旃３０拯筇ＩＩ期２１）ＩＩ印ｌＩ门
实验室研究与探索
ＲＥＳＥＡＲＣＨ
ＡＮＤＥＸＰＩ．ＯＲＡＴＩＯＮＩＮ
ＬＡＨｌ）ＲＡＴｌｔＲ、
Ｖ０１３０～ｕ
・计算机技术应用・
用计算机对三铰拱桥结构静力分析
李
（１．华东理工大学
彤‘，李银山２，何录武１
机械与动力１．程学院，承压系统安全教育部重点实验室，七海２００２３７
２．河北工业大学力学系，天津３００１３０）
摘要：研究了１个三铰拱结构的受力特点．利用Ｍａｐｌｅ编写了求解三铰拱结构反力及内力的计算机程序．并同时画出了结构的内力图
实例表明：用Ｍａｐｌｅ编程求
解三铰拱结构的力学问题，精确性高，可操作性强，快速、便捷．大大提高了计算效
率厦绘图效果。所编的程序可进一步推广到其它同类问题．扩大其应用范围。关键词：三铰拱；拱的弯曲；Ｍａｐｌｅ中图分类号：Ｏ
３４２
文献标志码：Ａ
文章编号：１００６—７１６７（２０１１）１１—００４８—０４
ＳｔａｔｉｃＡｎａｌｙｓｉｓｏｆＴｈｒｅｅ—ＨｉｎｇｅｄＡｒｃｈＢｙＭａｐｌｅ
Ｌ，７ｂｎｇ。，
￡，Ｙｉｎ－ｓｈ，ｚｎ２，ＨＥＬ“．“，“‘
（１．Ｓｃｈｏｏｌ
ｏｆＭｅｃｈａｎｉｃａｌａｎｄＰｏｗｅｒＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＥａｓｔＣｈｉｎａＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｅｈｒｕ，ｌｏｇｙ
ＫｅｙＬａｂｎｒａｔｏｔＹｏｆＰｒｅｓｓｕｒｅＳｙｓｌｅｍｓａｎｄＳａｆｅｔｙ．Ｍｉｎｌｓｌｒｙ“Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ，Ｓｈａｎｇｈａｉ２００２３７，Ｃｈｉｎａ：
２．ｓＩｄｍｏｌｏｆＭｅｃｈａｎｉｃｓＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＨｅｂｅｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆ７ｌ＇ｅｅｈｎｏｌｏｇｙ．Ｔｉａｎｊｉｎ３００１３０，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ
ｔｈｉｓ
ｐａｐｅｒ．ｔｈｅｍｅｅｈａｎｉｅｎＪ
ｉｓｐｒｏｇｒａｍｍｅｄ
ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓｏｆ
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Ｍａｐｌｅｉｓｆａｓｔ
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ｃｏｎｌｐｕｔｅｒＩＪ“）ｇｒａｍ
ｎ，ｒｓｏｌｖｉｎｇｔｈｅ
ｒｅａｃｌｉｎｇ‰ｃｅｓ
ａｒＰ
ａｎｄｉｎｔｅｒｎａｌｆｏｒｃｅｓｏｆｔｈｅｔｈｒｅｅ－ｈｉｎｇｅｄａｒｃｈ
ｔｈｅｄｉａｇｒａｍｓｏｆｔｈｅｉｎｔｅｒｎａｌ＾ＪＨ。Ｐｓｏｔｔｈｅａｒｃｈ
ｅｆｆｉｃｉｅｎｔａｎｄｒｅｌｉａｂｌｅ．Ｔｈｅｃｏｍｐｕｔｉｎｇ
ｓｔｒｕｔ‘ｌｕｒｅ
ｄｒａｗｔｑ．Ｔｈｅｅｘａｍｐｌｅｓｈｏｗｓｔｈａｔｔｈｅｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇｂｙ
ｋｌｒＣ
１１１Ｕｆ
ｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙａｎｄｄｒａｗｉｎｇｅｆｆｅｃｔ
ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ
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ｓｉｍｐｌｅｆｏｒｔｈｅＨＩ（．｜ｅｈａｎｉｃａｌａｎａｌｙｓｉｓｏｆｔｈｒｅｅ—ｈｉｎｇｅｄａｒｃｈ
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Ｃ｝ｌｌｌ
Ｔｈｅｐｒｏｇｒａｍｓｔｉｌｌｈｅｅｘｐａｎｄｅｄａｎｄｉｔｓａｐｐｌｉｃａｔ；¨ｎ
ｂｅ
ｅｎｌａｒｇｅｄｆｏｒｏｔｈｅｒｓｌｍｉｌｍ’ｐｒｏｂｌｅｍｓ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｔｈｒｅｅ－ｈｉｎｇｅｄａｒｃｈ：ａｒｃｈ’ｓｂｅｎｄｉｎｇ；Ｍａｐｌｅ
０引言
方面足手算不能比的。学生可以形象、直脱地看到理论公式的求解过程。李锻山编写了《Ｍａｐｌｅ材料力学》等而向能力培养的教材。，增强了学生对理论的理解，对新问题的探索能力，增强ｒ学生的学习兴趣。
本文研究探讨ｒ二铰拱桥的受力特点和计算反力及Ｉ＾】力的方法，提ｍ一种利用Ｍａｐｌｅ编程的方法“，沦述ｒ程序设计过程。实践证ｌ碉，文中提供的方法，精确性高，可操作忡强，伙速、便捷，人人提高ｒ计算效率、．为工程设计提供了简便计算方法。
ｌ
作为水Ｉ建筑物中Ｊｌ‘泛虚用的一种结构型』℃——
二铰拱”，过去，・直是“手算”内力，既费时义费力，还难以保证｝｜算的正确性。特别是遇到多种倚载或复杂荷载作用时，计箅就更加繁琐。
现代汁算机软件的ｍ现可以方便地解决ｒ述问题。Ｍａｐｌｅ等具有符号计算、数值计算、图形处理等功能。语青简单．界而友好，操作方便。特别是提高计算精度
三铰拱的约束力与内力
以峰向载荷作用ｒ的平拱’为例．说目Ｊｔ铰拱的
收稿日期：２０ＩＩ一０２—２２
基金项目：旧家自然利学堪金项目资助（１０８７２０６３）；ｌ：海市重点学科缱醴资助项日（Ｂ５０３）
作者简介：车彤（１９６２一）．女，浙汀绍必凡．陴上．ｄ１：师．研究南㈣：｝＾构优化设计Ｅ－ｍａｉｌｉｔｎｎｇｌｉ＠¨ｉｉＨｔｅｄｕ¨ｍｌ
约束ＪＪ与内力的计算方浊。１．１支座约束力的计算
一铰拱足由２根Ｉｆｆ【杆与地基之间按“三刚片规则”组
第１１期
李彤，等：用计算机对三铰拱桥结构静力分析
４９
成的静定结构，共有６个未知约束力凡，只，，ＦＢ．，‰，
，＆，Ｆ毋，取全拱为研究对象如图１（ａ）所示。按∑Ｆ＝０，
∑Ｆｙ＝０，∑％＝０，可建立３个平衡方程；取左（或右）半拱为隔离体如图１（６）所示，按∑只＝ｏ，∑Ｌ＝ｏ，∑％＝
＜０可建立３个平衡方程，从而求出所有的约束力。
阿
翔
ｊ
ｋ
’
ｎ
（”左半拱．
图２三铰拱内力计算简图
