三
维
形
貌
成
像
摘要
本文研究了一种还原物体表面三维形貌的技术---傅里叶变换轮廓术。傅里叶变换轮廓术只需要一幅干涉图即可对整个范围进行分析，其测量系统简约，分辨率高，计算机处理数据快，计算精度高，且具有很强的非接触测量优势，使其得到广泛的应用。
在实际傅里叶变换轮廓术测量中，获取的条纹图扩展的零频分量对傅里叶变换轮廓术的测量精度和测量范围有很大影响，甚至妨碍正确三维面形的恢复。相移技术常被用来消除零频分量对测量的影响，但需要在测量系统中安装精密相移装置，并需要采集两帧具有相位差的条纹图。传统傅里叶变换轮廓术中，完成精密相移需要较长的时间，影响了傅里叶变换轮廓术测量方法的实时性。本文采用双色正弦条纹投影来实现从一帧条纹图中消除零频对傅里叶变换轮廓术测量的影响。该方法同传统的相移方法相比，不需要相移装置，测量系统简单，并且能真正实现高速测量。
最后介绍了基于线阵CCD的FTP测量技术的应用，分别设计了静态物体测量系统和振动过程测量系统，并且分析了系统中潜在误差来源。
关键词：傅里叶变换轮廓术；三维形貌测量；双色正弦条纹投影
1三维形貌成像
1.1光学三维成像简介
光学三维成像就是指用光学的手段获得物体三维空间信息的方法和技术，目前主要指获得物体表面三维空间形状信息的方法和技术。随着计算机技术、信息技术的迅速发展，极大地改变了传统的光学计量技术。光学计量初期所采用的感光胶片记录方式已为固态摄像机技术所取代，高性能的微型计算机和图像处理系统使光学图像的计算机辅助分析技术迅速发展，这些信息的获取和处理技术上的进步又给光学传感和计量方法上的革新和发展以新的活力，使新的三维传感和计量方法不断涌现。为此，国际光学学会1994年以信息光学的前沿为主题的年会上，首次将光学三维传感列为信息光学前沿七个主要领域和方向之一。
物体三维信息的数字化是目前重要的研究课题之一，在机器视觉、实物仿形、工业自动检测、产品外观质量检查、生物及医学检测等领域中具有重要意义，日益受到人们的重视。相信看过电影《侏罗纪公园》的人一定会对影片中那些活灵活现的大恐龙感到疑惑，对片中大恐龙穿墙过壁、以假乱真的场面记忆犹新，这种影视特技到底是怎么做出来的呢？这就是三维传感技术的魅力。在特技制作中，技术人员先雕刻好一个恐龙的模型，然后用光学三维传感方法得到恐龙的三维彩色数字模型，再用三维动画软件使其做出各种动作，并完成与背景、人物的合成，最后才形成我们看到的惊心动魄的场面。另外，尤其在某些应用场合常常要求非损伤式、高精度、高速度的获取物体的表面形状信息，例如沙体形态三维测量、井下模式识别、产品的自由曲面检测、医学诊断中对人脸和牙齿等生物器官的三维造型等。因此，对非接触、快速、高精度的三维面形测量技术的研究更为重要。
近些年来，随着半导体激光器、数字投影仪、电荷耦合器件、高分辨率数码相机、高速摄像机等高性能光电设备的出现，以及基于计算机的数字图像处理技术的广泛应用，集光、机、电、计算机技术于一体的光学三维传感技术得到了很大发展。其中，基于结构光照明的主动三维传感方法由于具有快速、非接触、高精度、易于实现自动化等测量特点，日益受到人们的重视。在各种主动三维面形测量方法中，傅里叶变换轮廓术由于只需获取一幅条纹图就可计算出物体的三维面形信息，特别适合实时动态测量，因此受到众多研究者的关注。
1.2光学三维面形测量方法概述
获取三维面形信息的基本方法可以分为两大类：被动三维传感和主动三维传感。被动三维传感采用非结构照明方式，从一个或多个摄像系统获取的二维图像中确定距离信息，形成三维面形数据。从一个摄像系统获取的二维图像中确定距离信息时，人们必须依赖对于物体形态、光照条件等的先验知识。如果这些知识不完整，对距离的计算可能产生错误。从两个或多个摄像系统获取的不同视觉方向的二维图像中，通过相关或匹配等运算可以重建物体的三维面形。双摄像机的传感系统如图1.1所示，它与人眼双目立体视觉的原理相似。从两个或多个摄像系统获取的不同视觉方向的二维图像中确定距离信息，常常要求大量的数据运算。当被测目标的结构信息过分简单或过分复杂，以及被测目标上各点反射率没有明显差异时，这种计算变得更加困难。因此，被动三维传感的方法常常用于对三维目标的识别、理解，以及用于位置、形态分析。这种方法的系统构成比较简单，在无法采用结构照明的时侯更具有独特的优点。随着计算技术的发展，运算速度已不再是一个主要的限制因素。在机器视觉领域已经广泛地应用被动三维传感技术。
图1.1被动三维传感：双摄象机系统
主动三维传感采用结构照明方式。由于三维面形对结构光场的空间或时间调制，可以从携带有三维面形信息的观察光场中解调得到三维面形数据。由于这种方法具有较高的测量精度，因此大多数以三维面形测量为目的的三维传感系统都采用主动三维传感方式。
作为结构照明所采用的光源，原则上可以采用激光光源和普通光源。激光具有亮度高、方向性和单色性好、易于实现强度调制等优点，所以在很多应用领域常常采用以激光为光源的三维传感系统。采用白光光源的结构照明方式具有噪声低、结构简单的优点，特别是在面结构照明的三维传感系统中受到愈来愈多的重视。
1.2.1激光扫描法
激光扫描三维轮廓术是目前应用最广，技术最成熟的三维测量技术。根据测量物体的要求，激光光束可以是点、线，还可以是环。其中以线结构光使用的多，称之为光刀。
图1.2是线结构光测距原理示意图。在待测定距离的场景前放置光源和相机。光源可绕一垂直方向的轴旋转，对景物进行扫描以覆盖整个待测定的场景。在扫描过程中，相机不断从场景获取图像。光源从场景的一端扫描到另一端，摄像机采集到的是图像序列。
图1.2线结构光测量示意图
结构光扫描法几乎可以适应任何物体的外形轮廓测量。由于扫描激光的强度是二值化的，并且光强较高，所以不会受到物体表面纹理的干扰。它的缺点是需要一个扫描装置，而且测量速度慢，不能对动态物体进行实时测量。每当激光移动一个角度就要获取一幅图象。在整个测量过程中要处理大量的图象。而每幅图象中有用的信息只占整个图象的一小部分，造成大量的信息冗余。
1.2.2相位测量轮廓术
相位测量轮廓术（PhaseMeasuringProfilometry，简称PMP）是借鉴相移干涉术的相位计算方法发展而来的。它的基本思想就是采用正弦条纹投影和数字相移技术，通过获得全场条纹的空间信息和一个条纹周期内相移条纹的时序信息，重建物体的三维面形。
PMP测量系统光路图如图1.3所示，图中光栅为由相移装置移动的投影光栅，成像设备采用CCD，投影系统的光轴与成像系统的光轴交于参考平面上的点，它们的夹角为，当一个正弦光栅（或罗奇光栅）被投影到三维漫反射物体表面上时，成像系统获取的由物体高度所调制的变形光栅像为：
(l.1)
其中为物体表面不均匀反射率，表示背景光强，是条纹
的对比度（条纹的对比度是一个等于或小于1的数）。相位函数包含受到被测物体高度调制而引起的变形信息。
图1.3PMP测量系统光路图
直接从强度分布确定相位分布是比较困难的，相移算法却提供了一种精确测定相位分布的手段。以四步相移算法为例，即相位移动的增量为，所产生的四个变形光栅图像为：
(1.2)
由以上方程组可得：
(1.3)
对于更为普遍的步相移算法，当投影的正弦光栅被移动其周期的时，条纹图的相位被移动产生新的相位强度，依次相移次，可以从帧相移条纹图中计算出相位函数：
(1.4)
式中表示由CCD获取的第n次变形光栅像强度分布。
计算所得到的相位被截断在反三角函数主值区内，要对其进行相位展开，以得到连续的相位分布。再通过相位和高度的对应关系计算出物体表面的高度分布。相移技术的优点是对相位测量的精度可以达到几十分之一到几百分之一等效波长（条纹周期）；同时对条纹背景、对比度和噪声的变化不敏感；计算得到相位值是一个均匀分布的正交网格上的点的测值，测点与探测器阵列或图像处理板上的阵列一一对应，有利于进一步的信号处理，实现自动的三维面形测量。
1.2.3傅里叶变换轮廓术
1983年，M.Takeda和K.Muloh将傅里叶变换用于三维物体面形测量，提出了从频域来获取物体三维面形的方法，即傅里叶变换轮廓术（FourierTransformProfilometry，简称FTP），由于其只用一帧或两帧条纹图就可以恢复物体的三维面形，具有很强的实时性，因此在物体动态三维面形测量中得到了广泛的应用。
这种方法以正弦光栅（或罗奇光栅）产生的结构光场投影到待测物体表面，得到被三维物体面形分布调制的变形条纹光场，成像系统将此变形条纹光场成像于面阵探测器上，然后利用计算机对图像的强度进行傅里叶变换、频谱滤波和逆傅里叶变换等处理，求解出物体的高度分布信息，得到物体的三维面型分布。该方法具有单帧获取、全场分析、高分辨率和易于处理动态过程等特点而受到人们的广泛关注。
