金融探讨
２０１１年第０７期
久期凸性衡量债券市场利率风险实证分析
■赵淑方吕俊左
摘要：债券是最重要的有价证券之一，通常有相对固定的现金流，它的主要风险为利率风险．久期和凸性是刻画债券的两个重要特征参数，是债券利率风险度量和管理需要考虑的主要因素．文章从久期凸性模型出发，借鉴不均匀支付债券的久期公式，推导出不均匀支付债券的凸性公式，并利用其进行实证分析，探讨久期凸性在衡量债券市场利率风险中的应用及问题．
关键词：久期；凸性；债券市场；利率风险
随着中国利率市场化的推进，由市场因素决定的利率波动会变得更加频繁，利率风险必将成为市场风险中的主要风险。利率风险是指由于利率的变化而给债券投资者带来收益损失的可能性，随着市场参与主体的增加，特别是大量的机构投资者的涌人，债券市场的价格波动也随之增加。利率市场化进程的推进不可避免地对其所有市场主体带来利率波动风险。
久期和凸性是债券利率风险度量的两个传统方法。久期是测量债券投资风险最常用的方法，当市场利率波动较大时，凸性是对久期导出值偏差的修正。本文是在久期凸性的模型下，选择１９支国债来做实证分析，进而验证久期凸性的一些性质，同时也提出了一些问题。
上面三个等式中，严—顺券的现价；
伊—椎券的久期；
＾卜一最后一期的期数；
Ｃ——ｔ期啻兑入的现金流；卜—－收到现金流的时期；
广一到期收益率。
（２）不均匀支付债券的久期。
本文的实证分析牵涉到的现金流的支付是不均匀分布的，因此这里要引出不均匀支付债券的久期公式。所谓不均匀支付债券是指债券的购买日距第一次支付利息的时同间
隔不到—年，而其余的支付是均匀的。假设—个债券利息支付次数为Ｎ，第一次利息支付发生的时间距购买日为ｎ（０姐＜１），
其余支付时间均匀分布，则债券的久期可以表示为：
１．久期的债券利率敏感度度量
（１）麦考利久期。
麦考利久期（记为Ｄ），是指债券现金流支付时间的加权平均，权重就是支付额占债券总价值的比率。久期作为度量债券价格对市场利率的敏感程度的指标，被广泛应用于债券的风险度量。通常认为久期越长，债券价格对利率变动所产生的变动幅度越大，从而风险也越大。
债券市场价格Ｐ为：
ｋ・＝古。；铲２芋Ｅ垃ｃ－，吐一ｌ
，．
丫虬
‘４’
一１（１＋ｒ）
式中，各字母代表的意义与上面相同。此时的债券价格
舟∑丢
‘‘１（１＋０
麦考利久期的公式为：
（５）
（１）
把久期理解为债券价格对收益率（市场利率）的弹性，可以很容易地利用久期来度量债券价格的波动性和度量债
踮｝互惫
把债券价格Ｐ代人（２）得：
㈤
券风险。
对公式（５）两边求ｒ的导数，并结合公式（４）可得：
羔乓Ｄ＝－等盟主乓
一１（１＋ｒ）
蔓匕：Ｌ—ｙ．丛生！）曼扯１．－—Ｌ罗熊塑＝！）￡昝Ｉｄｒ
・鲁
（１＋ｒ）“
１”一鲁（１＋矿。１
（３）
一啦Ｉ＆ｌ
ｌ＋ｒ
（６）
进一步可得：
作者简介：赵淑方，南京航空航天大学经济与管理学院硕士生；吕俊左，南京航空航天大学经济与管理学院．
万方数据
．
２０１１年第０７期
金融探讨
ｊｋ＝一Ｄ．。。』Ｌ
ｌ＋ｒ
型ｋ＝Ｌ
（７）
【。耋拇】－１２；Ｎ器。耋船＋烈耋簖】‘
ｒⅣ
上式左边表示债券价格的变化率对于收益率的比值，称为“债券价格对市场利率的弹性”，描述了由于市场利率的变化带来的债券价格变化的敏感度。
债券价格对利率变动的敏感度又可表示为：
【。鲁（１＋∥ｊ
ｙ鱼Ｉ
’
１一
（１４）
进一步结合公式（４）和（５）得出：
Ｖ鱼玉匕Ｌ
（８）
等＝以ＩＸ鲁
分别用△ｐ一。和Ａｒ来代替ｄ只＋。和由，可得：
ｃＯｉｌｙｅ茹ｉｔｙ＝ｌ一皇业止＋士（Ｄ酬吨＋１）２
Ｐ口。一Ｉ（１＋厂尸
ｌ＋ｒ。
（１５）
凸性衡量了曲线的弯曲程度，测度的是利率的变化率。我们将债券价格实际变动的百分比运用泰勒公式二阶