帆＝【Ｋ菇ｘ—Ｐ。（石。一口，）卜嘶。
（３）
显而易见，由于水平推力的存在，拱的弯矩比相应
，
（ａ）拱结构
．．（ｂ）左半拱
简支梁的要小。
图１
三铰拱约束力计算简图
剪力以绕隔离体顺时针转动者为正；反之为负。三铰拱竖向约束力由ｉｓ，＝Ｆ竹，％＝Ｆ。，得
任一截面Ｋ的剪力Ｑ。等于该截面一侧所有外力在该
Ｋ＝三竽，五＝∑竽
（１）
截面法线方向上投影的代数和，由图２（ｂ）可得
Ｑｒ＝（Ｕ—Ｐ１）ｃｏｓｔｐ置一Ｈ
ｓｉｎｑ，ｘ
．
三铰拱水平约束力Ｈ＝Ｆ。；得
日：坠ｉ掣
（４）
妒鬈的符号在图示坐标系中左半拱取正，右半拱取负。
，
（２）
规定拱轴力以拉力为正。任一截面Ｋ的轴力等于该截面一侧所有外力在该截面法线方向上投影的代由式（１）可知，三铰拱的水平推力日只与载荷及３个数和，由图２（ｂ）有
铰的位置有关，而与各铰问的拱线形状无关。当荷载及Ｎ￡＝一（ｎ—Ｐ１）ｓｉｎｑ，ｘ—Ｈ
ｓｉｎ自ｏｚ
（５）
拱的跨度ｚ不变时，日将与拱高，成反比，愈大即拱愈高由式（２）知，三铰拱的内力不仅与载荷及三铰拱时，日愈小；反之／愈小即拱愈低时，日愈大。若ｆ＝０，的位置有关，而且与各铰间拱轴线的形状有关。
则Ｈ＝∞，此时３个铰已在一直线上，属于瞬变体系。１．２内力的计算
２
实例
约束力求出后，用截面法即可求出拱上任一截面试做图３（ａ）所示等截面三铰拱的内力图。已知的内力。任一横截面Ｋ的位置可由其形心的坐标菇ｎ拱轴线方程为Ｙ＝４ｆ（Ｚ一茁）ｚ／ｚ２。Ｙ。和该处轴切线的倾角妒。确定（见图２（ａ））。在拱２．１建模
中，通常规定弯矩的符号以使拱内侧受拉为正。由图计算支座约束力Ｌ、％、日。２（ｂ）所示隔离体可求得截面Ｋ的弯矩为
弯矩剪力和轴力的表达式分别为：
冒２５
蚤１５
三５
Ｏ
Ｘ／ｍ’
（ａ）三铰拱结构
（ｂ）弯矩Ｍ图
２０．８
ｘ／ｍ
０２
４
６
８
１０
１２
２０
・－２０
至
１：
－＼
彳
’／１
蚤－４０
主弋卜ｙ’８
８．５
－２０
杪ｊ
１２
ｄ－１０
Ｚ１ｍ
—８０
０
一一１００
ｘ｜ｍ
（ｃ）剪力Ｑｌｌｇｌ
。（ｄ）轴力Ｎ图
图３三铰拱内力图
５０
实验室研究与探索
第３０卷
●Ｍａｐｌｅ程序
Ｍ＝
，０＜菇≤了一ｉ１Ｌｘ扩一Ｉｔ，，。＜菇≤÷
虼菇一÷ｑｚ（省一÷）一够，ｉｌ＜菇≤；ｚＫ＊一÷ｑ叮茹一÷）一Ｐ（戈一４３－－／）一以，了３ｌ＜茗≤ｚ
一了ｇ石２一
ｒｅｓｔａｒｔ：
拌清零ｏ
＃＃＃＃舟＃＃＃＃＃＃＃＃＃掸＃井＃＃样＃
＃求三铰拱的支座约束力。＃
社＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃
．ｅｑｌ：＝ＦＡ［ｘ］＋Ｆｃ［Ｘ］＝０：＃ＡＣ部分，∑Ｆ，＝０。
＃ＡＣ部
ｅｑ２：＝ＦＡ［Ｙ］一ｑ术１／２＋Ｆｃ［Ｙ］＝０：
ｎ
ＣＯＳ妒一Ｈｓｉｎ６０，并＝０
Ｚ
（Ｋ—ｑｘ）ｃ。ｓ妒一日ｓｉｎ妒，
ｏ＜髫≤ｉ
Ｑ＝
（ｎ一割ｃｏｓ妒－Ｈｓｉｎ
ｑ，，了ｌ＜石＜孚
（Ｋ一一９１ｚ—Ｐ）…妒－Ｈ
ｓｉｎ
ｃｐ，了３ｌ＜菇≤ｚ
Ｋ
ｓｉｎ妒＋ＨＣＯＳ妒，
算＝０
Ｚ
（屹一ｑｘ）ｓｉｎ
９＋日ｃ。８妒，
ｏ＜茁≤ｉ
Ｎ＝
（ｎ一÷ｑｚ）ｓｉｎ妒＋Ｈ
ｃｏｓ
ｃｐ，、÷＜戈＜詈
（ｕ—ｉ１ｑｚ—Ｐ）ｓｉｎ妒＋日ｃｏｓ妒，ｉ３ｌ＜髫≤ｚ
分别计算０—８点的弯矩、剪力、轴力的值。弯矩图直接分段画出。由于妒的改变，剪力图、轴力图需采用描点法画出。２．２程序流程图
图４三铰拱程序流程
分，∑Ｆ。＝０。
ｅｑ３：＝ＦＡ［ｘ］｝ｆ—ＦＡ［Ｙ］￥１／２＋ｑ
４
１／２女１／４＝０：＃ＡＣ
部分，∑Ｍ．＝０。ｅｑ４－＿ＦＢ［ｘ］一ＦＣ［ｘ］＝０：
＃ＢＣ部分，∑ｔ＝０。
ｅｑ５：＝ＦＢ［Ｙ］一Ｐ—Ｆｃ［Ｙ］＝０：
＃ＢＣ部分，∑Ｆ．＝０。
ｅｑ６：＝ＦＢ［Ｘ］｝ｆ＋ＦＢ［Ｙ］％１／２一Ｐ｛１／４＝０：
＃ＢＣ部分，
∑Ｍ口＝０。
ＳＯＬＩ：＝ｓｏｌｖｅ（｛ｅｑｌ，ｅｑ２，ｅｑ３，ｅｑ４，ｅｑ５，ｅｑ６｝，
｛ＦＡ［ｘ］，ＦＡ［Ｙ］，ＦＢ［Ｘ］，ＦＢ［Ｙ］，Ｆｃ［ｘ］，Ｆｃ［Ｙ］｝）：＃
解方程。
ＦＡ［ｘ］：＝ｓｕｂｓ（ＳＯＬＩ，ＦＡ［Ｘ］）：＃Ｆ．，的大小。ＦＡ［Ｙ］：＝ｓｕｂｓ（ＳＯＬｌ，ＦＡ［Ｙ］）：群Ｆ。，的大小。
ＦＢ［Ｘ］：＝ｓｕｂｓ（ＳＯＬｌ，ＦＢ［ｘ］）：＃Ｆ。；的大小。
ＦＢ［Ｙ］：＝ｓｕｂｓ（ＳＯＬｌ，ＦＢ［Ｙ］）：＃Ｆ日，的大，Ｊ、。ＦＣ［Ｘ］：＝ｓｕｂｓ（ＳＯＬＩ，ＦＣ［ｘ］）：
＃Ｆ。Ｃｘ｝的大小。ＦＣ［Ｙ］：：ｓｕｂｓ（ＳＯＬＩ，ＦＣ［Ｙ］）：
＃Ｆ。，的大小。
Ｖ［Ａ］：＝ＦＡ［Ｙ］：＃竖向约束力Ｌ的大小。
Ｖ［Ｂ］：＝ＦＢ［Ｙ］：＃竖向约束力％的大小。Ｈ：＝ＦＡ［Ｘ］：＃水平推力日的大小。
＃＃＃＃＃群＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃
＃确定任意截面Ｋ三铰拱轴线的倾角妒。。＃
＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃
ｚｔｊ：＝ｑ：１４ｅ３，Ｐ＝５０ｅ３，ｌ：１２，ｆ＝４：＃已知条件。
Ｙ：＝４｝ｆ￥ｘ｝（１一ｘ）／ｌ
２：＃拱轴线函数。
Ｙ：＝ｓｕｂｓ（ｙｚｔｊ，Ｙ）：＃代入已知条件。ｔａｎ（ｐｈｉ）：＝ｄｉｆｆ（Ｙ，ｘ）：｝｝倾角妒。
ｆｏｒｋｆｒｏｍ
０
ｔｏ
８ｄｏ
棚到８点的循环开始。
ＳＯＬ［ｋ］：＝ｓｏｌｖｅ（｛ｅｑ［ｋ］｝，｛ｐｈｉ［ｋ］｝）：＃解方程。
ｏｄ：＃循环结束。
＃＃＃＃样＃拌＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃
样确定三铰拱内力的分段函数。＃
＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃撑＃＃样＃
ＭＭｌ：＝Ｖ［Ａ］ｔ
ｘ—ｑ／２十ｘ２一Ｈ＾Ｙ：
＃第一段弯矩表
达式。
ＭＭ２：＝Ｖ［Ａ］｝ｘ—ｑ＋１／２｝（ｘ一１／４）一Ｈ￥Ｙ：＃第二段
弯矩表达式。
ＱＱｌ：＝（Ｖ［Ａ］一ｑ＋ｘ）｛ｃｏｓ（ｐｈｉ）一Ｈ｛ｓｉｎ（ｐｈｉ）：＃
第一段剪力表达式。
ＱＱ２：＝（Ｖ［Ａ］一ｑ＋１／２）｝ＣＯＳ（ｐｈｉ）一Ｈ￥ｓｉｎ（ｐｈｉ）：
＃第二段剪力表达式。・
ＱＱ３：＝（Ｖ［Ａ］一ｑ
４
１／２一Ｐ）｝Ｃ０５（ｐｈｉ）一Ｈ｝ｓｉｎ
（ｐｈｉ）：＃第三段剪力表达式。
ＮＮＩ：＝一（Ｖ［Ａ］一ｑ＋ｘ）｝ｓｉｎ（ｐｈｉ）一Ｈ｝ＣＯＳ（ｐｈｉ）：
第１１期