三维传感的方法很多，以上介绍的是最基本几种。随着计算机技术、光学和光电子技术的飞速发展，新的光学三维传感和计量方法也不断进步。
1.3傅里叶变换轮廓术研究现状和发展趋势
FTP与时间飞行法(TOF)、激光逐点扫描法、光切法等光学三维轮廓术相比，具有全场、快速的特点，不需要扫描装置；同PMP比较，FTP只需要一幅或两幅条纹图就可以求得物面的三维信息，省去了复杂的相移装置，设备简单，测量速度快，在实时和动态测量领域具有广泛的应用前景。因此，FTP成为当前光学三维面形测量技术研究的重点，众多研究者对FTP进行了深入的研究和进一步改进。在提高FTP测量精度方面，如：用准正弦投影和相移技术消除零频对携带有用信息的基频影响，减小甚至消除频谱混叠；针对计算机处理的是离散信息这一前提，为了完善FTP的理论分析，研究了抽样对FTP测量精度的影响，并给出了抽样频率的选择依据；用二维汉宁滤波窗口进行加权滤波来减小噪声的影响；根据条纹频率与相位可靠度之间的关系，采用数字加权滤波建立调制度函数作为衡量相位可靠性的模板，指导截断相位沿一条最佳路径展开消除条纹不连续对测量的影响；采用多角度彩色条纹投影解决阴影问题；采用双频光栅和双色光
栅的快速FTP等；研究了频谱泄漏和CCD量化误差对基于条纹投影的FTP测量精度的影响。在FTP的应用方面：将FTP轮廓术用于高度不连续性或表面孤立复杂物体的三维面形测量；将FTP用于实时动态或360度三维面形测量。
目前FTP的测量精度还有待于进一步提高，在实际应用中还存在若干困难，比如不完善相位图无法展开的问题，频谱混叠的影响等。未来的研究重点是进一步提高FTP的测量精度，克服频谱混叠，不断优化频域滤波和相位展开算法，尽量减少测量过程中各种干扰因素，以满足相关领域对三维面形数据快速、自动、实时获取的要求。本文中主要利用相移技术消除零频对携带有用信息的基频影响，由于传统的相移技术需要两帧条纹图及复杂的实验装置，我们考虑用双色正弦条纹投影光栅来解决以上问题，可以简化实验装置并且只需一帧条纹图。
2傅里叶变换轮廓术
2.1傅里叶变换定义及条件
利用公式：
(2.1)
对非周期函数作正交展开，即把函数看作复指数函数在整个连续的频率区间上的积分和：
(2.2)
式中：
(2.3)
式(2.2)和式(2.3)这两个积分即傅里叶积分，称为的傅里叶变换或频谱。若表示某空间域的物理量，则是该物理量在频率域的表示形式。的作用类似于傅里叶系数，即作为各种频率成分的权重因子，描述各复指数分量的相对幅值和相移。当是复函数时，可以表示为：
(2.4)
，是的振幅频谱；是的位相频谱。式中，
非周期函数的频谱不是离散的，而是频率连续或分段连续的函数。
傅里叶变换的意义：所有适当加权的各种频率的复指数分量叠加起来就得到原函数，称它为的傅里叶逆变换。和构成傅里叶变换对，常简记为：
,
(2.5)
二维傅里叶变换只是一维傅里叶变换的推广：
(2.6)
(2.7)
傅里叶变换存在的条件：
(1)在整个平面绝对可积，即：；
(3)必须没有无穷大间断点。
则函数的傅里叶变换存在。
傅里叶变换存在的充分条件有若干形式，绝对可积和狄里赫利条件是其中一种，后者可以表述为：“在任一有限矩形区域里，必须只有有限个间断点和有限个极大极小点，
(2.8)(2)在任一有限区域里，必须只有有限个间断点和有限个极大和极小点；
而且没有无穷大间断点”。本文不对傅里叶变换的存在条件做深入的讨论，而只是从应用的观点对它们做两点说明：
（1）在应用傅里叶变换的各个领域中的大量事实表明，作为时间或空间函数而实际存在的物理量，总具备傅里叶变换存在的基本条件。可以说，物理上的可能性是傅里叶变换存在的充分条件。因此，从应用的角度来看，可以认为傅里叶变换总是存在的；
（2）在应用问题中，也常遇到一些理想化的函数，如余（正）弦函数、阶跃函数以至最简单的常数等，它们都是光学中经常用到的，而且都不能满足傅里叶变换的存在条件，在物理上也不能严格实现。对于这一类函数可以借助于函数序列极限的概念定义其广义傅里叶变换。将函数看作是某个可变换函数所组成的序列的极限，对序列中每一函数进行变换，组成一个变换式的序列。该函数的广义傅里叶变换定义为这个变换式序列的极限。这种广义傅里叶变换不仅在理论上可以自洽，应用时也能给出符合实际的结果。
2.2二维离散傅里叶变换
所谓信号的频谱分析就是对信号进行傅里叶变换，在信号的频谱域内进行某些操作。由于现代电子技术获取的信号往往是离散的数字信号，加之连续的傅里叶变换不便直接用于计算机进行计算，人们提出了离散傅里叶变换(DiscreteFourierTransform，缩写为DFT)。离散傅里叶变换是时域和频域均离散化的变换，适合数值运算，成为分析离散信号和系统的有力工具。
DFT的实质是对有限长序列傅里叶变换的有限点离散采集，即实现频域离散化，使数字信号可以在频域采用数字处理的方法，这样就大大增加了数字处理的灵活性。
假设图像已在空间上取样成为离散二维信号，轴方向采样点数为,采样间隔为；轴方向采样点数为，采样间隔为。为方便起见，仍然把离散图样记为，但其具体含义为：
(2.9)
式中，,为空间域采样值，。
同样，具体含义为：
(2.10)
其中，,为频域采样值，。
和分别为频域中沿轴和轴方向的采样间隔。
二维DFT具有如下形式：
(2.11)
(2.12)
式中，和称为正逆傅里叶变换核。
和连续傅里叶变换一样，称为离散信号函数的频谱，是复函数，离散信号函数傅里叶变换振幅谱、相位谱、强度谱与连续信号函数的一样。可以看出，在离散傅里叶变换中，谱点总数与样点总数相等，而且也组成点阵形式。根据采样定理，频率域谱点间隔和与空间域采样点间隔和之间有如下关系：
(2.13)
2.3快速傅里叶变换
快速傅里叶变换(FFT)是1965年由J.W.库利和T.W.图基提出的。因为直接计算DFT的运算量与变换区间的长度的平方成正比，当比较大时，运算量很大。采用这种算法能使计算机计算离散傅里叶变换所需要的乘法次数大为减少,特别是被变换的抽样点数越多,算法计算量的节省就越显著。有多种快速算法，统称为快速傅里叶变换(FastFourierTransform，缩写为FFT)。FFT算法的核心就是不断地把长序列的DFT分解为几个短序列的DFT，并且利用变换核的周期性和对称性来减少DFT的运算次数。这些算法使DFT的运算效率提高了1-2个数量级，使具体计算离散傅里叶变换成为可能。
把二维DFT变换转化为两个一维DFT，先对图像矩阵的各行施行一维傅里叶变换，然后再对变换结果的各列进行一维傅里叶变换。
编程实现时，将第一次变换结果进行转置，第二次的列变换也成为行变换，只需重复第一次的变换程序，把第一次的变换结果进行一次转置，便得到所要求的变换结果。
对二维图像的DFT用两次一维FFT计算可以大大提高计算速度。由于计算机上乘法运算所需时间比加法运算所需时间多的多，故为了大致估计运算速度，只考虑乘法运算。假设对采样点的图像，直接根据DFT的定义计算，共需复数乘法次数为。快速计算时，一次FFT共有N行，每行有N个点，因此所需的复数乘法次数为，两次一维变换共需复数乘法次数为,于是直接计算DFT与FFT算法的计算量之比大约为：
(2.14)
2.4FTP基本原理
傅里叶光学实际上是光学和通信领域交叉联系的结果，它借鉴通信原理中的调制与解调的概念，故FTP的工作流程可简单表述为：(1)被测物体三维面形(调制信号)对投影在其表面的光栅结构光场(载波信号)进行调制，使光栅结构光场的相位受到物体三维
面形高度分布的调制；(2)对连续分布的变形结构光场(已调信号)进行抽样，获得离散信息送计算机处理，经过离散傅里叶变换、频域滤波、逆傅里叶变换，计算出该相位信息；
(3)根据相位与高度分布之间的映射关系，计算出被测物体的三维面形数据（整个过程如图2.1所示）。
光栅投影条纹
变形条纹
FFT参考条纹FFT
滤波滤波
IFFTIFFT
高度分布的位相信息
位相展开
解调出高度分布
图2.1FTP测量流程图图2.2FTP的光路原理图
FTP测量原理可以借助图2.2说明：光栅的栅线垂直图平面，和是投影装置的光轴，和是成像系统的光轴，成像光轴垂直于参考平面，并与投影光轴交于参考平面上的点。是和间的距离，是到参考平面间的距离。是CCD上任意一点。当光栅投影在参考平面时，设参考平面上点在CCD阵列上点成像，则点有一相位，，当光栅投影在物体表面时，则物面上点在CCD阵列上点成像，于是点有一新相位,而,为参考平面上点的相位，可以看出CCD阵列上点先后两次成像得到的两个相位与的差值正是由物面上点相对于参考面的高度调制引起的。由于为任意取，则CCD阵列上任意点的前后两次相位差有如下关系：