（９）
展开式级数近似得出：
△艮ｌ等一址Ｉ×艮Ｉ×譬
市场利率变化会造成债券价格的多大变化。
（３）不均匀支付债券的修正久期。
利用上式，久期就可以用来度量债券价格的波动性，即
鲁＝争×古×押争×争×古×（ｄｒ）２（１６）
上式右边第一项是债券修正久期的债券价格变动百分比，第二项是债券凸性的债券价格变动百分比。则可以表示为：
当收益率很小时，分母（１卅可以近似地看作１，这就引
入了修正久期（记为ＭＤ）的概念。其主要应用是将修正久期
和市场利率的预期相结合对债券的价格变化率进行估计，修正久期越大债券的价格变化幅度越大，利率风险就越高。
争＝－－ＭＤ。．＿Ｉｘ“｝×ｏ。×（计
分别用△Ｐ和Ａｒ来代替ｄＰ和ｄｒ，可得：
（１７）
考虑不均匀支付债券，设仉。．。为修正久期，ｒ为收益
掣｝是埘‰。ｘＺＸｒ＋－｝×ｏ。ｘ（ＺＸｒ）２
性就起到了重要作用。
（１８）
率，则修正久期（Ｊ｜Ｉ佃。“）可定义为兰争譬。
由公式（８）可知修正久期的公式为：
式中。当利率变化较小时，修正久期能很好地测度债券的利率风险，凸性的意义并不明显；当利率变化较大时，凸
（１０）
ＭＤ。－ａ＝－ｊ一驾畔
凡“
口ｒ
３．实证分析表１
１９支国债基本情况ＰＩ
１０７．８５１０１．６９１０１．８９１０１．２９７．５９８１００．７８１０２．４１０１．１６１０３．２８１０３．７２１０４．８３１０４．９８１００．５９７．４９８１０１．９１０３．７５１０１
当△户ｏ。和△ｒ很小时，由公式（１０）可得到：
△只＋Ｉ等—只。ｌＸ△ｒＸ肘仇＋Ｉ
△ｒ兰造：ｔ＝Ｌ兰一膨Ｄ二．“Ｘ△ｒ兰坚址Ｌ兰一膨Ｄ二．“
（１１）（１２）
债券
代码
０１０１０７０１０１１００１０１１２０１０２０３０１０２１３０１０３０３０１０３０７０１０３０８０１０３ｌｌ
Ｂ
１０８．４４１０１．３１１０１．４１００．６４９７．７９９．０６ｌｏｏ．１９１０２．０９ｌｏｏ．８１０２．９１０３．３３１０４．０５１０５．４５ｌｏｏ．４９７．６９８．９ｌ１０１．６１０２．９６ｌｏｏ．７６
△Ｐ
Ｏ．５９－０．３８－０．４９－０．５６Ｏ．２１．０６－０．５９－０．３ｌ－０．３６－０．３８－０．３９－０．７８０．４７
实际价格变化率０．５５％－０．３７％－０．４８％－０．５５％０．２ｌ％１．０８％－０．５９％－０．３０％－０．３６％－０．３７％－０．３８％－０．７４％０．４５％－０．１０％０．２ｌ％０．９３％－０．２９％－０．７６％－０．２４％
＾
ｒ２
△ｒ
－０．０７０ｋＯ．２３％Ｏ．２９％０．２９％—）．０３％
－０．１０％
‰Ｉ
３．４ｌ％１．６４％１．６８％１．８８％２．９８％３．６０％—Ｌ９２％２．２５％０．９８％１．４９％１．６３％
３．３４％１．８６％１．９７％２．１７％
上式描述了债券价格的变化量（率）可以通过修正久期和利率的变化量来度量。
２．凸性的债券利率敏感度估计
久期只是利率对债券价格的影响效果的一种近似刻画，存在着一定缺陷。它可以看作是债券价格对利率小幅度波动敏感度的一阶估计，只有市场利率波动幅度很小时比较准确，如果市场利率波动幅度较大时，价格和利率之间的
２．９６％３．４９％
１．２ｌ％２．３３％
２．１３％０．０８％Ｏ．３９％Ｏ．１ｌ％Ｏ．１２％Ｏ．３６％－－０．０４％Ｏ．０３％－－０．０３％—ｏ．０９％Ｏ．０８％０．５２％０．１４％
关系误差就相对很大。对于此，引入了凸性（记为Ｃ）的概念，
它是对债券久期利率敏感性的度量。
１．３７％
１．６０％１．７５％１．８９％３．６３％２．３５％２．９７％３．５ｌ％２．４９％１．５３％２．４６％
Ｏｌ蝴
０１０４（ｙ７Ｏ１０４１００１０５０４０１０６０ｌ
凸性可以通过计算久期对利率的导数或者债券价格对