李彤，等：用计算机对三铰拱桥结构静力分析
＃第一段轴力表达式。
ｆｏｒｋｆｒｏｍ７
ｔｏ
５１
８
ｄｏ撑７到８点循环开始。
ＮＮ２：＝一（Ｖ［Ａ］一ｑ‘１／２）｝ｓｉｎ（ｐｈｉ）一Ｈ￥ＣＯＳ（ｐｈｉ）：
＃第二段轴力表达式。
ＮＮ３：＝一（Ｖ［Ａ］二。ｑ＋１／２一Ｐ）｛ｓｉｎ（ｐｈｉ）一Ｈ￥ＣＯＳ
（ｐｈｉ）：＃第三段轴力表达式。
＃＃样＃＃样＃＃＃群＃拌＃＃撑＃＃＃＃＃拌
Ｍ［ｋ］：＝ＭＭ３：群各点弯矩。
Ｎ［ｋ］：＝ｓｕｂｓ（ｐｈｉ＝ｐｈｉ［ｋ］，ＮＮ３）：鼻各点轴力。Ｙ［ｋ］：＝６ｖａｌｆ（ｓｕｂｓ（ｘ＝ｋ｝１．５，Ｙ），４）；
＃各点Ｙ值。
Ｍ［ｋ］：＝ｅｖａｌｆ（ｓｕｂｓ（ｙｚｔｊ，ｘ＝ｋ｝１．５，Ｍ［ｋ］），４）：
＃各点弯矩值。
Ｑ［ｋ］：＝ｅｖａｌｆ（ｓｕｂｓ（ｙｚｔｊ，ｘ＝ｋ｝１．５，ＳＯＬ［ｋ］，Ｑ［ｋ］），
４）：
样确定三铰拱各点内力的值。＃
书啡＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃撑＃＃
ｆｏｒｋｆｒｏｍ０
ｔｏ
＃各点剪力值。＃各点轴力值。
Ｎ［ｋ］：＝ｅｖａｌｆ（ｓｕｂｓ（ｙｚｔｊ，ｘ＝ｋ｝１．５，ＳＯＬ［ｋ］，Ｎ［ｋ］），
４）：
４
ｄｏ＃０到４点循环开始。Ｍ［ｋ］：＝ＭＭｌ：
ｏｄ：袢循环结束。
＃＃＃＃撑＃＃＃＃＃＃样＃＃＃＃＃＃＃＃
＃各点弯矩。
Ｑ［ｋ］：＝ｓｕｂｓ（ｐｈｉ＝ｐｈｉ［ｋ］，ＱＱＩ）：
＃各点剪力。
Ｎ［ｋ］：＝ｓｕｂｓ（ｐｈｉ＝ｐｈｉ［ｋ］，ＮＮｌ）：峁各点轴力。
Ｙ［ｋ］：＝ｅｖａｌｆ（ｓｕｂｓ（ｘ＝ｋ｝１．５，Ｙ），４）；＃各点纵坐
＃绘三铰拱的内力图。＃
＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃
标值。
Ｍ［ｋ］：＝ｅｖａｌｆ（ｓｕｂｓ（ｙｚｔｊ，ｘ＝ｋ・１．５，Ｍ［ｋ］），
４）：＃各点弯矩值。
Ｑ［ｋ］：＝ｅｖａｌｆ（ｓｕｂｓ（ｙｚｔｊ，ｘ＝ｋ｝１．５，ＳＯＬ［ｋ］，Ｑ［ｋ］），
４）：
ｗｉｔｈ（ｐｌｏｔｓ）：＃ＪＪｎ载绘图函数库。
Ｍ：＝ｘ一＞ｐｉｅｃｅｗｉｓｅ（ｘ＜１／２，ＭＭｌ，ｘ＜３｝１／４，ＭＭ２，
ｘ＜ｌ。ＭＭ３）：
＃弯矩的分段函数表达式。
峁弯矩的标准形式。
Ｍ：＝ｎｏｒｍａｌ（Ｍ（ｘ））：
＃各点剪力值。＃各点轴力值。
Ｍ：＝ｓｕｂｓ（ｙｚｔｊ，Ｍ）：＃代入已知条件。
、
Ｎ［ｋ］：＝ｅｖａｌｆ（ｓｕｂｓ（ｙｚｔｊ，ｘ＝ｋ十１．５，ＳＯＬ［ｋ］，Ｎ［ｋ］），
４）：
ｏｄ：
ｐｌｏｔ（｛Ｍ／１０００ｆ，Ｘ＝０．．１２）；＃绘弯矩图。（图３．ｂ）
＃
ＸＸ：＝［０，１．５，３，４．５，６，７．５，９，９，１０．５，１２，１２］：
撑循环结束。
横坐标点序列。
ＱＱ：＝［Ｑ［０］，Ｑ［１］，Ｑ［２］，Ｑ［３］，Ｑ［４］，
Ｑ［５］，Ｑ［６１］，Ｑ［６２］，Ｑ［７］，Ｑ［８］，０］：＃剪力值
序列。
、
＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃择＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃
Ｍ［５］：＝ＭＭ２：＃５点弯矩。
Ｑ［５］：＝ｓｕｂｓ（ｐｈｉ＝ｐｈｉ［５］，ＱＱ２）：＃５点剪力。Ｎ［５］：＝ｓｕｂｓ（ｐｈｉ＝ｐｈｉ［５］，ＮＮ２）：＃５点轴力。Ｙ［５］：＝ｅｖａｌｆ（ｓｕｂｓ（ｘ＝７．５，Ｙ），４）：
点弯矩值。
Ｑ［５］：＝ｅｖａｌｆ（ｓｕｂｓ（ｙｚｔｊ，ｘ＝７．５，ＳＯＬ［５］，Ｑ［５］），
４）：
ＮＮ：＝［Ｎ［０］，Ｎ［１］，Ｎ［２］，Ｎ［３］，Ｎ［４］，
Ｎ［５］，Ｎ［６１］，Ｎ［６２］，Ｎ［７］，Ｎ［８］，０］：＃轴力值
序列。
＃５点纵坐标值。
Ｍ［５］：＝ｅｖａｌｆ（ｓｕｂｓ（ｙｚｔｊ，ｘ＝７．５，Ｍ［５］），４）：＃５
ｐｌｏｔ（ｚｉｐ（（ｘ，Ｙ）一＞［ｘ，Ｙ］，ＸＸ，ＱＱ／１０００））；＃绘剪
力图。（图３．ｃ）
＃５点剪力值。＃５点轴力值。
。
ｐｌｏｔ（ｚｉｐ（（ｘ，Ｙ）一＞［ｘ，Ｙ］，ＸＸ，ＮＮ／１０００））；＃绘轴
力图。（图３．ｄ）
样＃＃＃撑＃＃群＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃
Ｎ［５］：＝ｅｖａｉｆ（ｓｕｂｓ（ｙｚｔｊ，ｘ＝７．５，ＳＯＬ［５］，Ｎ［５］），
４）：
＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃峁＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃
表１三铰拱的内力计算
Ｍ［６］：＝ＭＭ２：＃６点弯矩。
Ｑ［６１］：＝ｓｕｂｓ（ｐｈｉ＝ｐｈｉ［６］，ＱＱ２）：＃６点左剪力。Ｎ［６１］：＝ｓｕｂｓ（ｐｈｉ＝ｐｈｉ［６］，ＮＮ２）：
＃６点左轴力。
Ｑ［６２］：＝ｓｕｂｓ（ｐｈｉ＝ｐｈｉ［６］，ＱＱ３）：＃６点右剪力。Ｎ［６２］：＝ｓｕｂｓ（ｐｈｉ＝ｐｈｉ［６］，ＮＮ３）：＃６点右轴力。Ｙ［６］：＝ｅｖａｌｆ（ｓｕｂｓ（ｘ＝９，Ｙ），４）：
矩值。
Ｑ［６Ｉ］：＝ｅｖａｌｆ（ｓｕｂｓ（ｙｚｔｊ，ｘ＝９，ＳＯＬ［６］，Ｑ［６１］），
４）：＃６点左剪力值。
Ｑ［６２］：＝ｅｖａｌｆ（ｓｕｂｓ（ｙｚｔｊ，ｘ＝９，ＳＯＬ［６］，Ｑ［６２］），
４）：＃６点右剪力值。４）：＃６点左轴力值。
Ｎ［６２］：＝ｅｖａｌｆ（ｓｕｂｓ（ｙｚｔｊ，ｘ＝９，ＳＯＬ［６］，Ｎ［６２］），
４）：
＃６点右轴力值。
．
＃６点纵坐标值。
＃６点弯
Ｍ［６］：＝ｅｖａｌｆ（ｓｕｂｓ（ｙｚｔｊ，ｘ＝９，Ｍ［６］），４）：
Ｎ［６１］：＝ｅｖａｌｆ（ｓｕｂｓ（ｙｚｔｊ，ｘ＝９，ＳＯＬ［６］，Ｎ［６１］），
３
结语
用Ｍａｐｌｅ语言编程，求解三铰拱的反力，内力（剪
（下转第７６页）
＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃
７６
实验室研究与
探索
第３０卷
养的人才是要能解决今后工程实际问题的人才，优秀［２］
邱洪兴，吴京，王恒华，等．土木工程实验教学示范中心建设与的职业素质对学生今后一生的职业生涯起到十分重要实践［Ｊ］．实验室研究与探索，２００９，２８（９）：８３－８７．
的作用，因此今后在高校中应加强学生职业素质训练［３］
Ｕｎｄｅｒｇｒａｄｕａｔｅ