(2.15)
再由三角形和的相似关系可得：
(2.16)
当时，高度分布和相位差的关系可以近似表示为：
(2.17)
因此只要求得相位差分布，便可以计算出物面的高度分布。
2.5FTP相位计算
在FTP中，投影的结构光场通常为正弦光栅或罗奇(Ronchi)光栅，当投影一个正弦光栅产生的结构光场经过三维漫反射物体表面的反射，由成像系统得到的变形条纹可以表示为：
(2.18)
其中：是背景光强，是条纹对比度，是投影光栅的基频，是由物体高度分布引起的相位调制。
为了得到相对高度分布和消除测量系统误差，对参考平面进行一次测量，对于物体高度分布的变形条纹图像可表示为：
(2.19)
为了便于进行傅里叶变换将式(2.18)和式(2.19)式改写为指数形式：
(2.20)
(2.21)
其中：
对正弦性变形结构光场沿方向进行一维傅里叶变换得：
(2.22)
其中：是的一维傅立叶变换，是的一维傅里叶变换，其频谱示意图如图2.3所示：
图2.3正弦光栅投影时变形条纹的一维频谱分布图
其中填充部分为包含物体高度变化的有用信息，选用适当的带通滤波窗口将基频分量滤出来，再计算其逆傅里叶变换，然后经反三角运算得到相位信息。同样，对参考平面条纹做相同的处理就得到相位信息，则仅由物面高度分布所调制的相位信息为：
(2.23)
然后通过相位差和高度分布的映射关系式(2.17)，就可以得到物体三维面形数据。
2.6FTP测量范围的限制条件
由于FTP测量方法主要是从频域中提取包括物体高度信息的频率分量进行处理，以得到正确的恢复面形，因此必须避免携带有用信息的一级频谱与其它频谱分量之间的混叠[9]。
当采用正弦光栅投影和通过相移技术消除，频谱表达式(2.22)可以改写为：
(2.24)
如图2.4所示：同一个周期内只有与两个共轭的基频分量存在，这两个基频分量分离的条件为：
(2.25)
图2.4正弦光栅投影时变形条纹的一维频谱图
其中：代表基频分量的最小值。所以基频最大可以扩展到频域轴上的零点，所以正弦投影光栅的FTP测量范围限制为：
(2.26)
其中：（是投影光轴与成像光轴之间的夹角）。我们通常称式(2.26)为FTP测量系统的结构条件。
另外，正弦光栅投影的傅里叶变换频谱，除了保证同一个周期内正负基频分量之间不混叠外，还要保证基频分量与相邻周期的频率分量不混叠。即：要防止抽样不当引起的频谱混叠，就必须保证的频谱同相邻周期的频谱相分离。相邻周期间的频谱分布如图
2.5所示：
图2.5相邻两周期间的频谱分布示意图
当取得足够大时，相邻的“频谱岛”是分离的；当取得太小，不满足抽样定理时，相邻的“频谱岛”就会发生混叠。设抽样频率为光栅频率的倍，利用调制信号的瞬时频率概念可以得到：
(2.27)
结合式(2.17)式进一步化简得：
(2.28)
结合式(2.28)和同一个周期内的频谱分离条件式(2.26)可得：
(2.29)
故由式(2.28)可得：(2.30)上式(2.30)表明，使用正弦光栅投影的FTP，一个条纹周期至少需要4个抽样值才能保证周期间频谱不发生混叠。所以说为了保证FTP测量精度，一方面必须满足抽样条件；另一方面被测物体的高度变化必须满足测量系统的结构条件。
3双色正弦条纹投影原理
传统傅里叶变换轮廓术中，采用正弦光栅投影和相移技术获得2幅变形条纹图像，然后可以消除零频，留下有用基频分量。但是完成精密相移需要较长的时间，并且需要
复杂的实验装置，既影响了傅里叶变换轮廓术测量方法的实时性，又增加了实验的难度。本文采用双色正弦条纹投影来实现从一帧条纹图中消除零频对傅里叶变换轮廓术测量的影响。该方法同传统的相移方法相比，不需要相移装置，测量系统简单，并且能真正实现高速测量。
3.1双色正弦条纹投影FTP测量流程
传统FTP投影黑白光栅条纹在被测物体表面上，双色正弦条纹投影则采用红、绿、蓝三基色中的两种颜色相互间具有相位差的正弦条纹，通过RGB图像模式组合成双色条纹投影到被测物体表面。根据RGB图像模式，一幅彩色条纹强度分布可用如下方程表示：
(3.1)
其中为一幅单色条纹的强度分布，分别对应红、绿、蓝三种颜色。因此利用RGB色彩分离技术，可以从采集到的一幅双色条纹中分离出两个颜色分量的条纹，得到具有相位差的两幅正弦条纹图。通过对这两幅条纹图进行背景和对比度的矫正，使他们具有相同的背景和对比度，然后将矫正后的两幅条纹图相减可以得到消零频的变形条纹，相加可以得到条纹图中包含的背景分量。如果在实际测量中，将物体置于黑色背景中，那么通过对矫正后的两幅条纹图相加生成的背景分量进行二值化，便可以得到反映物到轮廓的二元模板。图3.1给出了红绿双色正弦条纹投影FTP的测量流程图。
投影并获取基于RGB的双色条纹
提取各个颜色分量的单色条纹
图3.1双色正弦条纹投影FTP流程框图
3.2消零频原理
若投影一幅红绿双色条纹，则红绿双色条纹的光场强度可表示为：
(3.2)
和分别是红、绿条纹的背景分量，和分别是红、绿条纹的对比度。为了简单，通常使，。
将此双色条纹投影到被测物体表面后，于投影光轴成一定夹角的方向上，获取的一幅双色变形条纹图像可表示为：
(3.3)
、分别是物体对不同颜色投影光的反射率分布。从式(3.3)所示的双色条纹中提取红、绿两个颜色分量，就可以得到具有相移的两幅条纹图：
(3.4)
(3.5)
由于，当，，红、绿条纹的背景和对比度仍不相等，需要进行矫正，使它们相等。如果把条纹图看作是条纹灰度在空间上的一种随机分布，当和变化比较缓慢的时候，可以认为条纹的背景分布趋近于条纹图的均值，条纹的对比度分布趋近于条纹图的均方差，因此可以通过调整红、绿条纹的均值和均方差相等，来使他们具有近似相等的背景和对比度，采用如下公式进行矫正(例如将红色条纹的背景和对比度矫正为绿色条纹的背景和对比度）：
(3.6)
其中、分别代表红、绿条纹灰度的均值，、分别代表红、绿条纹灰度的均方差。为调整后的红色条纹灰度。
理想情况下，通过以上矫正便得到了两组具有相同背景和对比度的，相互间具有相移的两幅条纹图：
(3.7)
(3.8)
其中：代表红、绿条纹具有相同的零频背景，
代表红、绿条纹具有相同的对比度。
于是利用式(3.7)、式(3.8)两组条纹相加可以生成条纹的背景分布图，利用式(3.7)、式(3.8)两组条纹相减可以消去零频。
3.3相位展开
通常情况下，条纹的背景分布中并不能分辨出物体的轮廓，为了得到反映物体轮廓的二元模板，需要将被测物体置于黑色背景中。此时利用式(3.7)、式(3.8)两组条纹相加在物体轮廓区域内得到的是物体的较亮的背景，在物体轮廓之外得到的是暗背景。这样，条纹的背景图中物体轮廓内区域的灰度与周围黑色背景的灰度呈现出明显的差别，再利用最大方差准则确定灰度阈值进行图像分割（即通过选择阈值使得条纹图被此阈值分割的两部分区域的平均灰度与整幅条纹图的平均灰度的差别最大，区域间的方差作为描述
这种差别的有效参数），将大于此阈值的点灰度设置为1，小于此阈值的点灰度设置为零，从而得到一个反映物体轮廓的二元模板，用一个二元矩阵表示即：
物体轮廓以内的点
物体轮廓以外的点(3.9)
这种条纹相加提取物体轮廓模板的方法，解决了物体轮廓内区域的暗条纹与周围暗背景无法区分的问题。
利用式(3.7)、式(3.8)两组条纹相减，可以将零频分量减去。但是由于黑色背景的存在，将导致条纹的背景在物体轮廓处发生突变，如图3.2所示的一幅黑色背景存在下采集到的变形条纹的剖面图，其中虚线是物体区域内的条纹灰度均值，实线是整幅条纹的均值，两者有较大差别，因而物体区域内变形条纹的背景分布不再趋近于整幅条纹的均值，这样在应用式(3.6)矫正变形条纹的背景和对比度时，就会产生比较大的误差，影响减零频的效果。为了提高消零频的效果，可以利用式(3.9)得到的二元模板将物体轮廓区域内的红、绿条纹提取出来，然后利用式(3.6)对提取出来的条纹进行第二次校正后，相减消去零频，得到条纹。
图3.2一列真实条纹剖面图
通过上述方法得到的条纹图，只在物体轮廓内区域有数据，因而条纹所包含的像素点数不够多，在对条纹数据进行离散傅里叶变换时，频域的分辨率不高。同时条纹在空域内的突然截止也会造成物体轮廓的边缘处产生误差。为了解决以上两个问题，需要在物体轮廓外扩充条纹数据。我们在保证其他条件不变的情况下，采集一幅无黑色背景的红绿参考条纹，根据式(3.6)对采集的红、绿参考条纹进行矫正，相减消去零频后，得到条纹。利用结合式(3.9)生成的物体轮廓二元模板便可以完成对条纹的扩充，其具体方法如式(3.10)所示，生成新的条纹如下：