利率的二阶导数再除以债券的价格得到，债券的凸性公式为：
１．５３％
３．６７％２．３２％３．００％３．６０％
凸性＝ｃ伽咖一罂＝寺×警＝Ｆ１×丽１ｄｒ
。
加．１
０．２０．９１－０．３－０．７９－－０．２４
ｐ
ｄ广
ｐ
Ｉｌ”广
×
１００２１３１００３０３
。鲁（１州
∑孵
（１３）…７
１００３０８２．４１％
１．０２％２．３２％
考虑不均匀支付债券的久期问题，由（４）式求债券凸性，计算久期对利率的导数可得：
１０（心
１０１９１２
ｃｏ聊ｅ石如．户』』；吐＝
数据来源：国泰安经济研究数据库之中国债券市场研究子数据库．
∥‰
万方数据
金融探讨
选取国泰安数据库２０１０年６月１日，２０１０年７月１日的１９支国债的数据进行实证分析。这里用ＰＩ，ｐ’分别表示
２０１１年第０７期
就更接近实际价格变动率，但是却不是很明显。为了弄清这个原因，计算各变量之间的相关系数如表３。
从表３可以看出，实际价格变化率与修正久期计算的理论价格变化率以及考虑凸性的理论价格变化率之间具有很强的相关性，而且修正久期计算的理论价格变化率和考虑凸性的理论价格变化率之间也具有很强的相关性。这说明了在本次实证分析中的数据选举的国债利率变化相对较小，致使凸性的作用不是很明显，只有利率波动幅度较大时，凸性才能体现作用。
４．结论
通常认为久期越长。债券价格对利率变动所产生的变动幅度越大，从而利率风险也越大。但从实证分析来看，这
２０１０年６月１日、２０１０年７月１日的收盘价；Ａ尸表示两个
日期的实际价格变化量；ｒＩ表示６月１日债券的到期收益
率；ｒ２表示７月１日债券的到期收益率；Ａｒ表示（ｒ２一Ｉ）。具
体数据见表ｌ。
这里用△ＰＩ表示修正久期计算的理论价格变化率；△Ｂ表示考虑凸性计算的理论价格变化率；△Ｐ，表示修正久期计算出来的理论价格变化率与实际价格变化率之差；△只表示考虑凸性计算出来的理论价格变化率与实际价格变化率之差（如表２）。
对比表ｌ和表２可以看出，由修正久期来预测债券的
理论价格变化率与债券价格实际变化率很接近，具有很好的效果性。在考虑债券凸性后，债券价格变动率的理论预测
表２各债券久期凸性和几种价格变化率债券代码
０１０１０７０１０１１００１０１１２０１０２０３０１０２１３０１０３０３０１０３０７０１０３０８０１０３１１０１０４０４
个结论并不成立，无论是从实际价格变化量还是从理论价
格变化量考虑：久期长，由利率变动所产生的债券价格的变
动幅度并不一定大。本实证分析不止一次出现这种情况，可见这并不是个特例，
修正久期
８．８３ｌ１．２６６１．３５９Ｉ．８１８６．５５２１０．２７９０．２１８３．０５５Ｏ—４６１０．９６４１．１６７１．４１５１１．１９８２国口７６．５５ｌ１０．２７９３．０４９ｏ．９６８１．３５ｌ
凸性
９５．１７１２．８７５３．２１１５．１１２５０．５７２１２６．１４１Ｏ．２６７５１２．６７２Ｏ．６７１．８７８２２．５５２３．４４１５３．７３９．４５３５０．５５３１２６．１４１１２．６３１．８９＿５７３．１７１
实际价格变化率
Ｏ．５５％
△ＰＩ
△Ｂ
０．５８４０％－－０．２８４２％－０．３９１ｌ％－－０．５２１５％０．１８０４％１．０７３８％－０．４５８３％－．－０．２４８９％－０．１８０７％－０．１０８１％
△Ｐ，
Ｏ．０３４９％０．０８８７％０．０８８４％Ｏ．０２９８％－０．０２４９％－０．０１４７％０．１２１１％Ｏ．０５３４％０．１７４７％Ｏ．２５９７％０．２３０６％０．２３３５％Ｏ．０２０４％０．０１４３％
△只
０．０３７０％０．０８９４％
这个事实确实否定了债券定价理论。因此，要考虑影响债券价格波动的其他因
ｏ．５８２０％－－０．２８５０％
—０．３７％