Ｃｕｒｒｉｃｕｌｕｍ［ＥＢ／ＯＬ］．［２０１１—０４—０２］．ｈｔｔｐ／／
ＷＷＷ．ｃｅ．ｂｅｒｋｅｌｅｙ．ｅｄｕ／ｕｎｄｅｒｇｒａｄ．
的内容。
‘
［４］
Ｕｎｄｅｒｇｒａｄｕａｔｅ
Ｒｅｓｅａｒｃｈ［ＥＢ／ＯＬ］．［２０１１—０４一０２］．ｈｔｔｐ／／ｗｗｗ．
４
结语
ｃｅ．ｂｅｒｋｅｌｅｙ．ｅｄｕ／ｕｎｄｅｒｇｒａｄ．
［５］ＵｎｄｅｒｇｒａｄｕａｔｅＰａｒｔｉｃｉｐａｔｉｏｎｉｎ
Ｒｅｓｅａｒｃｈ［ＥＢ／ＯＬ］．［２０１１—０４—
通过中美高校土木工程专业本科创新实验教学体０２１．ｈｔｔｐ／／ｗｗｗ．ｅｅ．ｂｅｒｋｅｌｅｙ．ｅｄｕ／ｕｎｄｅｒｇｒａｄ．
系的比较，为了实现教育部提出的“面向工业界、面向［６］
Ｃｅｒｔｉｆｉｃａｔｅ
Ｐｒｏｇｒａｍ［ＥＢ／ＯＬ］．［２０１１—０４—０２］．ｈｔｔｐ／／ｗｗｗ．ｅｅ．
ｂｅｒｋｅｌｅｙ．ｅｄｕ／ｕｎｄｅｒｇｒａｄ．
世界、面向未来，培养卓越工程师后备人才”的目标，［７］余魅，习友宝．建设国家级实验教学示范中心构件创新人才培我们需要采取以下措施：
养平台［Ｊ］．实验技术与管理，２００６，２３（１２）：１０－１１．
（１）在教学计划制定中，应加大实验课程的比例，［８］陆庆，邢建川，侯孟书，等．分层次实验教学模式的探索［Ｊ］．实
提高学生的动手能力的培养。・
验技术与管理，２００９，２６（３）：１８６・１８８．
（２）继续通过多种渠道为有科学研究兴趣的学生
［９］孙欢，贾功利，侯其考．建设热能与动力工程实验教学中心的探索与实践［Ｊ］．实验技术与管理，２０１０，２７（８）：１２５—１２７．
提供从事科学研究的机会。
［１０］刘宏，肖发远，黄朝志．实验教学示范中心建设的探索与实践（３）学科竞赛应紧密地与工程实际相结合，竞赛［Ｊ］．实验室研究与探索，２０１０，２９（１１）：８４—８６．
题目应来自于工程，并能解决工程问题。
马冬梅，朱正伟，陈树越，等．电工电子实验教学示范中心的建设（４）教学计划中应设置一定数量的研讨课，着重与实践［Ｊ］．实验室研究与探索，２０１１，３０（２）：９５－９９．
培养学生独立发现问题、分析问题、解决问题的能力。
［１２］
方强，钱瑜，杨柳燕．环境科学与工程实验教学中创新能力（５）建立土木工程实训中心，开展土木工程基本培养方式的探索［Ｊ］．实验宰研究与探索，２０１１，３０（２）：１０７一１０９．
［１３］自宪臣，范孟华．高校士建专业建筑材料实验教学校企联合模式职业素质的训练，让学生在走出学校时能尽快融入探索［Ｊ］．实验室研究与探索，２０１１，３０（１）：１２６－１２９．
社会。
［１４］王志东，蒋志勇，朱仁庆，等．加强工程设计与创新能力培养体系建设［Ｊ］．实验室研究与探索，２０１１，３０（１）：８７－８９．
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长沙：湖南师范大学，２００７．
（上接第５１页）
，
力、弯矩和轴力），并绘制了内力（剪力、弯矩和轴力）图，具有如下特点：
（１）概念清晰、计算快捷、作图方便，容易领会。引嘉霎翼兹警端票；鬣茹．
［３］项海帆，刘光栋・拱结构的稳定与振动［Ｍ］・北京：人民交通出版
社，１９９１・
［６］戴仁杰．板拱桥的受力分析［Ｊ］．结构丁程师，１９９７（１）：２４．（２）所编程序思路通用性强，适用于对称的、非对［７］张永清，李满囤．抛物线斜板拱桥受力分析［Ｊ］．烟台师范学院学
称的、平拱、斜拱、多工况、超静定等复杂情况‘７剖。
报’２００１（２）：１０３・１０９．（３）本文只求解了三铰拱的反力和内力，但对于［８］张永清，贾双盈・抛物线斜板拱桥的内力计算［Ｊ］・西北建筑工程
画出结构影响线有很大指导意义。
（４）在计算方面，用计算机编程比手算更精…羞譬薹竺罴嚣孺计算机方法［Ｊ］．农业科学研舟’ｍ。
（１）：３２＿４２．确旧ｄ¨，且快捷；在绘图方面，前者更具有优越性：利用［１０］夏健明．用Ｅｘｃｅｌ绘制三铰拱的内力图［Ｊ］．力学与实践，２０１０，３２循环语句，进行多点计算，使曲线加密，使图形的拐点、（４）：１０４—１０６．’
突变、极值点，曲线凸凹度更为准确。
［１１］孙文彬・三铰拱弯矩影响线的图解法［Ｊ］．力学与实践，２００２，２４
可操作Ｉ／，一－。旺ＬｔＬ躔３Ｌ＇Ｉ，大大提高计算时间、绘图效果。所编的程．实例说节誓雹芝警雹，尊竺譬苎，，，挚心骜姜踅：
［，：］卞华，欧６嘉．平铰拱受力分析的迭代法…．郑州工业大学学一一
。。［１）：３７－５，２００１（１）：４３４５．
序可进一步推广，扩充其应用范围旧‘３１，为理论分析和［１３］李新平，陈湖，张勇．抛物线拱的内力精确计算实用公式
实际应用提供工具‘１２。１５１。［Ｊ］．科学技术与工程，２０１０（６）：１４５３—１４５７．
［１４］李新乎，ｘｌｊＣｇＦ．，，张云帆．抛物线拱变位引起的内力分计算一般
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［１５］程进，江见鲸，商汝诚，等・拱桥结构极限承载力的研究现状与
［２；魏德敏．簇的非线性理论及其应用［Ｍ］．北京：科学出版
发展［Ｊ］．公路交通科技，２００２（４）：５７－５９．
用计算机对三铰拱桥结构静力分析
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：
李彤， 李银山， 何录武， LI Tong， LI Yin-shan， HE Lu-wu
李彤,何录武,LI Tong,HE Lu-wu(华东理工大学机械与动力工程学院,承压系统安全教育部重点实验室,上海200237) ， 李银山,LI Yin-shan(河北工业大学力学系,天津,300130)实验室研究与探索
Research and Exploration in Laboratory2011,30(11)
参考文献(15条)
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本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_sysyjyts201111014.aspx
旃３０拯筇ＩＩ期２１）ＩＩ印ｌＩ门
实验室研究与探索
ＲＥＳＥＡＲＣＨ
ＡＮＤＥＸＰＩ．ＯＲＡＴＩＯＮＩＮ
ＬＡＨｌ）ＲＡＴｌｔＲ、
Ｖ０１３０～ｕ
・计算机技术应用・
用计算机对三铰拱桥结构静力分析
李
（１．华东理工大学
彤‘，李银山２，何录武１