(3.10)
其中由取反得到即：
物体轮廓以外的点
物体轮廓以内的点(3.111)
从式(3.10)可以看出，新生成的条纹有两部分组成，一部分是原来的条纹数据，一部分是由模板从条纹中提取的。因此，使用这种方法扩充条纹，增加了参与离散傅里叶变换的总的采样点数，从而提高了频域分辨率，同时抑制了因条纹锐截止产生的边缘误差，当生成的条纹在连接处有断裂时，还可以进一步采用迭代算法弥补。
对条纹做二维傅里叶变换，用二维汉宁窗滤出基频，做逆傅里叶变换，得到：
(3.12)
对参考条纹作相同运算得到：
(3.13)
由式(3.12)和式(3.13)得到由物体高度引起的相位差：
(3.14)
调制度函数：
表示取函数的虚部，表示取函数的实部，“”表示复共轭。
将调制度和物体轮廓二元模板结合起来形成可靠性模板指导截断在三角函数主值区域的进行相位展开。利用物体轮廓的二元模板生成新的调制度函数如下：
(3.16)
新的调制度函数将物体轮廓以外的点的调制度设为零，当此调制度函数作为模板指导相位展开时，一方面通过对调制度排序，优先展开调制度高的地方，可以避免条纹断裂、阴影、物体高度突变造成调制度过低的点对相位展开的影响；一方面在相位展开中可以忽略那些调制度为零的点，从而只对物体轮廓以内的有效点进行展开，节省了运算时间，避免了物体轮廓以外的相位不可靠点引起的相位展开错误。得到连续的自然位相后，根据相位和高度的映射关系，得到物体的高度分布函数：
(3.17)
其中为系统参数，当在远心光路条件下，。(3.15)
4基于线阵CCD的FTP测量技术的应用
4.1测量系统设计
基于线阵CCD的FTP测量系统包括投影系统、成像系统和被测物三大部分。计算机生成双色正弦光栅通过投影仪成像，在被测物表面形成光栅的变形条纹。但由于线阵CCD只能采集一行光栅条纹图的特殊性，成像系统中线阵CCD必须垂直于被测物表面光栅分布方向，测量系统结构如图4.1所示。
图4.1测量系统结构示意图
为投影仪到被测物的水平距离，为线阵CCD相机到被测物的水平距离，为投
影仪到线阵CCD相机之间的水平距离，为投影仪到线阵CCD相机之间的垂直距离。系统参数为=128mm，=86mm，=39mm，=40mm。
4.2静态物体测量
线阵CCD只能对单独的一行表面条纹图成像，得到完整的被测物表面条纹分布则需要通过扫描技术来实现。针对静止物体表面三维形貌的测量，设计基于线阵CCD的FTP移动扫描测量系统。
根据前面所述的FTP测量原理，设计的实验系统如图4.2所示。计算机编写出数字光栅图像，由投影仪投射到物体表面上，形成分布在表面上的光栅条纹。线阵CCD采集一行条纹，将釆集到的数据传输给计算机，然后步进电机导轨沿X方向移动1mm，再进行下一行的条纹采集，如此重复直至完成整个面的扫描测量。
通过移动扫描采集到被测物表面每一行的条纹图后，得到完整的被测物表面变形条
纹图。然后，逐行进行一维傅里叶变换、提取基频、一维傅里叶逆变换，获得每一行的截断相位，用基于传统方法相位展开进行相位展开。最后，根据标定结果恢复每一行的高度分布，从而得到完整的被测物表面高度分布。
图4.2移动扫描测量装置结构示意图
4.3振动过程测量
基于线阵CCD的FTP振动过程测量技术的测量对象是处于受迫振动过程中的物体。线阵CCD对被测物表面一行的测量，可视作对被测物截面进行的测量。测量过程中，连续采集处于振动过程中的被测物表面条纹图，并以时间为轴，显示每一时刻恢复的振动状态，从而恢复被测物在连续采集时间段内的振动过程。
根据前文所述的FTP测量原理，设计的实验装置图如图4.3所示。计算机编写出数字光栅图像，由投影仪投射到物体表面上，形成分布在表面上的光栅条纹。将被测物固定振动源上，给定振动频率，待振动达到稳定状态后，由线阵CCD进行连续采集，完成条纹图采集后进行数据处理。
连续采集到振动过程中被测物截面条纹图后，以时间为轴排列得到完整的被测物截面振动过程条纹图。然后，逐行进行一维傅里叶变换、提取基频、一维傅里叶逆变换，获得每一行的截断相位，用基于传统方法相位展开进行相位展幵。最后，根据标定结果恢复每一行的高度分布，从而得到连续采集时间内的被测物截面振动过程。
实验系统结构设计图如图4.3所示：
图4.3振动过程测量装置结构示意图
4.4误差分析
测量系统中产生误差的因素有多种，既有来自于系统的误差，也有基于原理本身的误差，同时还存在来自外部的误差。
4.4.1光学系统引起的误差
对于实际的光学系统来说，像差是不可避免的。光栅条纹图质量不够好的原因之一是系统中的存在像差。像差大小可以由一维傅里叶变换之后的频域的二次分量的强弱来表征。通过调节光学系统，使得二次分量减弱，是减小系统误差的一个途径。
尽管在理想情况下，滤波窗的半径，包含的物体细节信息越多，测量的精度就越高。但是除了像差存在于频谱的二次分量中之外，高频分量部分还包含了系统噪声和外界噪声。所以，实际情况下，滤波窗的半径是有限的。本文在研宄静态物体和振动过程的测量时，选择汉宁窗为滤波窗，窗口覆盖范围在零频分量和二次分量之间（不包含零频分量和二次分量）。
零频分量表征了条纹图的背景光信息，可以通过抑制零频技术实现扩大滤波窗半径、提高系统测量精度。高频分量不仅包含了被测物的细节信息，也包括了系统中存在的噪声，仅通过滤波窗无法实现提取湮没在噪声中的被测物信息，较为有效的手段还是通过调节系统、减小像差来实现抑制噪声、减小误差。
4.4.2量化误差
量化误差的产生包括两个方面：
一是投影仪的量化误差。理想情况下，正弦光栅像的光强应该呈连续的正弦波。但实际测量过程中的光栅，是由计算机产生的数字化光栅，使得正弦光栅的强度分布不是连续而是离散的。虽然一定的离焦成像可减弱光栅像的量化误差，但离焦成像会增加系统的畸变，从而增加一定的系统误差。
二是CCD的量化误差。在采集条纹图的过程中，CCD也是离散性的量化采集，并非按光强分布逐点准确地记录了投影出的光栅。
4.4.3CCD曝光引起的误差
CCD进行图像采集需要一定的曝光时间，但在振动过程的测量中，被测物处在连续的振动当中。在实际的振动测量过程中，采集一行条纹图的曝光时间是400us。即是说，线阵CCD采集的条纹图是400us内振动状态叠加的图像。
严格意义上看来，CCD采集的并不是一个时刻点的振动状态，而是曝光时间内振动状态的叠加。曝光时间越短，对振动过程的恢复就越准确。但曝光时间过短会引起采集条纹的光强值偏小，加大量化误差。针对不同的测量系统，应该在合适的光强下选择适当的曝光时间。
结论
本文主要介绍了物体三维形貌测量方法、傅里叶变换轮廓术原理、双色条纹光栅投影原理。通过基于双色条纹投影的快速傅里叶变换轮廓术来实现三维面形还原。制作红绿双色正弦条纹投影，借助液晶投影仪将条纹投影到物体表面，采集图像；对红绿双色条纹采用分色技术进行分色处理，得到红绿条纹分量；红绿分量经背景和对比度矫正后采用相移技术消除零频。
通过以上内容，我们可以得出结论：基于双色条纹投影的快速傅里叶变换轮廓术可以实现物体三维面形的还原，且不需要相移装置，实验系统简单，操作容易，真正实现高速测量。本文中利用相移技术较好地消除掉条纹的零频，提高了傅里叶变换轮廓术的测量精度和测量范围。
本文仅仅就基于双色条纹投影的快速傅里叶变换轮廓术这一课题通过理论验证了其可行性，但并没有过多地涉及到物体三维面形还原的范围、精度、速度和误差分析上去，也没有考虑投影仪和摄像机的颜色串扰及失真问题。这些问题都或多或少地影响到傅里叶变换轮廓术的测量精度和范围。另外，基于双色条纹投影的快速傅里叶变换轮廓术还原物体三维面形虽然只需要采集一幅条纹图就可以较好地实现物体的三维面形，但对所采集的一幅条纹图处理需要人工处理，且需要花费一定的时间，在工业中并不能真正地实现实时显示。因此，在以后的学习和研究过程中，首先应该去不断提高傅里叶变换轮廓术的测量精度和范围，还要设计一套完善的具有全自动化的FTP测量系统，真正实现物体三维面形的实时测量。
通过本文的研究发现在现有的计算机和图像采集技术下，基于双色条纹投影的快速傅里叶变换轮廓术对物体的三维面形测量是完全可行的，并且随着计算机技术和半导体技术的进一步发展，照相机分辨率的不断提高，实验设备的不断完善，傅里叶变换轮廓测量术将在地形地貌、机械视觉、生物医学、流体力学、材料变形、应力分析、实时检测、动态监测等领域中有更广泛的运用前景。