—０４８％—ｏ．５５％０．２ｌ％１．０８％—Ｄ．５９％—０．３０％－０．３６％．Ｊ０．３７％－－０．３８％－０．７４％Ｏ．４５％－０．１０％０．２１％０．９３％
素。除了利率影响债券价格外，还有债券的供给与需求、股票市场、外汇市场、货
ｍ３９２５％
—Ｏ．５２３６％Ｏ．１８０２％１．０６７０％
０．０８９８％
０．０３ｌ蚴
－０．０２４８％—）．００ｒ７９％０．１２７２％Ｏ．０５３９％ｏ．１７５２％０．２５９８％０．２３０８％０．２３５８％Ｏ．０２１７％０．０１４３％
币市场等。这里主要分析债券的供给与需求。
债券的供求将直接影响债券的市场价格。所以投资者要计算每年到期的债
－０．４６４３％－－０．２．４９３％
—ｏ．１８１２％－０．１０８２％－０．１４５４％－－０．５１０５％０．４６８１％－－０．０８５２％ｏ．１７９５％０．９１５９％—阻２５２８％－０．４９９５％－０．１８９８％
券资金与当年新发行债券的计划资金，
如果到期资金大于当年新发债计划资金，就会导致债券需求大于供给，债券价格有可能上升；反之，债券的价格就有可能下跌。
除了总量分析外，还要分析不同品种、不同期限债券、浮动利率和固定利率债券的供求，因为它们同样会影响债券的价格。中国债券市场对债券的需求是巨大的，但对债券的供给却是有限的，债券供求矛盾非常突出。在这种情况下，出现上述实证分析的异常现象也是可能的。
０１０４Ｉ叮
０１０４１００ｌＱ５０４０１０６０ｌ１００２１３１００３０３１００３０８１００４０４１０１９１２
－ｏ．１４５２％－０．５０８３％
０．４６９４％
－０．０８５２％
Ｏ．１７９７％０．９２０９％－０．２５２３％
－－０．０２５８％－－０．０２５７％－０．０１２７％
ｍ００７７％
ｏ．０４２ｌ％０．２６４５％Ｏ．０４８ｌ％
—ｏ．２９％
－０．７６％—０．２４％
Ｏ．０４１６％０．２６１９％
０．０４７８％
－０．４９７０％
．０．１８９５％
表３各变量相关系数矩阵
实际价格
参考文献
修正久期
修正久期计算的理论价格变化率
考虑凸性的理论价
格变化宰
【１】谷秀娟．金融风险管理——理论、技术
与应用【明．上海：立信会计出版社，２００６．【２】刘善存．Ｅｘｃｅｌ在金融模型分析中的应用ｌ－ｔａｒｌ．北京：人民邮电出版社，２００４．
变化率
实际价格变化率
１．００００００
修正久期修正久期计算的
理论价格变化率考虑凸性的
ｏ．９３１５２７
１．００００∞
【３】罗伯特・豪根．现代投资理论【Ｍ】．郑振龙，等，译．北京：北京大学出版社，２００５．
ｏ．９８８１５５Ｏ．９１４６１２１．００００００
Ｈ］＿．－Ｔ－春峰．金融市场风险管理嗍．天津：天
津大学出版社。２００１．
１．０（）００００
理论价格变化率
ｏ．９８８０７０
ｏ．９１４４ｓ晤ｏ．型）９９９１２
（编辑：王遐）
万方数据
＠ｊ。∑
久期凸性衡量债券市场利率风险实证分析
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：
赵淑方， 吕俊左
南京航空航天大学经济与管理学院
江苏科技信息（学术研究）
JIANGSU SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION2011(7)
参考文献(4条)
1.谷秀娟 金融风险管理-理论、技术与应用 20062.刘善存 Excel在金融模型分析中的应用 20043.罗伯特·豪根;郑振龙 现代投资理论 20054.王春峰 金融市场风险管理 2001
本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_jskjxx-xs201107021.aspx
金融探讨
２０１１年第０７期