机械与动力１．程学院，承压系统安全教育部重点实验室，七海２００２３７
２．河北工业大学力学系，天津３００１３０）
摘要：研究了１个三铰拱结构的受力特点．利用Ｍａｐｌｅ编写了求解三铰拱结构反力及内力的计算机程序．并同时画出了结构的内力图
实例表明：用Ｍａｐｌｅ编程求
解三铰拱结构的力学问题，精确性高，可操作性强，快速、便捷．大大提高了计算效
率厦绘图效果。所编的程序可进一步推广到其它同类问题．扩大其应用范围。关键词：三铰拱；拱的弯曲；Ｍａｐｌｅ中图分类号：Ｏ
３４２
文献标志码：Ａ
文章编号：１００６—７１６７（２０１１）１１—００４８—０４
ＳｔａｔｉｃＡｎａｌｙｓｉｓｏｆＴｈｒｅｅ—ＨｉｎｇｅｄＡｒｃｈＢｙＭａｐｌｅ
Ｌ，７ｂｎｇ。，
￡，Ｙｉｎ－ｓｈ，ｚｎ２，ＨＥＬ“．“，“‘
（１．Ｓｃｈｏｏｌ
ｏｆＭｅｃｈａｎｉｃａｌａｎｄＰｏｗｅｒＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＥａｓｔＣｈｉｎａＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｅｈｒｕ，ｌｏｇｙ
ＫｅｙＬａｂｎｒａｔｏｔＹｏｆＰｒｅｓｓｕｒｅＳｙｓｌｅｍｓａｎｄＳａｆｅｔｙ．Ｍｉｎｌｓｌｒｙ“Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ，Ｓｈａｎｇｈａｉ２００２３７，Ｃｈｉｎａ：
２．ｓＩｄｍｏｌｏｆＭｅｃｈａｎｉｃｓＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＨｅｂｅｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆ７ｌ＇ｅｅｈｎｏｌｏｇｙ．Ｔｉａｎｊｉｎ３００１３０，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ
ｔｈｉｓ
ｐａｐｅｒ．ｔｈｅｍｅｅｈａｎｉｅｎＪ
ｉｓｐｒｏｇｒａｍｍｅｄ
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ｅｆｆｉｃｉｅｎｔａｎｄｒｅｌｉａｂｌｅ．Ｔｈｅｃｏｍｐｕｔｉｎｇ
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ｄｒａｗｔｑ．Ｔｈｅｅｘａｍｐｌｅｓｈｏｗｓｔｈａｔｔｈｅｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇｂｙ
ｋｌｒＣ
１１１Ｕｆ
ｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙａｎｄｄｒａｗｉｎｇｅｆｆｅｃｔ
ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ
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Ｔｈｅｐｒｏｇｒａｍｓｔｉｌｌｈｅｅｘｐａｎｄｅｄａｎｄｉｔｓａｐｐｌｉｃａｔ；¨ｎ
ｂｅ
ｅｎｌａｒｇｅｄｆｏｒｏｔｈｅｒｓｌｍｉｌｍ’ｐｒｏｂｌｅｍｓ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｔｈｒｅｅ－ｈｉｎｇｅｄａｒｃｈ：ａｒｃｈ’ｓｂｅｎｄｉｎｇ；Ｍａｐｌｅ
０引言
方面足手算不能比的。学生可以形象、直脱地看到理论公式的求解过程。李锻山编写了《Ｍａｐｌｅ材料力学》等而向能力培养的教材。，增强了学生对理论的理解，对新问题的探索能力，增强ｒ学生的学习兴趣。
本文研究探讨ｒ二铰拱桥的受力特点和计算反力及Ｉ＾】力的方法，提ｍ一种利用Ｍａｐｌｅ编程的方法“，沦述ｒ程序设计过程。实践证ｌ碉，文中提供的方法，精确性高，可操作忡强，伙速、便捷，人人提高ｒ计算效率、．为工程设计提供了简便计算方法。
ｌ
作为水Ｉ建筑物中Ｊｌ‘泛虚用的一种结构型』℃——
二铰拱”，过去，・直是“手算”内力，既费时义费力，还难以保证｝｜算的正确性。特别是遇到多种倚载或复杂荷载作用时，计箅就更加繁琐。
现代汁算机软件的ｍ现可以方便地解决ｒ述问题。Ｍａｐｌｅ等具有符号计算、数值计算、图形处理等功能。语青简单．界而友好，操作方便。特别是提高计算精度
三铰拱的约束力与内力
以峰向载荷作用ｒ的平拱’为例．说目Ｊｔ铰拱的
收稿日期：２０ＩＩ一０２—２２
基金项目：旧家自然利学堪金项目资助（１０８７２０６３）；ｌ：海市重点学科缱醴资助项日（Ｂ５０３）
作者简介：车彤（１９６２一）．女，浙汀绍必凡．陴上．ｄ１：师．研究南㈣：｝＾构优化设计Ｅ－ｍａｉｌｉｔｎｎｇｌｉ＠¨ｉｉＨｔｅｄｕ¨ｍｌ
约束ＪＪ与内力的计算方浊。１．１支座约束力的计算
一铰拱足由２根Ｉｆｆ【杆与地基之间按“三刚片规则”组
第１１期
李彤，等：用计算机对三铰拱桥结构静力分析
４９
成的静定结构，共有６个未知约束力凡，只，，ＦＢ．，‰，
，＆，Ｆ毋，取全拱为研究对象如图１（ａ）所示。按∑Ｆ＝０，
∑Ｆｙ＝０，∑％＝０，可建立３个平衡方程；取左（或右）半拱为隔离体如图１（６）所示，按∑只＝ｏ，∑Ｌ＝ｏ，∑％＝
＜０可建立３个平衡方程，从而求出所有的约束力。
阿
翔
ｊ
ｋ
’
ｎ
（”左半拱．
图２三铰拱内力计算简图
帆＝【Ｋ菇ｘ—Ｐ。（石。一口，）卜嘶。
（３）
显而易见，由于水平推力的存在，拱的弯矩比相应
，
（ａ）拱结构
．．（ｂ）左半拱
简支梁的要小。
图１
三铰拱约束力计算简图
剪力以绕隔离体顺时针转动者为正；反之为负。三铰拱竖向约束力由ｉｓ，＝Ｆ竹，％＝Ｆ。，得
任一截面Ｋ的剪力Ｑ。等于该截面一侧所有外力在该
Ｋ＝三竽，五＝∑竽
（１）
截面法线方向上投影的代数和，由图２（ｂ）可得
Ｑｒ＝（Ｕ—Ｐ１）ｃｏｓｔｐ置一Ｈ
ｓｉｎｑ，ｘ
．
三铰拱水平约束力Ｈ＝Ｆ。；得
日：坠ｉ掣
（４）
妒鬈的符号在图示坐标系中左半拱取正，右半拱取负。
，
（２）
规定拱轴力以拉力为正。任一截面Ｋ的轴力等于该截面一侧所有外力在该截面法线方向上投影的代由式（１）可知，三铰拱的水平推力日只与载荷及３个数和，由图２（ｂ）有
铰的位置有关，而与各铰问的拱线形状无关。当荷载及Ｎ￡＝一（ｎ—Ｐ１）ｓｉｎｑ，ｘ—Ｈ
ｓｉｎ自ｏｚ
（５）
拱的跨度ｚ不变时，日将与拱高，成反比，愈大即拱愈高由式（２）知，三铰拱的内力不仅与载荷及三铰拱时，日愈小；反之／愈小即拱愈低时，日愈大。若ｆ＝０，的位置有关，而且与各铰间拱轴线的形状有关。