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三
维
形
貌
成
像
摘要
本文研究了一种还原物体表面三维形貌的技术---傅里叶变换轮廓术。傅里叶变换轮廓术只需要一幅干涉图即可对整个范围进行分析，其测量系统简约，分辨率高，计算机处理数据快，计算精度高，且具有很强的非接触测量优势，使其得到广泛的应用。
在实际傅里叶变换轮廓术测量中，获取的条纹图扩展的零频分量对傅里叶变换轮廓术的测量精度和测量范围有很大影响，甚至妨碍正确三维面形的恢复。相移技术常被用来消除零频分量对测量的影响，但需要在测量系统中安装精密相移装置，并需要采集两帧具有相位差的条纹图。传统傅里叶变换轮廓术中，完成精密相移需要较长的时间，影响了傅里叶变换轮廓术测量方法的实时性。本文采用双色正弦条纹投影来实现从一帧条纹图中消除零频对傅里叶变换轮廓术测量的影响。该方法同传统的相移方法相比，不需要相移装置，测量系统简单，并且能真正实现高速测量。
最后介绍了基于线阵CCD的FTP测量技术的应用，分别设计了静态物体测量系统和振动过程测量系统，并且分析了系统中潜在误差来源。
关键词：傅里叶变换轮廓术；三维形貌测量；双色正弦条纹投影
1三维形貌成像
1.1光学三维成像简介
光学三维成像就是指用光学的手段获得物体三维空间信息的方法和技术，目前主要指获得物体表面三维空间形状信息的方法和技术。随着计算机技术、信息技术的迅速发展，极大地改变了传统的光学计量技术。光学计量初期所采用的感光胶片记录方式已为固态摄像机技术所取代，高性能的微型计算机和图像处理系统使光学图像的计算机辅助分析技术迅速发展，这些信息的获取和处理技术上的进步又给光学传感和计量方法上的革新和发展以新的活力，使新的三维传感和计量方法不断涌现。为此，国际光学学会1994年以信息光学的前沿为主题的年会上，首次将光学三维传感列为信息光学前沿七个主要领域和方向之一。
物体三维信息的数字化是目前重要的研究课题之一，在机器视觉、实物仿形、工业自动检测、产品外观质量检查、生物及医学检测等领域中具有重要意义，日益受到人们的重视。相信看过电影《侏罗纪公园》的人一定会对影片中那些活灵活现的大恐龙感到疑惑，对片中大恐龙穿墙过壁、以假乱真的场面记忆犹新，这种影视特技到底是怎么做出来的呢？这就是三维传感技术的魅力。在特技制作中，技术人员先雕刻好一个恐龙的模型，然后用光学三维传感方法得到恐龙的三维彩色数字模型，再用三维动画软件使其做出各种动作，并完成与背景、人物的合成，最后才形成我们看到的惊心动魄的场面。另外，尤其在某些应用场合常常要求非损伤式、高精度、高速度的获取物体的表面形状信息，例如沙体形态三维测量、井下模式识别、产品的自由曲面检测、医学诊断中对人脸和牙齿等生物器官的三维造型等。因此，对非接触、快速、高精度的三维面形测量技术的研究更为重要。
近些年来，随着半导体激光器、数字投影仪、电荷耦合器件、高分辨率数码相机、高速摄像机等高性能光电设备的出现，以及基于计算机的数字图像处理技术的广泛应用，集光、机、电、计算机技术于一体的光学三维传感技术得到了很大发展。其中，基于结构光照明的主动三维传感方法由于具有快速、非接触、高精度、易于实现自动化等测量特点，日益受到人们的重视。在各种主动三维面形测量方法中，傅里叶变换轮廓术由于只需获取一幅条纹图就可计算出物体的三维面形信息，特别适合实时动态测量，因此受到众多研究者的关注。
1.2光学三维面形测量方法概述
获取三维面形信息的基本方法可以分为两大类：被动三维传感和主动三维传感。被动三维传感采用非结构照明方式，从一个或多个摄像系统获取的二维图像中确定距离信息，形成三维面形数据。从一个摄像系统获取的二维图像中确定距离信息时，人们必须依赖对于物体形态、光照条件等的先验知识。如果这些知识不完整，对距离的计算可能产生错误。从两个或多个摄像系统获取的不同视觉方向的二维图像中，通过相关或匹配等运算可以重建物体的三维面形。双摄像机的传感系统如图1.1所示，它与人眼双目立体视觉的原理相似。从两个或多个摄像系统获取的不同视觉方向的二维图像中确定距离信息，常常要求大量的数据运算。当被测目标的结构信息过分简单或过分复杂，以及被测目标上各点反射率没有明显差异时，这种计算变得更加困难。因此，被动三维传感的方法常常用于对三维目标的识别、理解，以及用于位置、形态分析。这种方法的系统构成比较简单，在无法采用结构照明的时侯更具有独特的优点。随着计算技术的发展，运算速度已不再是一个主要的限制因素。在机器视觉领域已经广泛地应用被动三维传感技术。
图1.1被动三维传感：双摄象机系统
主动三维传感采用结构照明方式。由于三维面形对结构光场的空间或时间调制，可以从携带有三维面形信息的观察光场中解调得到三维面形数据。由于这种方法具有较高的测量精度，因此大多数以三维面形测量为目的的三维传感系统都采用主动三维传感方式。
作为结构照明所采用的光源，原则上可以采用激光光源和普通光源。激光具有亮度高、方向性和单色性好、易于实现强度调制等优点，所以在很多应用领域常常采用以激光为光源的三维传感系统。采用白光光源的结构照明方式具有噪声低、结构简单的优点，特别是在面结构照明的三维传感系统中受到愈来愈多的重视。
1.2.1激光扫描法
激光扫描三维轮廓术是目前应用最广，技术最成熟的三维测量技术。根据测量物体的要求，激光光束可以是点、线，还可以是环。其中以线结构光使用的多，称之为光刀。
图1.2是线结构光测距原理示意图。在待测定距离的场景前放置光源和相机。光源可绕一垂直方向的轴旋转，对景物进行扫描以覆盖整个待测定的场景。在扫描过程中，相机不断从场景获取图像。光源从场景的一端扫描到另一端，摄像机采集到的是图像序列。
图1.2线结构光测量示意图
结构光扫描法几乎可以适应任何物体的外形轮廓测量。由于扫描激光的强度是二值化的，并且光强较高，所以不会受到物体表面纹理的干扰。它的缺点是需要一个扫描装置，而且测量速度慢，不能对动态物体进行实时测量。每当激光移动一个角度就要获取一幅图象。在整个测量过程中要处理大量的图象。而每幅图象中有用的信息只占整个图象的一小部分，造成大量的信息冗余。
1.2.2相位测量轮廓术
相位测量轮廓术（PhaseMeasuringProfilometry，简称PMP）是借鉴相移干涉术的相位计算方法发展而来的。它的基本思想就是采用正弦条纹投影和数字相移技术，通过获得全场条纹的空间信息和一个条纹周期内相移条纹的时序信息，重建物体的三维面形。
PMP测量系统光路图如图1.3所示，图中光栅为由相移装置移动的投影光栅，成像设备采用CCD，投影系统的光轴与成像系统的光轴交于参考平面上的点，它们的夹角为，当一个正弦光栅（或罗奇光栅）被投影到三维漫反射物体表面上时，成像系统获取的由物体高度所调制的变形光栅像为：
(l.1)
其中为物体表面不均匀反射率，表示背景光强，是条纹
的对比度（条纹的对比度是一个等于或小于1的数）。相位函数包含受到被测物体高度调制而引起的变形信息。
图1.3PMP测量系统光路图
直接从强度分布确定相位分布是比较困难的，相移算法却提供了一种精确测定相位分布的手段。以四步相移算法为例，即相位移动的增量为，所产生的四个变形光栅图像为：
(1.2)
由以上方程组可得：
(1.3)
对于更为普遍的步相移算法，当投影的正弦光栅被移动其周期的时，条纹图的相位被移动产生新的相位强度，依次相移次，可以从帧相移条纹图中计算出相位函数：
(1.4)
式中表示由CCD获取的第n次变形光栅像强度分布。
计算所得到的相位被截断在反三角函数主值区内，要对其进行相位展开，以得到连续的相位分布。再通过相位和高度的对应关系计算出物体表面的高度分布。相移技术的优点是对相位测量的精度可以达到几十分之一到几百分之一等效波长（条纹周期）；同时对条纹背景、对比度和噪声的变化不敏感；计算得到相位值是一个均匀分布的正交网格上的点的测值，测点与探测器阵列或图像处理板上的阵列一一对应，有利于进一步的信号处理，实现自动的三维面形测量。
1.2.3傅里叶变换轮廓术
1983年，M.Takeda和K.Muloh将傅里叶变换用于三维物体面形测量，提出了从频域来获取物体三维面形的方法，即傅里叶变换轮廓术（FourierTransformProfilometry，简称FTP），由于其只用一帧或两帧条纹图就可以恢复物体的三维面形，具有很强的实时性，因此在物体动态三维面形测量中得到了广泛的应用。