久期凸性衡量债券市场利率风险实证分析
■赵淑方吕俊左
摘要：债券是最重要的有价证券之一，通常有相对固定的现金流，它的主要风险为利率风险．久期和凸性是刻画债券的两个重要特征参数，是债券利率风险度量和管理需要考虑的主要因素．文章从久期凸性模型出发，借鉴不均匀支付债券的久期公式，推导出不均匀支付债券的凸性公式，并利用其进行实证分析，探讨久期凸性在衡量债券市场利率风险中的应用及问题．
关键词：久期；凸性；债券市场；利率风险
随着中国利率市场化的推进，由市场因素决定的利率波动会变得更加频繁，利率风险必将成为市场风险中的主要风险。利率风险是指由于利率的变化而给债券投资者带来收益损失的可能性，随着市场参与主体的增加，特别是大量的机构投资者的涌人，债券市场的价格波动也随之增加。利率市场化进程的推进不可避免地对其所有市场主体带来利率波动风险。
久期和凸性是债券利率风险度量的两个传统方法。久期是测量债券投资风险最常用的方法，当市场利率波动较大时，凸性是对久期导出值偏差的修正。本文是在久期凸性的模型下，选择１９支国债来做实证分析，进而验证久期凸性的一些性质，同时也提出了一些问题。
上面三个等式中，严—顺券的现价；
伊—椎券的久期；
＾卜一最后一期的期数；
Ｃ——ｔ期啻兑入的现金流；卜—－收到现金流的时期；
广一到期收益率。
（２）不均匀支付债券的久期。
本文的实证分析牵涉到的现金流的支付是不均匀分布的，因此这里要引出不均匀支付债券的久期公式。所谓不均匀支付债券是指债券的购买日距第一次支付利息的时同间
隔不到—年，而其余的支付是均匀的。假设—个债券利息支付次数为Ｎ，第一次利息支付发生的时间距购买日为ｎ（０姐＜１），
其余支付时间均匀分布，则债券的久期可以表示为：
１．久期的债券利率敏感度度量
（１）麦考利久期。
麦考利久期（记为Ｄ），是指债券现金流支付时间的加权平均，权重就是支付额占债券总价值的比率。久期作为度量债券价格对市场利率的敏感程度的指标，被广泛应用于债券的风险度量。通常认为久期越长，债券价格对利率变动所产生的变动幅度越大，从而风险也越大。
债券市场价格Ｐ为：
ｋ・＝古。；铲２芋Ｅ垃ｃ－，吐一ｌ
，．
丫虬
‘４’
一１（１＋ｒ）
式中，各字母代表的意义与上面相同。此时的债券价格
舟∑丢
‘‘１（１＋０
麦考利久期的公式为：
（５）
（１）
把久期理解为债券价格对收益率（市场利率）的弹性，可以很容易地利用久期来度量债券价格的波动性和度量债
踮｝互惫
把债券价格Ｐ代人（２）得：
㈤
券风险。
对公式（５）两边求ｒ的导数，并结合公式（４）可得：
羔乓Ｄ＝－等盟主乓
一１（１＋ｒ）
蔓匕：Ｌ—ｙ．丛生！）曼扯１．－—Ｌ罗熊塑＝！）￡昝Ｉｄｒ
・鲁
（１＋ｒ）“
１”一鲁（１＋矿。１
（３）
一啦Ｉ＆ｌ
ｌ＋ｒ
（６）
进一步可得：
作者简介：赵淑方，南京航空航天大学经济与管理学院硕士生；吕俊左，南京航空航天大学经济与管理学院．
万方数据
．
２０１１年第０７期
金融探讨
ｊｋ＝一Ｄ．。。』Ｌ
ｌ＋ｒ
型ｋ＝Ｌ
（７）
【。耋拇】－１２；Ｎ器。耋船＋烈耋簖】‘
ｒⅣ
上式左边表示债券价格的变化率对于收益率的比值，称为“债券价格对市场利率的弹性”，描述了由于市场利率的变化带来的债券价格变化的敏感度。
债券价格对利率变动的敏感度又可表示为：
【。鲁（１＋∥ｊ
ｙ鱼Ｉ
’
１一
（１４）
进一步结合公式（４）和（５）得出：
Ｖ鱼玉匕Ｌ
（８）
等＝以ＩＸ鲁
分别用△ｐ一。和Ａｒ来代替ｄ只＋。和由，可得：
ｃＯｉｌｙｅ茹ｉｔｙ＝ｌ一皇业止＋士（Ｄ酬吨＋１）２
Ｐ口。一Ｉ（１＋厂尸
ｌ＋ｒ。
（１５）
凸性衡量了曲线的弯曲程度，测度的是利率的变化率。我们将债券价格实际变动的百分比运用泰勒公式二阶
（９）
展开式级数近似得出：
△艮ｌ等一址Ｉ×艮Ｉ×譬