则Ｈ＝∞，此时３个铰已在一直线上，属于瞬变体系。１．２内力的计算
２
实例
约束力求出后，用截面法即可求出拱上任一截面试做图３（ａ）所示等截面三铰拱的内力图。已知的内力。任一横截面Ｋ的位置可由其形心的坐标菇ｎ拱轴线方程为Ｙ＝４ｆ（Ｚ一茁）ｚ／ｚ２。Ｙ。和该处轴切线的倾角妒。确定（见图２（ａ））。在拱２．１建模
中，通常规定弯矩的符号以使拱内侧受拉为正。由图计算支座约束力Ｌ、％、日。２（ｂ）所示隔离体可求得截面Ｋ的弯矩为
弯矩剪力和轴力的表达式分别为：
冒２５
蚤１５
三５
Ｏ
Ｘ／ｍ’
（ａ）三铰拱结构
（ｂ）弯矩Ｍ图
２０．８
ｘ／ｍ
０２
４
６
８
１０
１２
２０
・－２０
至
１：
－＼
彳
’／１
蚤－４０
主弋卜ｙ’８
８．５
－２０
杪ｊ
１２
ｄ－１０
Ｚ１ｍ
—８０
０
一一１００
ｘ｜ｍ
（ｃ）剪力Ｑｌｌｇｌ
。（ｄ）轴力Ｎ图
图３三铰拱内力图
５０
实验室研究与探索
第３０卷
●Ｍａｐｌｅ程序
Ｍ＝
，０＜菇≤了一ｉ１Ｌｘ扩一Ｉｔ，，。＜菇≤÷
虼菇一÷ｑｚ（省一÷）一够，ｉｌ＜菇≤；ｚＫ＊一÷ｑ叮茹一÷）一Ｐ（戈一４３－－／）一以，了３ｌ＜茗≤ｚ
一了ｇ石２一
ｒｅｓｔａｒｔ：
拌清零ｏ
＃＃＃＃舟＃＃＃＃＃＃＃＃＃掸＃井＃＃样＃
＃求三铰拱的支座约束力。＃
社＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃
．ｅｑｌ：＝ＦＡ［ｘ］＋Ｆｃ［Ｘ］＝０：＃ＡＣ部分，∑Ｆ，＝０。
＃ＡＣ部
ｅｑ２：＝ＦＡ［Ｙ］一ｑ术１／２＋Ｆｃ［Ｙ］＝０：
ｎ
ＣＯＳ妒一Ｈｓｉｎ６０，并＝０
Ｚ
（Ｋ—ｑｘ）ｃ。ｓ妒一日ｓｉｎ妒，
ｏ＜髫≤ｉ
Ｑ＝
（ｎ一割ｃｏｓ妒－Ｈｓｉｎ
ｑ，，了ｌ＜石＜孚
（Ｋ一一９１ｚ—Ｐ）…妒－Ｈ
ｓｉｎ
ｃｐ，了３ｌ＜菇≤ｚ
Ｋ
ｓｉｎ妒＋ＨＣＯＳ妒，
算＝０
Ｚ
（屹一ｑｘ）ｓｉｎ
９＋日ｃ。８妒，
ｏ＜茁≤ｉ
Ｎ＝
（ｎ一÷ｑｚ）ｓｉｎ妒＋Ｈ
ｃｏｓ
ｃｐ，、÷＜戈＜詈
（ｕ—ｉ１ｑｚ—Ｐ）ｓｉｎ妒＋日ｃｏｓ妒，ｉ３ｌ＜髫≤ｚ
分别计算０—８点的弯矩、剪力、轴力的值。弯矩图直接分段画出。由于妒的改变，剪力图、轴力图需采用描点法画出。２．２程序流程图
图４三铰拱程序流程
分，∑Ｆ。＝０。
ｅｑ３：＝ＦＡ［ｘ］｝ｆ—ＦＡ［Ｙ］￥１／２＋ｑ
４
１／２女１／４＝０：＃ＡＣ
部分，∑Ｍ．＝０。ｅｑ４－＿ＦＢ［ｘ］一ＦＣ［ｘ］＝０：
＃ＢＣ部分，∑ｔ＝０。
ｅｑ５：＝ＦＢ［Ｙ］一Ｐ—Ｆｃ［Ｙ］＝０：
＃ＢＣ部分，∑Ｆ．＝０。
ｅｑ６：＝ＦＢ［Ｘ］｝ｆ＋ＦＢ［Ｙ］％１／２一Ｐ｛１／４＝０：
＃ＢＣ部分，
∑Ｍ口＝０。
ＳＯＬＩ：＝ｓｏｌｖｅ（｛ｅｑｌ，ｅｑ２，ｅｑ３，ｅｑ４，ｅｑ５，ｅｑ６｝，
｛ＦＡ［ｘ］，ＦＡ［Ｙ］，ＦＢ［Ｘ］，ＦＢ［Ｙ］，Ｆｃ［ｘ］，Ｆｃ［Ｙ］｝）：＃
解方程。
ＦＡ［ｘ］：＝ｓｕｂｓ（ＳＯＬＩ，ＦＡ［Ｘ］）：＃Ｆ．，的大小。ＦＡ［Ｙ］：＝ｓｕｂｓ（ＳＯＬｌ，ＦＡ［Ｙ］）：群Ｆ。，的大小。
ＦＢ［Ｘ］：＝ｓｕｂｓ（ＳＯＬｌ，ＦＢ［ｘ］）：＃Ｆ。；的大小。
ＦＢ［Ｙ］：＝ｓｕｂｓ（ＳＯＬｌ，ＦＢ［Ｙ］）：＃Ｆ日，的大，Ｊ、。ＦＣ［Ｘ］：＝ｓｕｂｓ（ＳＯＬＩ，ＦＣ［ｘ］）：
＃Ｆ。Ｃｘ｝的大小。ＦＣ［Ｙ］：：ｓｕｂｓ（ＳＯＬＩ，ＦＣ［Ｙ］）：
＃Ｆ。，的大小。
Ｖ［Ａ］：＝ＦＡ［Ｙ］：＃竖向约束力Ｌ的大小。
Ｖ［Ｂ］：＝ＦＢ［Ｙ］：＃竖向约束力％的大小。Ｈ：＝ＦＡ［Ｘ］：＃水平推力日的大小。
＃＃＃＃＃群＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃
＃确定任意截面Ｋ三铰拱轴线的倾角妒。。＃
＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃
ｚｔｊ：＝ｑ：１４ｅ３，Ｐ＝５０ｅ３，ｌ：１２，ｆ＝４：＃已知条件。
Ｙ：＝４｝ｆ￥ｘ｝（１一ｘ）／ｌ
２：＃拱轴线函数。
Ｙ：＝ｓｕｂｓ（ｙｚｔｊ，Ｙ）：＃代入已知条件。ｔａｎ（ｐｈｉ）：＝ｄｉｆｆ（Ｙ，ｘ）：｝｝倾角妒。
ｆｏｒｋｆｒｏｍ
０
ｔｏ
８ｄｏ
棚到８点的循环开始。
ＳＯＬ［ｋ］：＝ｓｏｌｖｅ（｛ｅｑ［ｋ］｝，｛ｐｈｉ［ｋ］｝）：＃解方程。
ｏｄ：＃循环结束。
＃＃＃＃样＃拌＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃
样确定三铰拱内力的分段函数。＃
＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃撑＃＃样＃
ＭＭｌ：＝Ｖ［Ａ］ｔ
ｘ—ｑ／２十ｘ２一Ｈ＾Ｙ：
＃第一段弯矩表
达式。
ＭＭ２：＝Ｖ［Ａ］｝ｘ—ｑ＋１／２｝（ｘ一１／４）一Ｈ￥Ｙ：＃第二段
弯矩表达式。
ＱＱｌ：＝（Ｖ［Ａ］一ｑ＋ｘ）｛ｃｏｓ（ｐｈｉ）一Ｈ｛ｓｉｎ（ｐｈｉ）：＃
第一段剪力表达式。
ＱＱ２：＝（Ｖ［Ａ］一ｑ＋１／２）｝ＣＯＳ（ｐｈｉ）一Ｈ￥ｓｉｎ（ｐｈｉ）：
＃第二段剪力表达式。・
ＱＱ３：＝（Ｖ［Ａ］一ｑ
４
１／２一Ｐ）｝Ｃ０５（ｐｈｉ）一Ｈ｝ｓｉｎ
（ｐｈｉ）：＃第三段剪力表达式。
ＮＮＩ：＝一（Ｖ［Ａ］一ｑ＋ｘ）｝ｓｉｎ（ｐｈｉ）一Ｈ｝ＣＯＳ（ｐｈｉ）：
第１１期
李彤，等：用计算机对三铰拱桥结构静力分析
＃第一段轴力表达式。
ｆｏｒｋｆｒｏｍ７
ｔｏ
５１
８
ｄｏ撑７到８点循环开始。
ＮＮ２：＝一（Ｖ［Ａ］一ｑ‘１／２）｝ｓｉｎ（ｐｈｉ）一Ｈ￥ＣＯＳ（ｐｈｉ）：
＃第二段轴力表达式。
ＮＮ３：＝一（Ｖ［Ａ］二。ｑ＋１／２一Ｐ）｛ｓｉｎ（ｐｈｉ）一Ｈ￥ＣＯＳ
（ｐｈｉ）：＃第三段轴力表达式。
＃＃样＃＃样＃＃＃群＃拌＃＃撑＃＃＃＃＃拌
Ｍ［ｋ］：＝ＭＭ３：群各点弯矩。
Ｎ［ｋ］：＝ｓｕｂｓ（ｐｈｉ＝ｐｈｉ［ｋ］，ＮＮ３）：鼻各点轴力。Ｙ［ｋ］：＝６ｖａｌｆ（ｓｕｂｓ（ｘ＝ｋ｝１．５，Ｙ），４）；
＃各点Ｙ值。
Ｍ［ｋ］：＝ｅｖａｌｆ（ｓｕｂｓ（ｙｚｔｊ，ｘ＝ｋ｝１．５，Ｍ［ｋ］），４）：
＃各点弯矩值。
Ｑ［ｋ］：＝ｅｖａｌｆ（ｓｕｂｓ（ｙｚｔｊ，ｘ＝ｋ｝１．５，ＳＯＬ［ｋ］，Ｑ［ｋ］），
４）：
样确定三铰拱各点内力的值。＃
书啡＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃撑＃＃