这种方法以正弦光栅（或罗奇光栅）产生的结构光场投影到待测物体表面，得到被三维物体面形分布调制的变形条纹光场，成像系统将此变形条纹光场成像于面阵探测器上，然后利用计算机对图像的强度进行傅里叶变换、频谱滤波和逆傅里叶变换等处理，求解出物体的高度分布信息，得到物体的三维面型分布。该方法具有单帧获取、全场分析、高分辨率和易于处理动态过程等特点而受到人们的广泛关注。
三维传感的方法很多，以上介绍的是最基本几种。随着计算机技术、光学和光电子技术的飞速发展，新的光学三维传感和计量方法也不断进步。
1.3傅里叶变换轮廓术研究现状和发展趋势
FTP与时间飞行法(TOF)、激光逐点扫描法、光切法等光学三维轮廓术相比，具有全场、快速的特点，不需要扫描装置；同PMP比较，FTP只需要一幅或两幅条纹图就可以求得物面的三维信息，省去了复杂的相移装置，设备简单，测量速度快，在实时和动态测量领域具有广泛的应用前景。因此，FTP成为当前光学三维面形测量技术研究的重点，众多研究者对FTP进行了深入的研究和进一步改进。在提高FTP测量精度方面，如：用准正弦投影和相移技术消除零频对携带有用信息的基频影响，减小甚至消除频谱混叠；针对计算机处理的是离散信息这一前提，为了完善FTP的理论分析，研究了抽样对FTP测量精度的影响，并给出了抽样频率的选择依据；用二维汉宁滤波窗口进行加权滤波来减小噪声的影响；根据条纹频率与相位可靠度之间的关系，采用数字加权滤波建立调制度函数作为衡量相位可靠性的模板，指导截断相位沿一条最佳路径展开消除条纹不连续对测量的影响；采用多角度彩色条纹投影解决阴影问题；采用双频光栅和双色光
栅的快速FTP等；研究了频谱泄漏和CCD量化误差对基于条纹投影的FTP测量精度的影响。在FTP的应用方面：将FTP轮廓术用于高度不连续性或表面孤立复杂物体的三维面形测量；将FTP用于实时动态或360度三维面形测量。
目前FTP的测量精度还有待于进一步提高，在实际应用中还存在若干困难，比如不完善相位图无法展开的问题，频谱混叠的影响等。未来的研究重点是进一步提高FTP的测量精度，克服频谱混叠，不断优化频域滤波和相位展开算法，尽量减少测量过程中各种干扰因素，以满足相关领域对三维面形数据快速、自动、实时获取的要求。本文中主要利用相移技术消除零频对携带有用信息的基频影响，由于传统的相移技术需要两帧条纹图及复杂的实验装置，我们考虑用双色正弦条纹投影光栅来解决以上问题，可以简化实验装置并且只需一帧条纹图。
2傅里叶变换轮廓术
2.1傅里叶变换定义及条件
利用公式：
(2.1)
对非周期函数作正交展开，即把函数看作复指数函数在整个连续的频率区间上的积分和：
(2.2)
式中：
(2.3)
式(2.2)和式(2.3)这两个积分即傅里叶积分，称为的傅里叶变换或频谱。若表示某空间域的物理量，则是该物理量在频率域的表示形式。的作用类似于傅里叶系数，即作为各种频率成分的权重因子，描述各复指数分量的相对幅值和相移。当是复函数时，可以表示为：
(2.4)
，是的振幅频谱；是的位相频谱。式中，
非周期函数的频谱不是离散的，而是频率连续或分段连续的函数。
傅里叶变换的意义：所有适当加权的各种频率的复指数分量叠加起来就得到原函数，称它为的傅里叶逆变换。和构成傅里叶变换对，常简记为：
,
(2.5)
二维傅里叶变换只是一维傅里叶变换的推广：
(2.6)
(2.7)
傅里叶变换存在的条件：
(1)在整个平面绝对可积，即：；
(3)必须没有无穷大间断点。
则函数的傅里叶变换存在。
傅里叶变换存在的充分条件有若干形式，绝对可积和狄里赫利条件是其中一种，后者可以表述为：“在任一有限矩形区域里，必须只有有限个间断点和有限个极大极小点，
(2.8)(2)在任一有限区域里，必须只有有限个间断点和有限个极大和极小点；
而且没有无穷大间断点”。本文不对傅里叶变换的存在条件做深入的讨论，而只是从应用的观点对它们做两点说明：
（1）在应用傅里叶变换的各个领域中的大量事实表明，作为时间或空间函数而实际存在的物理量，总具备傅里叶变换存在的基本条件。可以说，物理上的可能性是傅里叶变换存在的充分条件。因此，从应用的角度来看，可以认为傅里叶变换总是存在的；
（2）在应用问题中，也常遇到一些理想化的函数，如余（正）弦函数、阶跃函数以至最简单的常数等，它们都是光学中经常用到的，而且都不能满足傅里叶变换的存在条件，在物理上也不能严格实现。对于这一类函数可以借助于函数序列极限的概念定义其广义傅里叶变换。将函数看作是某个可变换函数所组成的序列的极限，对序列中每一函数进行变换，组成一个变换式的序列。该函数的广义傅里叶变换定义为这个变换式序列的极限。这种广义傅里叶变换不仅在理论上可以自洽，应用时也能给出符合实际的结果。
2.2二维离散傅里叶变换
所谓信号的频谱分析就是对信号进行傅里叶变换，在信号的频谱域内进行某些操作。由于现代电子技术获取的信号往往是离散的数字信号，加之连续的傅里叶变换不便直接用于计算机进行计算，人们提出了离散傅里叶变换(DiscreteFourierTransform，缩写为DFT)。离散傅里叶变换是时域和频域均离散化的变换，适合数值运算，成为分析离散信号和系统的有力工具。
DFT的实质是对有限长序列傅里叶变换的有限点离散采集，即实现频域离散化，使数字信号可以在频域采用数字处理的方法，这样就大大增加了数字处理的灵活性。
假设图像已在空间上取样成为离散二维信号，轴方向采样点数为,采样间隔为；轴方向采样点数为，采样间隔为。为方便起见，仍然把离散图样记为，但其具体含义为：
(2.9)
式中，,为空间域采样值，。
同样，具体含义为：
(2.10)
其中，,为频域采样值，。
和分别为频域中沿轴和轴方向的采样间隔。
二维DFT具有如下形式：
(2.11)
(2.12)
式中，和称为正逆傅里叶变换核。
和连续傅里叶变换一样，称为离散信号函数的频谱，是复函数，离散信号函数傅里叶变换振幅谱、相位谱、强度谱与连续信号函数的一样。可以看出，在离散傅里叶变换中，谱点总数与样点总数相等，而且也组成点阵形式。根据采样定理，频率域谱点间隔和与空间域采样点间隔和之间有如下关系：
(2.13)
2.3快速傅里叶变换
快速傅里叶变换(FFT)是1965年由J.W.库利和T.W.图基提出的。因为直接计算DFT的运算量与变换区间的长度的平方成正比，当比较大时，运算量很大。采用这种算法能使计算机计算离散傅里叶变换所需要的乘法次数大为减少,特别是被变换的抽样点数越多,算法计算量的节省就越显著。有多种快速算法，统称为快速傅里叶变换(FastFourierTransform，缩写为FFT)。FFT算法的核心就是不断地把长序列的DFT分解为几个短序列的DFT，并且利用变换核的周期性和对称性来减少DFT的运算次数。这些算法使DFT的运算效率提高了1-2个数量级，使具体计算离散傅里叶变换成为可能。
把二维DFT变换转化为两个一维DFT，先对图像矩阵的各行施行一维傅里叶变换，然后再对变换结果的各列进行一维傅里叶变换。
编程实现时，将第一次变换结果进行转置，第二次的列变换也成为行变换，只需重复第一次的变换程序，把第一次的变换结果进行一次转置，便得到所要求的变换结果。
对二维图像的DFT用两次一维FFT计算可以大大提高计算速度。由于计算机上乘法运算所需时间比加法运算所需时间多的多，故为了大致估计运算速度，只考虑乘法运算。假设对采样点的图像，直接根据DFT的定义计算，共需复数乘法次数为。快速计算时，一次FFT共有N行，每行有N个点，因此所需的复数乘法次数为，两次一维变换共需复数乘法次数为,于是直接计算DFT与FFT算法的计算量之比大约为：
(2.14)
2.4FTP基本原理
傅里叶光学实际上是光学和通信领域交叉联系的结果，它借鉴通信原理中的调制与解调的概念，故FTP的工作流程可简单表述为：(1)被测物体三维面形(调制信号)对投影在其表面的光栅结构光场(载波信号)进行调制，使光栅结构光场的相位受到物体三维
面形高度分布的调制；(2)对连续分布的变形结构光场(已调信号)进行抽样，获得离散信息送计算机处理，经过离散傅里叶变换、频域滤波、逆傅里叶变换，计算出该相位信息；
(3)根据相位与高度分布之间的映射关系，计算出被测物体的三维面形数据（整个过程如图2.1所示）。
光栅投影条纹
变形条纹
FFT参考条纹FFT
滤波滤波
IFFTIFFT
高度分布的位相信息
位相展开
解调出高度分布
图2.1FTP测量流程图图2.2FTP的光路原理图