市场利率变化会造成债券价格的多大变化。
（３）不均匀支付债券的修正久期。
利用上式，久期就可以用来度量债券价格的波动性，即
鲁＝争×古×押争×争×古×（ｄｒ）２（１６）
上式右边第一项是债券修正久期的债券价格变动百分比，第二项是债券凸性的债券价格变动百分比。则可以表示为：
当收益率很小时，分母（１卅可以近似地看作１，这就引
入了修正久期（记为ＭＤ）的概念。其主要应用是将修正久期
和市场利率的预期相结合对债券的价格变化率进行估计，修正久期越大债券的价格变化幅度越大，利率风险就越高。
争＝－－ＭＤ。．＿Ｉｘ“｝×ｏ。×（计
分别用△Ｐ和Ａｒ来代替ｄＰ和ｄｒ，可得：
（１７）
考虑不均匀支付债券，设仉。．。为修正久期，ｒ为收益
掣｝是埘‰。ｘＺＸｒ＋－｝×ｏ。ｘ（ＺＸｒ）２
性就起到了重要作用。
（１８）
率，则修正久期（Ｊ｜Ｉ佃。“）可定义为兰争譬。
由公式（８）可知修正久期的公式为：
式中。当利率变化较小时，修正久期能很好地测度债券的利率风险，凸性的意义并不明显；当利率变化较大时，凸
（１０）
ＭＤ。－ａ＝－ｊ一驾畔
凡“
口ｒ
３．实证分析表１
１９支国债基本情况ＰＩ
１０７．８５１０１．６９１０１．８９１０１．２９７．５９８１００．７８１０２．４１０１．１６１０３．２８１０３．７２１０４．８３１０４．９８１００．５９７．４９８１０１．９１０３．７５１０１
当△户ｏ。和△ｒ很小时，由公式（１０）可得到：
△只＋Ｉ等—只。ｌＸ△ｒＸ肘仇＋Ｉ
△ｒ兰造：ｔ＝Ｌ兰一膨Ｄ二．“Ｘ△ｒ兰坚址Ｌ兰一膨Ｄ二．“
（１１）（１２）
债券
代码
０１０１０７０１０１１００１０１１２０１０２０３０１０２１３０１０３０３０１０３０７０１０３０８０１０３ｌｌ
Ｂ
１０８．４４１０１．３１１０１．４１００．６４９７．７９９．０６ｌｏｏ．１９１０２．０９ｌｏｏ．８１０２．９１０３．３３１０４．０５１０５．４５ｌｏｏ．４９７．６９８．９ｌ１０１．６１０２．９６ｌｏｏ．７６
△Ｐ
Ｏ．５９－０．３８－０．４９－０．５６Ｏ．２１．０６－０．５９－０．３ｌ－０．３６－０．３８－０．３９－０．７８０．４７
实际价格变化率０．５５％－０．３７％－０．４８％－０．５５％０．２ｌ％１．０８％－０．５９％－０．３０％－０．３６％－０．３７％－０．３８％－０．７４％０．４５％－０．１０％０．２ｌ％０．９３％－０．２９％－０．７６％－０．２４％
＾
ｒ２
△ｒ
－０．０７０ｋＯ．２３％Ｏ．２９％０．２９％—）．０３％
－０．１０％
‰Ｉ
３．４ｌ％１．６４％１．６８％１．８８％２．９８％３．６０％—Ｌ９２％２．２５％０．９８％１．４９％１．６３％
３．３４％１．８６％１．９７％２．１７％
上式描述了债券价格的变化量（率）可以通过修正久期和利率的变化量来度量。
２．凸性的债券利率敏感度估计
久期只是利率对债券价格的影响效果的一种近似刻画，存在着一定缺陷。它可以看作是债券价格对利率小幅度波动敏感度的一阶估计，只有市场利率波动幅度很小时比较准确，如果市场利率波动幅度较大时，价格和利率之间的
２．９６％３．４９％
１．２ｌ％２．３３％
２．１３％０．０８％Ｏ．３９％Ｏ．１ｌ％Ｏ．１２％Ｏ．３６％－－０．０４％Ｏ．０３％－－０．０３％—ｏ．０９％Ｏ．０８％０．５２％０．１４％
关系误差就相对很大。对于此，引入了凸性（记为Ｃ）的概念，
它是对债券久期利率敏感性的度量。
１．３７％
１．６０％１．７５％１．８９％３．６３％２．３５％２．９７％３．５ｌ％２．４９％１．５３％２．４６％
Ｏｌ蝴
０１０４（ｙ７Ｏ１０４１００１０５０４０１０６０ｌ
凸性可以通过计算久期对利率的导数或者债券价格对
利率的二阶导数再除以债券的价格得到，债券的凸性公式为：
１．５３％