ｆｏｒｋｆｒｏｍ０
ｔｏ
＃各点剪力值。＃各点轴力值。
Ｎ［ｋ］：＝ｅｖａｌｆ（ｓｕｂｓ（ｙｚｔｊ，ｘ＝ｋ｝１．５，ＳＯＬ［ｋ］，Ｎ［ｋ］），
４）：
４
ｄｏ＃０到４点循环开始。Ｍ［ｋ］：＝ＭＭｌ：
ｏｄ：袢循环结束。
＃＃＃＃撑＃＃＃＃＃＃样＃＃＃＃＃＃＃＃
＃各点弯矩。
Ｑ［ｋ］：＝ｓｕｂｓ（ｐｈｉ＝ｐｈｉ［ｋ］，ＱＱＩ）：
＃各点剪力。
Ｎ［ｋ］：＝ｓｕｂｓ（ｐｈｉ＝ｐｈｉ［ｋ］，ＮＮｌ）：峁各点轴力。
Ｙ［ｋ］：＝ｅｖａｌｆ（ｓｕｂｓ（ｘ＝ｋ｝１．５，Ｙ），４）；＃各点纵坐
＃绘三铰拱的内力图。＃
＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃
标值。
Ｍ［ｋ］：＝ｅｖａｌｆ（ｓｕｂｓ（ｙｚｔｊ，ｘ＝ｋ・１．５，Ｍ［ｋ］），
４）：＃各点弯矩值。
Ｑ［ｋ］：＝ｅｖａｌｆ（ｓｕｂｓ（ｙｚｔｊ，ｘ＝ｋ｝１．５，ＳＯＬ［ｋ］，Ｑ［ｋ］），
４）：
ｗｉｔｈ（ｐｌｏｔｓ）：＃ＪＪｎ载绘图函数库。
Ｍ：＝ｘ一＞ｐｉｅｃｅｗｉｓｅ（ｘ＜１／２，ＭＭｌ，ｘ＜３｝１／４，ＭＭ２，
ｘ＜ｌ。ＭＭ３）：
＃弯矩的分段函数表达式。
峁弯矩的标准形式。
Ｍ：＝ｎｏｒｍａｌ（Ｍ（ｘ））：
＃各点剪力值。＃各点轴力值。
Ｍ：＝ｓｕｂｓ（ｙｚｔｊ，Ｍ）：＃代入已知条件。
、
Ｎ［ｋ］：＝ｅｖａｌｆ（ｓｕｂｓ（ｙｚｔｊ，ｘ＝ｋ十１．５，ＳＯＬ［ｋ］，Ｎ［ｋ］），
４）：
ｏｄ：
ｐｌｏｔ（｛Ｍ／１０００ｆ，Ｘ＝０．．１２）；＃绘弯矩图。（图３．ｂ）
＃
ＸＸ：＝［０，１．５，３，４．５，６，７．５，９，９，１０．５，１２，１２］：
撑循环结束。
横坐标点序列。
ＱＱ：＝［Ｑ［０］，Ｑ［１］，Ｑ［２］，Ｑ［３］，Ｑ［４］，
Ｑ［５］，Ｑ［６１］，Ｑ［６２］，Ｑ［７］，Ｑ［８］，０］：＃剪力值
序列。
、
＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃择＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃
Ｍ［５］：＝ＭＭ２：＃５点弯矩。
Ｑ［５］：＝ｓｕｂｓ（ｐｈｉ＝ｐｈｉ［５］，ＱＱ２）：＃５点剪力。Ｎ［５］：＝ｓｕｂｓ（ｐｈｉ＝ｐｈｉ［５］，ＮＮ２）：＃５点轴力。Ｙ［５］：＝ｅｖａｌｆ（ｓｕｂｓ（ｘ＝７．５，Ｙ），４）：
点弯矩值。
Ｑ［５］：＝ｅｖａｌｆ（ｓｕｂｓ（ｙｚｔｊ，ｘ＝７．５，ＳＯＬ［５］，Ｑ［５］），
４）：
ＮＮ：＝［Ｎ［０］，Ｎ［１］，Ｎ［２］，Ｎ［３］，Ｎ［４］，
Ｎ［５］，Ｎ［６１］，Ｎ［６２］，Ｎ［７］，Ｎ［８］，０］：＃轴力值
序列。
＃５点纵坐标值。
Ｍ［５］：＝ｅｖａｌｆ（ｓｕｂｓ（ｙｚｔｊ，ｘ＝７．５，Ｍ［５］），４）：＃５
ｐｌｏｔ（ｚｉｐ（（ｘ，Ｙ）一＞［ｘ，Ｙ］，ＸＸ，ＱＱ／１０００））；＃绘剪
力图。（图３．ｃ）
＃５点剪力值。＃５点轴力值。
。
ｐｌｏｔ（ｚｉｐ（（ｘ，Ｙ）一＞［ｘ，Ｙ］，ＸＸ，ＮＮ／１０００））；＃绘轴
力图。（图３．ｄ）
样＃＃＃撑＃＃群＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃
Ｎ［５］：＝ｅｖａｉｆ（ｓｕｂｓ（ｙｚｔｊ，ｘ＝７．５，ＳＯＬ［５］，Ｎ［５］），
４）：
＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃峁＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃
表１三铰拱的内力计算
Ｍ［６］：＝ＭＭ２：＃６点弯矩。
Ｑ［６１］：＝ｓｕｂｓ（ｐｈｉ＝ｐｈｉ［６］，ＱＱ２）：＃６点左剪力。Ｎ［６１］：＝ｓｕｂｓ（ｐｈｉ＝ｐｈｉ［６］，ＮＮ２）：
＃６点左轴力。
Ｑ［６２］：＝ｓｕｂｓ（ｐｈｉ＝ｐｈｉ［６］，ＱＱ３）：＃６点右剪力。Ｎ［６２］：＝ｓｕｂｓ（ｐｈｉ＝ｐｈｉ［６］，ＮＮ３）：＃６点右轴力。Ｙ［６］：＝ｅｖａｌｆ（ｓｕｂｓ（ｘ＝９，Ｙ），４）：
矩值。
Ｑ［６Ｉ］：＝ｅｖａｌｆ（ｓｕｂｓ（ｙｚｔｊ，ｘ＝９，ＳＯＬ［６］，Ｑ［６１］），
４）：＃６点左剪力值。
Ｑ［６２］：＝ｅｖａｌｆ（ｓｕｂｓ（ｙｚｔｊ，ｘ＝９，ＳＯＬ［６］，Ｑ［６２］），
４）：＃６点右剪力值。４）：＃６点左轴力值。
Ｎ［６２］：＝ｅｖａｌｆ（ｓｕｂｓ（ｙｚｔｊ，ｘ＝９，ＳＯＬ［６］，Ｎ［６２］），
４）：
＃６点右轴力值。
．
＃６点纵坐标值。
＃６点弯
Ｍ［６］：＝ｅｖａｌｆ（ｓｕｂｓ（ｙｚｔｊ，ｘ＝９，Ｍ［６］），４）：
Ｎ［６１］：＝ｅｖａｌｆ（ｓｕｂｓ（ｙｚｔｊ，ｘ＝９，ＳＯＬ［６］，Ｎ［６１］），
３
结语
用Ｍａｐｌｅ语言编程，求解三铰拱的反力，内力（剪
（下转第７６页）
＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃＃
７６
实验室研究与
探索
第３０卷
养的人才是要能解决今后工程实际问题的人才，优秀［２］
邱洪兴，吴京，王恒华，等．土木工程实验教学示范中心建设与的职业素质对学生今后一生的职业生涯起到十分重要实践［Ｊ］．实验室研究与探索，２００９，２８（９）：８３－８７．
的作用，因此今后在高校中应加强学生职业素质训练［３］
Ｕｎｄｅｒｇｒａｄｕａｔｅ
Ｃｕｒｒｉｃｕｌｕｍ［ＥＢ／ＯＬ］．［２０１１—０４—０２］．ｈｔｔｐ／／
ＷＷＷ．ｃｅ．ｂｅｒｋｅｌｅｙ．ｅｄｕ／ｕｎｄｅｒｇｒａｄ．
的内容。
‘
［４］
Ｕｎｄｅｒｇｒａｄｕａｔｅ
Ｒｅｓｅａｒｃｈ［ＥＢ／ＯＬ］．［２０１１—０４一０２］．ｈｔｔｐ／／ｗｗｗ．
４
结语
ｃｅ．ｂｅｒｋｅｌｅｙ．ｅｄｕ／ｕｎｄｅｒｇｒａｄ．
［５］ＵｎｄｅｒｇｒａｄｕａｔｅＰａｒｔｉｃｉｐａｔｉｏｎｉｎ
Ｒｅｓｅａｒｃｈ［ＥＢ／ＯＬ］．［２０１１—０４—
通过中美高校土木工程专业本科创新实验教学体０２１．ｈｔｔｐ／／ｗｗｗ．ｅｅ．ｂｅｒｋｅｌｅｙ．ｅｄｕ／ｕｎｄｅｒｇｒａｄ．
系的比较，为了实现教育部提出的“面向工业界、面向［６］
Ｃｅｒｔｉｆｉｃａｔｅ
Ｐｒｏｇｒａｍ［ＥＢ／ＯＬ］．［２０１１—０４—０２］．ｈｔｔｐ／／ｗｗｗ．ｅｅ．
ｂｅｒｋｅｌｅｙ．ｅｄｕ／ｕｎｄｅｒｇｒａｄ．
世界、面向未来，培养卓越工程师后备人才”的目标，［７］余魅，习友宝．建设国家级实验教学示范中心构件创新人才培我们需要采取以下措施：