FTP测量原理可以借助图2.2说明：光栅的栅线垂直图平面，和是投影装置的光轴，和是成像系统的光轴，成像光轴垂直于参考平面，并与投影光轴交于参考平面上的点。是和间的距离，是到参考平面间的距离。是CCD上任意一点。当光栅投影在参考平面时，设参考平面上点在CCD阵列上点成像，则点有一相位，，当光栅投影在物体表面时，则物面上点在CCD阵列上点成像，于是点有一新相位,而,为参考平面上点的相位，可以看出CCD阵列上点先后两次成像得到的两个相位与的差值正是由物面上点相对于参考面的高度调制引起的。由于为任意取，则CCD阵列上任意点的前后两次相位差有如下关系：
(2.15)
再由三角形和的相似关系可得：
(2.16)
当时，高度分布和相位差的关系可以近似表示为：
(2.17)
因此只要求得相位差分布，便可以计算出物面的高度分布。
2.5FTP相位计算
在FTP中，投影的结构光场通常为正弦光栅或罗奇(Ronchi)光栅，当投影一个正弦光栅产生的结构光场经过三维漫反射物体表面的反射，由成像系统得到的变形条纹可以表示为：
(2.18)
其中：是背景光强，是条纹对比度，是投影光栅的基频，是由物体高度分布引起的相位调制。
为了得到相对高度分布和消除测量系统误差，对参考平面进行一次测量，对于物体高度分布的变形条纹图像可表示为：
(2.19)
为了便于进行傅里叶变换将式(2.18)和式(2.19)式改写为指数形式：
(2.20)
(2.21)
其中：
对正弦性变形结构光场沿方向进行一维傅里叶变换得：
(2.22)
其中：是的一维傅立叶变换，是的一维傅里叶变换，其频谱示意图如图2.3所示：
图2.3正弦光栅投影时变形条纹的一维频谱分布图
其中填充部分为包含物体高度变化的有用信息，选用适当的带通滤波窗口将基频分量滤出来，再计算其逆傅里叶变换，然后经反三角运算得到相位信息。同样，对参考平面条纹做相同的处理就得到相位信息，则仅由物面高度分布所调制的相位信息为：
(2.23)
然后通过相位差和高度分布的映射关系式(2.17)，就可以得到物体三维面形数据。
2.6FTP测量范围的限制条件
由于FTP测量方法主要是从频域中提取包括物体高度信息的频率分量进行处理，以得到正确的恢复面形，因此必须避免携带有用信息的一级频谱与其它频谱分量之间的混叠[9]。
当采用正弦光栅投影和通过相移技术消除，频谱表达式(2.22)可以改写为：
(2.24)
如图2.4所示：同一个周期内只有与两个共轭的基频分量存在，这两个基频分量分离的条件为：
(2.25)
图2.4正弦光栅投影时变形条纹的一维频谱图
其中：代表基频分量的最小值。所以基频最大可以扩展到频域轴上的零点，所以正弦投影光栅的FTP测量范围限制为：
(2.26)
其中：（是投影光轴与成像光轴之间的夹角）。我们通常称式(2.26)为FTP测量系统的结构条件。
另外，正弦光栅投影的傅里叶变换频谱，除了保证同一个周期内正负基频分量之间不混叠外，还要保证基频分量与相邻周期的频率分量不混叠。即：要防止抽样不当引起的频谱混叠，就必须保证的频谱同相邻周期的频谱相分离。相邻周期间的频谱分布如图
2.5所示：
图2.5相邻两周期间的频谱分布示意图
当取得足够大时，相邻的“频谱岛”是分离的；当取得太小，不满足抽样定理时，相邻的“频谱岛”就会发生混叠。设抽样频率为光栅频率的倍，利用调制信号的瞬时频率概念可以得到：
(2.27)
结合式(2.17)式进一步化简得：
(2.28)
结合式(2.28)和同一个周期内的频谱分离条件式(2.26)可得：
(2.29)
故由式(2.28)可得：(2.30)上式(2.30)表明，使用正弦光栅投影的FTP，一个条纹周期至少需要4个抽样值才能保证周期间频谱不发生混叠。所以说为了保证FTP测量精度，一方面必须满足抽样条件；另一方面被测物体的高度变化必须满足测量系统的结构条件。
3双色正弦条纹投影原理
传统傅里叶变换轮廓术中，采用正弦光栅投影和相移技术获得2幅变形条纹图像，然后可以消除零频，留下有用基频分量。但是完成精密相移需要较长的时间，并且需要
复杂的实验装置，既影响了傅里叶变换轮廓术测量方法的实时性，又增加了实验的难度。本文采用双色正弦条纹投影来实现从一帧条纹图中消除零频对傅里叶变换轮廓术测量的影响。该方法同传统的相移方法相比，不需要相移装置，测量系统简单，并且能真正实现高速测量。
3.1双色正弦条纹投影FTP测量流程
传统FTP投影黑白光栅条纹在被测物体表面上，双色正弦条纹投影则采用红、绿、蓝三基色中的两种颜色相互间具有相位差的正弦条纹，通过RGB图像模式组合成双色条纹投影到被测物体表面。根据RGB图像模式，一幅彩色条纹强度分布可用如下方程表示：
(3.1)
其中为一幅单色条纹的强度分布，分别对应红、绿、蓝三种颜色。因此利用RGB色彩分离技术，可以从采集到的一幅双色条纹中分离出两个颜色分量的条纹，得到具有相位差的两幅正弦条纹图。通过对这两幅条纹图进行背景和对比度的矫正，使他们具有相同的背景和对比度，然后将矫正后的两幅条纹图相减可以得到消零频的变形条纹，相加可以得到条纹图中包含的背景分量。如果在实际测量中，将物体置于黑色背景中，那么通过对矫正后的两幅条纹图相加生成的背景分量进行二值化，便可以得到反映物到轮廓的二元模板。图3.1给出了红绿双色正弦条纹投影FTP的测量流程图。
投影并获取基于RGB的双色条纹
提取各个颜色分量的单色条纹
图3.1双色正弦条纹投影FTP流程框图
3.2消零频原理
若投影一幅红绿双色条纹，则红绿双色条纹的光场强度可表示为：
(3.2)
和分别是红、绿条纹的背景分量，和分别是红、绿条纹的对比度。为了简单，通常使，。
将此双色条纹投影到被测物体表面后，于投影光轴成一定夹角的方向上，获取的一幅双色变形条纹图像可表示为：
(3.3)
、分别是物体对不同颜色投影光的反射率分布。从式(3.3)所示的双色条纹中提取红、绿两个颜色分量，就可以得到具有相移的两幅条纹图：
(3.4)
(3.5)
由于，当，，红、绿条纹的背景和对比度仍不相等，需要进行矫正，使它们相等。如果把条纹图看作是条纹灰度在空间上的一种随机分布，当和变化比较缓慢的时候，可以认为条纹的背景分布趋近于条纹图的均值，条纹的对比度分布趋近于条纹图的均方差，因此可以通过调整红、绿条纹的均值和均方差相等，来使他们具有近似相等的背景和对比度，采用如下公式进行矫正(例如将红色条纹的背景和对比度矫正为绿色条纹的背景和对比度）：
(3.6)
其中、分别代表红、绿条纹灰度的均值，、分别代表红、绿条纹灰度的均方差。为调整后的红色条纹灰度。
理想情况下，通过以上矫正便得到了两组具有相同背景和对比度的，相互间具有相移的两幅条纹图：
(3.7)
(3.8)
其中：代表红、绿条纹具有相同的零频背景，
代表红、绿条纹具有相同的对比度。
于是利用式(3.7)、式(3.8)两组条纹相加可以生成条纹的背景分布图，利用式(3.7)、式(3.8)两组条纹相减可以消去零频。
3.3相位展开
通常情况下，条纹的背景分布中并不能分辨出物体的轮廓，为了得到反映物体轮廓的二元模板，需要将被测物体置于黑色背景中。此时利用式(3.7)、式(3.8)两组条纹相加在物体轮廓区域内得到的是物体的较亮的背景，在物体轮廓之外得到的是暗背景。这样，条纹的背景图中物体轮廓内区域的灰度与周围黑色背景的灰度呈现出明显的差别，再利用最大方差准则确定灰度阈值进行图像分割（即通过选择阈值使得条纹图被此阈值分割的两部分区域的平均灰度与整幅条纹图的平均灰度的差别最大，区域间的方差作为描述
这种差别的有效参数），将大于此阈值的点灰度设置为1，小于此阈值的点灰度设置为零，从而得到一个反映物体轮廓的二元模板，用一个二元矩阵表示即：
物体轮廓以内的点
物体轮廓以外的点(3.9)
这种条纹相加提取物体轮廓模板的方法，解决了物体轮廓内区域的暗条纹与周围暗背景无法区分的问题。
利用式(3.7)、式(3.8)两组条纹相减，可以将零频分量减去。但是由于黑色背景的存在，将导致条纹的背景在物体轮廓处发生突变，如图3.2所示的一幅黑色背景存在下采集到的变形条纹的剖面图，其中虚线是物体区域内的条纹灰度均值，实线是整幅条纹的均值，两者有较大差别，因而物体区域内变形条纹的背景分布不再趋近于整幅条纹的均值，这样在应用式(3.6)矫正变形条纹的背景和对比度时，就会产生比较大的误差，影响减零频的效果。为了提高消零频的效果，可以利用式(3.9)得到的二元模板将物体轮廓区域内的红、绿条纹提取出来，然后利用式(3.6)对提取出来的条纹进行第二次校正后，相减消去零频，得到条纹。
图3.2一列真实条纹剖面图