３．６７％２．３２％３．００％３．６０％
凸性＝ｃ伽咖一罂＝寺×警＝Ｆ１×丽１ｄｒ
。
加．１
０．２０．９１－０．３－０．７９－－０．２４
ｐ
ｄ广
ｐ
Ｉｌ”广
×
１００２１３１００３０３
。鲁（１州
∑孵
（１３）…７
１００３０８２．４１％
１．０２％２．３２％
考虑不均匀支付债券的久期问题，由（４）式求债券凸性，计算久期对利率的导数可得：
１０（心
１０１９１２
ｃｏ聊ｅ石如．户』』；吐＝
数据来源：国泰安经济研究数据库之中国债券市场研究子数据库．
∥‰
万方数据
金融探讨
选取国泰安数据库２０１０年６月１日，２０１０年７月１日的１９支国债的数据进行实证分析。这里用ＰＩ，ｐ’分别表示
２０１１年第０７期
就更接近实际价格变动率，但是却不是很明显。为了弄清这个原因，计算各变量之间的相关系数如表３。
从表３可以看出，实际价格变化率与修正久期计算的理论价格变化率以及考虑凸性的理论价格变化率之间具有很强的相关性，而且修正久期计算的理论价格变化率和考虑凸性的理论价格变化率之间也具有很强的相关性。这说明了在本次实证分析中的数据选举的国债利率变化相对较小，致使凸性的作用不是很明显，只有利率波动幅度较大时，凸性才能体现作用。
４．结论
通常认为久期越长。债券价格对利率变动所产生的变动幅度越大，从而利率风险也越大。但从实证分析来看，这
２０１０年６月１日、２０１０年７月１日的收盘价；Ａ尸表示两个
日期的实际价格变化量；ｒＩ表示６月１日债券的到期收益
率；ｒ２表示７月１日债券的到期收益率；Ａｒ表示（ｒ２一Ｉ）。具
体数据见表ｌ。
这里用△ＰＩ表示修正久期计算的理论价格变化率；△Ｂ表示考虑凸性计算的理论价格变化率；△Ｐ，表示修正久期计算出来的理论价格变化率与实际价格变化率之差；△只表示考虑凸性计算出来的理论价格变化率与实际价格变化率之差（如表２）。
对比表ｌ和表２可以看出，由修正久期来预测债券的
理论价格变化率与债券价格实际变化率很接近，具有很好的效果性。在考虑债券凸性后，债券价格变动率的理论预测
表２各债券久期凸性和几种价格变化率债券代码
０１０１０７０１０１１００１０１１２０１０２０３０１０２１３０１０３０３０１０３０７０１０３０８０１０３１１０１０４０４
个结论并不成立，无论是从实际价格变化量还是从理论价
格变化量考虑：久期长，由利率变动所产生的债券价格的变
动幅度并不一定大。本实证分析不止一次出现这种情况，可见这并不是个特例，
修正久期
８．８３ｌ１．２６６１．３５９Ｉ．８１８６．５５２１０．２７９０．２１８３．０５５Ｏ—４６１０．９６４１．１６７１．４１５１１．１９８２国口７６．５５ｌ１０．２７９３．０４９ｏ．９６８１．３５ｌ
凸性
９５．１７１２．８７５３．２１１５．１１２５０．５７２１２６．１４１Ｏ．２６７５１２．６７２Ｏ．６７１．８７８２２．５５２３．４４１５３．７３９．４５３５０．５５３１２６．１４１１２．６３１．８９＿５７３．１７１
实际价格变化率
Ｏ．５５％
△ＰＩ
△Ｂ
０．５８４０％－－０．２８４２％－０．３９１ｌ％－－０．５２１５％０．１８０４％１．０７３８％－０．４５８３％－．－０．２４８９％－０．１８０７％－０．１０８１％
△Ｐ，
Ｏ．０３４９％０．０８８７％０．０８８４％Ｏ．０２９８％－０．０２４９％－０．０１４７％０．１２１１％Ｏ．０５３４％０．１７４７％Ｏ．２５９７％０．２３０６％０．２３３５％Ｏ．０２０４％０．０１４３％
△只
０．０３７０％０．０８９４％
这个事实确实否定了债券定价理论。因此，要考虑影响债券价格波动的其他因
ｏ．５８２０％－－０．２８５０％
—０．３７％
—０４８％—ｏ．５５％０．２ｌ％１．０８％—Ｄ．５９％—０．３０％－０．３６％．Ｊ０．３７％－－０．３８％－０．７４％Ｏ．４５％－０．１０％０．２１％０．９３％
