-ck(i,:);

end

jc1=min(min(abs(t')));jc2=max(max(abs(t')));

rho=0.5;

ksi=(jc1+rho*jc2)./(abs(t)+rho*jc2);

rt=sum(ksi')/size(ksi,2);

r(i,:)=rt;

end

r

[rs,rind]=sort(r,'descend') %对关联度进行排序

相关图表