养平台［Ｊ］．实验技术与管理，２００６，２３（１２）：１０－１１．
（１）在教学计划制定中，应加大实验课程的比例，［８］陆庆，邢建川，侯孟书，等．分层次实验教学模式的探索［Ｊ］．实
提高学生的动手能力的培养。・
验技术与管理，２００９，２６（３）：１８６・１８８．
（２）继续通过多种渠道为有科学研究兴趣的学生
［９］孙欢，贾功利，侯其考．建设热能与动力工程实验教学中心的探索与实践［Ｊ］．实验技术与管理，２０１０，２７（８）：１２５—１２７．
提供从事科学研究的机会。
［１０］刘宏，肖发远，黄朝志．实验教学示范中心建设的探索与实践（３）学科竞赛应紧密地与工程实际相结合，竞赛［Ｊ］．实验室研究与探索，２０１０，２９（１１）：８４—８６．
题目应来自于工程，并能解决工程问题。
马冬梅，朱正伟，陈树越，等．电工电子实验教学示范中心的建设（４）教学计划中应设置一定数量的研讨课，着重与实践［Ｊ］．实验室研究与探索，２０１１，３０（２）：９５－９９．
培养学生独立发现问题、分析问题、解决问题的能力。
［１２］
方强，钱瑜，杨柳燕．环境科学与工程实验教学中创新能力（５）建立土木工程实训中心，开展土木工程基本培养方式的探索［Ｊ］．实验宰研究与探索，２０１１，３０（２）：１０７一１０９．
［１３］自宪臣，范孟华．高校士建专业建筑材料实验教学校企联合模式职业素质的训练，让学生在走出学校时能尽快融入探索［Ｊ］．实验室研究与探索，２０１１，３０（１）：１２６－１２９．
社会。
［１４］王志东，蒋志勇，朱仁庆，等．加强工程设计与创新能力培养体系建设［Ｊ］．实验室研究与探索，２０１１，３０（１）：８７－８９．
参考文献（Ｒｅｆｅｒｅｎｃｅｓ）：
［１５］罗晖，刘海文，王传云．基于工程实践能力培养的光纤通信网
［１］
田逸．美国大学生工程实践能力培养及其对我国的启示［Ｄ］实切Ｉ平台建设［Ｊ］．实验室研究与探索，２０１０，２９（１０）：７２－７５．
长沙：湖南师范大学，２００７．
（上接第５１页）
，
力、弯矩和轴力），并绘制了内力（剪力、弯矩和轴力）图，具有如下特点：
（１）概念清晰、计算快捷、作图方便，容易领会。引嘉霎翼兹警端票；鬣茹．
［３］项海帆，刘光栋・拱结构的稳定与振动［Ｍ］・北京：人民交通出版
社，１９９１・
［６］戴仁杰．板拱桥的受力分析［Ｊ］．结构丁程师，１９９７（１）：２４．（２）所编程序思路通用性强，适用于对称的、非对［７］张永清，李满囤．抛物线斜板拱桥受力分析［Ｊ］．烟台师范学院学
称的、平拱、斜拱、多工况、超静定等复杂情况‘７剖。
报’２００１（２）：１０３・１０９．（３）本文只求解了三铰拱的反力和内力，但对于［８］张永清，贾双盈・抛物线斜板拱桥的内力计算［Ｊ］・西北建筑工程
画出结构影响线有很大指导意义。
（４）在计算方面，用计算机编程比手算更精…羞譬薹竺罴嚣孺计算机方法［Ｊ］．农业科学研舟’ｍ。
（１）：３２＿４２．确旧ｄ¨，且快捷；在绘图方面，前者更具有优越性：利用［１０］夏健明．用Ｅｘｃｅｌ绘制三铰拱的内力图［Ｊ］．力学与实践，２０１０，３２循环语句，进行多点计算，使曲线加密，使图形的拐点、（４）：１０４—１０６．’
突变、极值点，曲线凸凹度更为准确。
［１１］孙文彬・三铰拱弯矩影响线的图解法［Ｊ］．力学与实践，２００２，２４
可操作Ｉ／，一－。旺ＬｔＬ躔３Ｌ＇Ｉ，大大提高计算时间、绘图效果。所编的程．实例说节誓雹芝警雹，尊竺譬苎，，，挚心骜姜踅：
［，：］卞华，欧６嘉．平铰拱受力分析的迭代法…．郑州工业大学学一一
。。［１）：３７－５，２００１（１）：４３４５．
序可进一步推广，扩充其应用范围旧‘３１，为理论分析和［１３］李新平，陈湖，张勇．抛物线拱的内力精确计算实用公式
实际应用提供工具‘１２。１５１。［Ｊ］．科学技术与工程，２０１０（６）：１４５３—１４５７．
［１４］李新乎，ｘｌｊＣｇＦ．，，张云帆．抛物线拱变位引起的内力分计算一般
参考文献（Ｒｅｆｅｒｅｎｃｅｓ）：
公式［Ｊ］．科学技术与工程，２０１１（６）：１３８８．１３９１．
［１］李银山．Ｍ。ｐｌｅ材料力学［Ｍ］，北京：机械工业出版社，２００９．
［１５］程进，江见鲸，商汝诚，等・拱桥结构极限承载力的研究现状与
［２；魏德敏．簇的非线性理论及其应用［Ｍ］．北京：科学出版
发展［Ｊ］．公路交通科技，２００２（４）：５７－５９．
用计算机对三铰拱桥结构静力分析
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：
李彤， 李银山， 何录武， LI Tong， LI Yin-shan， HE Lu-wu
李彤,何录武,LI Tong,HE Lu-wu(华东理工大学机械与动力工程学院,承压系统安全教育部重点实验室,上海200237) ， 李银山,LI Yin-shan(河北工业大学力学系,天津,300130)实验室研究与探索
Research and Exploration in Laboratory2011,30(11)
参考文献(15条)
1. 李银山 Maple材料力学 2009
2. 魏德敏 拱的非线性理论及其应用 20043. 项海帆. 刘光栋 拱结构的稳定与振动 19914. 李廉锟 结构力学 19795. 姚玲森 桥梁工程 2001
6. 戴仁杰 板拱桥的受力分析 1997(01)
7. 张永清. 李满囤 抛物线斜板拱桥受力分析[期刊论文]-烟台师范学院学报(自然科学版) 2001(02)8. 张永清. 贾双盈 抛物线斜板拱桥的内力计算[期刊论文]-建筑科学与工程学报 2001(02)9. 崔清洋 三铰拱内力分析的计算机方法 1993(01)
10. 夏健明 用Excel绘制三铰拱的内力图[期刊论文]-力学与实践 2010(04)11. 孙文彬 三铰拱弯矩影响线的图解法[期刊论文]-力学与实践 2002(01)12. 卞华. 欧莉 平铰拱受力分析的迭代法 2001(01)
13. 李新平. 陈 湖. 张 勇 抛物线拱的内力精确计算实用公式[期刊论文]-科学技术与工程 2010(06)14. 李新平. 邓德员. 张云帆 抛物线拱变位引起的内力分计算一般公式[期刊论文]-科学技术与工程 2011(06)15. 程进. 江见鲸. 商汝诚 拱桥结构极限承载力的研究现状与发展[期刊论文]-公路交通科技 2002(04)
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