素。除了利率影响债券价格外，还有债券的供给与需求、股票市场、外汇市场、货
ｍ３９２５％
—Ｏ．５２３６％Ｏ．１８０２％１．０６７０％
０．０８９８％
０．０３ｌ蚴
－０．０２４８％—）．００ｒ７９％０．１２７２％Ｏ．０５３９％ｏ．１７５２％０．２５９８％０．２３０８％０．２３５８％Ｏ．０２１７％０．０１４３％
币市场等。这里主要分析债券的供给与需求。
债券的供求将直接影响债券的市场价格。所以投资者要计算每年到期的债
－０．４６４３％－－０．２．４９３％
—ｏ．１８１２％－０．１０８２％－０．１４５４％－－０．５１０５％０．４６８１％－－０．０８５２％ｏ．１７９５％０．９１５９％—阻２５２８％－０．４９９５％－０．１８９８％
券资金与当年新发行债券的计划资金，
如果到期资金大于当年新发债计划资金，就会导致债券需求大于供给，债券价格有可能上升；反之，债券的价格就有可能下跌。
除了总量分析外，还要分析不同品种、不同期限债券、浮动利率和固定利率债券的供求，因为它们同样会影响债券的价格。中国债券市场对债券的需求是巨大的，但对债券的供给却是有限的，债券供求矛盾非常突出。在这种情况下，出现上述实证分析的异常现象也是可能的。
０１０４Ｉ叮
０１０４１００ｌＱ５０４０１０６０ｌ１００２１３１００３０３１００３０８１００４０４１０１９１２
－ｏ．１４５２％－０．５０８３％
０．４６９４％
－０．０８５２％
Ｏ．１７９７％０．９２０９％－０．２５２３％
－－０．０２５８％－－０．０２５７％－０．０１２７％
ｍ００７７％
ｏ．０４２ｌ％０．２６４５％Ｏ．０４８ｌ％
—ｏ．２９％
－０．７６％—０．２４％
Ｏ．０４１６％０．２６１９％
０．０４７８％
－０．４９７０％
．０．１８９５％
表３各变量相关系数矩阵
实际价格
参考文献
修正久期
修正久期计算的理论价格变化率
考虑凸性的理论价
格变化宰
【１】谷秀娟．金融风险管理——理论、技术
与应用【明．上海：立信会计出版社，２００６．【２】刘善存．Ｅｘｃｅｌ在金融模型分析中的应用ｌ－ｔａｒｌ．北京：人民邮电出版社，２００４．
变化率
实际价格变化率
１．００００００
修正久期修正久期计算的
理论价格变化率考虑凸性的
ｏ．９３１５２７
１．００００∞
【３】罗伯特・豪根．现代投资理论【Ｍ】．郑振龙，等，译．北京：北京大学出版社，２００５．
ｏ．９８８１５５Ｏ．９１４６１２１．００００００
Ｈ］＿．－Ｔ－春峰．金融市场风险管理嗍．天津：天
津大学出版社。２００１．
１．０（）００００
理论价格变化率
ｏ．９８８０７０
ｏ．９１４４ｓ晤ｏ．型）９９９１２
（编辑：王遐）
万方数据
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久期凸性衡量债券市场利率风险实证分析
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：
赵淑方， 吕俊左
南京航空航天大学经济与管理学院
江苏科技信息（学术研究）
JIANGSU SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION2011(7)
参考文献(4条)
1.谷秀娟 金融风险管理-理论、技术与应用 20062.刘善存 Excel在金融模型分析中的应用 20043.罗伯特·豪根;郑振龙 现代投资理论 20054.王春峰 金融市场风险管理 2001
本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_jskjxx-xs201107021.aspx