通过上述方法得到的条纹图，只在物体轮廓内区域有数据，因而条纹所包含的像素点数不够多，在对条纹数据进行离散傅里叶变换时，频域的分辨率不高。同时条纹在空域内的突然截止也会造成物体轮廓的边缘处产生误差。为了解决以上两个问题，需要在物体轮廓外扩充条纹数据。我们在保证其他条件不变的情况下，采集一幅无黑色背景的红绿参考条纹，根据式(3.6)对采集的红、绿参考条纹进行矫正，相减消去零频后，得到条纹。利用结合式(3.9)生成的物体轮廓二元模板便可以完成对条纹的扩充，其具体方法如式(3.10)所示，生成新的条纹如下：
(3.10)
其中由取反得到即：
物体轮廓以外的点
物体轮廓以内的点(3.111)
从式(3.10)可以看出，新生成的条纹有两部分组成，一部分是原来的条纹数据，一部分是由模板从条纹中提取的。因此，使用这种方法扩充条纹，增加了参与离散傅里叶变换的总的采样点数，从而提高了频域分辨率，同时抑制了因条纹锐截止产生的边缘误差，当生成的条纹在连接处有断裂时，还可以进一步采用迭代算法弥补。
对条纹做二维傅里叶变换，用二维汉宁窗滤出基频，做逆傅里叶变换，得到：
(3.12)
对参考条纹作相同运算得到：
(3.13)
由式(3.12)和式(3.13)得到由物体高度引起的相位差：
(3.14)
调制度函数：
表示取函数的虚部，表示取函数的实部，“”表示复共轭。
将调制度和物体轮廓二元模板结合起来形成可靠性模板指导截断在三角函数主值区域的进行相位展开。利用物体轮廓的二元模板生成新的调制度函数如下：
(3.16)
新的调制度函数将物体轮廓以外的点的调制度设为零，当此调制度函数作为模板指导相位展开时，一方面通过对调制度排序，优先展开调制度高的地方，可以避免条纹断裂、阴影、物体高度突变造成调制度过低的点对相位展开的影响；一方面在相位展开中可以忽略那些调制度为零的点，从而只对物体轮廓以内的有效点进行展开，节省了运算时间，避免了物体轮廓以外的相位不可靠点引起的相位展开错误。得到连续的自然位相后，根据相位和高度的映射关系，得到物体的高度分布函数：
(3.17)
其中为系统参数，当在远心光路条件下，。(3.15)
4基于线阵CCD的FTP测量技术的应用
4.1测量系统设计
基于线阵CCD的FTP测量系统包括投影系统、成像系统和被测物三大部分。计算机生成双色正弦光栅通过投影仪成像，在被测物表面形成光栅的变形条纹。但由于线阵CCD只能采集一行光栅条纹图的特殊性，成像系统中线阵CCD必须垂直于被测物表面光栅分布方向，测量系统结构如图4.1所示。
图4.1测量系统结构示意图
为投影仪到被测物的水平距离，为线阵CCD相机到被测物的水平距离，为投
影仪到线阵CCD相机之间的水平距离，为投影仪到线阵CCD相机之间的垂直距离。系统参数为=128mm，=86mm，=39mm，=40mm。
4.2静态物体测量
线阵CCD只能对单独的一行表面条纹图成像，得到完整的被测物表面条纹分布则需要通过扫描技术来实现。针对静止物体表面三维形貌的测量，设计基于线阵CCD的FTP移动扫描测量系统。
根据前面所述的FTP测量原理，设计的实验系统如图4.2所示。计算机编写出数字光栅图像，由投影仪投射到物体表面上，形成分布在表面上的光栅条纹。线阵CCD采集一行条纹，将釆集到的数据传输给计算机，然后步进电机导轨沿X方向移动1mm，再进行下一行的条纹采集，如此重复直至完成整个面的扫描测量。
通过移动扫描采集到被测物表面每一行的条纹图后，得到完整的被测物表面变形条
纹图。然后，逐行进行一维傅里叶变换、提取基频、一维傅里叶逆变换，获得每一行的截断相位，用基于传统方法相位展开进行相位展开。最后，根据标定结果恢复每一行的高度分布，从而得到完整的被测物表面高度分布。
图4.2移动扫描测量装置结构示意图
4.3振动过程测量
基于线阵CCD的FTP振动过程测量技术的测量对象是处于受迫振动过程中的物体。线阵CCD对被测物表面一行的测量，可视作对被测物截面进行的测量。测量过程中，连续采集处于振动过程中的被测物表面条纹图，并以时间为轴，显示每一时刻恢复的振动状态，从而恢复被测物在连续采集时间段内的振动过程。
根据前文所述的FTP测量原理，设计的实验装置图如图4.3所示。计算机编写出数字光栅图像，由投影仪投射到物体表面上，形成分布在表面上的光栅条纹。将被测物固定振动源上，给定振动频率，待振动达到稳定状态后，由线阵CCD进行连续采集，完成条纹图采集后进行数据处理。
连续采集到振动过程中被测物截面条纹图后，以时间为轴排列得到完整的被测物截面振动过程条纹图。然后，逐行进行一维傅里叶变换、提取基频、一维傅里叶逆变换，获得每一行的截断相位，用基于传统方法相位展开进行相位展幵。最后，根据标定结果恢复每一行的高度分布，从而得到连续采集时间内的被测物截面振动过程。
实验系统结构设计图如图4.3所示：
图4.3振动过程测量装置结构示意图
4.4误差分析
测量系统中产生误差的因素有多种，既有来自于系统的误差，也有基于原理本身的误差，同时还存在来自外部的误差。
4.4.1光学系统引起的误差
对于实际的光学系统来说，像差是不可避免的。光栅条纹图质量不够好的原因之一是系统中的存在像差。像差大小可以由一维傅里叶变换之后的频域的二次分量的强弱来表征。通过调节光学系统，使得二次分量减弱，是减小系统误差的一个途径。
尽管在理想情况下，滤波窗的半径，包含的物体细节信息越多，测量的精度就越高。但是除了像差存在于频谱的二次分量中之外，高频分量部分还包含了系统噪声和外界噪声。所以，实际情况下，滤波窗的半径是有限的。本文在研宄静态物体和振动过程的测量时，选择汉宁窗为滤波窗，窗口覆盖范围在零频分量和二次分量之间（不包含零频分量和二次分量）。
零频分量表征了条纹图的背景光信息，可以通过抑制零频技术实现扩大滤波窗半径、提高系统测量精度。高频分量不仅包含了被测物的细节信息，也包括了系统中存在的噪声，仅通过滤波窗无法实现提取湮没在噪声中的被测物信息，较为有效的手段还是通过调节系统、减小像差来实现抑制噪声、减小误差。
4.4.2量化误差
量化误差的产生包括两个方面：
一是投影仪的量化误差。理想情况下，正弦光栅像的光强应该呈连续的正弦波。但实际测量过程中的光栅，是由计算机产生的数字化光栅，使得正弦光栅的强度分布不是连续而是离散的。虽然一定的离焦成像可减弱光栅像的量化误差，但离焦成像会增加系统的畸变，从而增加一定的系统误差。
二是CCD的量化误差。在采集条纹图的过程中，CCD也是离散性的量化采集，并非按光强分布逐点准确地记录了投影出的光栅。
4.4.3CCD曝光引起的误差
CCD进行图像采集需要一定的曝光时间，但在振动过程的测量中，被测物处在连续的振动当中。在实际的振动测量过程中，采集一行条纹图的曝光时间是400us。即是说，线阵CCD采集的条纹图是400us内振动状态叠加的图像。
严格意义上看来，CCD采集的并不是一个时刻点的振动状态，而是曝光时间内振动状态的叠加。曝光时间越短，对振动过程的恢复就越准确。但曝光时间过短会引起采集条纹的光强值偏小，加大量化误差。针对不同的测量系统，应该在合适的光强下选择适当的曝光时间。
结论
本文主要介绍了物体三维形貌测量方法、傅里叶变换轮廓术原理、双色条纹光栅投影原理。通过基于双色条纹投影的快速傅里叶变换轮廓术来实现三维面形还原。制作红绿双色正弦条纹投影，借助液晶投影仪将条纹投影到物体表面，采集图像；对红绿双色条纹采用分色技术进行分色处理，得到红绿条纹分量；红绿分量经背景和对比度矫正后采用相移技术消除零频。
通过以上内容，我们可以得出结论：基于双色条纹投影的快速傅里叶变换轮廓术可以实现物体三维面形的还原，且不需要相移装置，实验系统简单，操作容易，真正实现高速测量。本文中利用相移技术较好地消除掉条纹的零频，提高了傅里叶变换轮廓术的测量精度和测量范围。
本文仅仅就基于双色条纹投影的快速傅里叶变换轮廓术这一课题通过理论验证了其可行性，但并没有过多地涉及到物体三维面形还原的范围、精度、速度和误差分析上去，也没有考虑投影仪和摄像机的颜色串扰及失真问题。这些问题都或多或少地影响到傅里叶变换轮廓术的测量精度和范围。另外，基于双色条纹投影的快速傅里叶变换轮廓术还原物体三维面形虽然只需要采集一幅条纹图就可以较好地实现物体的三维面形，但对所采集的一幅条纹图处理需要人工处理，且需要花费一定的时间，在工业中并不能真正地实现实时显示。因此，在以后的学习和研究过程中，首先应该去不断提高傅里叶变换轮廓术的测量精度和范围，还要设计一套完善的具有全自动化的FTP测量系统，真正实现物体三维面形的实时测量。
通过本文的研究发现在现有的计算机和图像采集技术下，基于双色条纹投影的快速傅里叶变换轮廓术对物体的三维面形测量是完全可行的，并且随着计算机技术和半导体技术的进一步发展，照相机分辨率的不断提高，实验设备的不断完善，傅里叶变换轮廓测量术将在地形地貌、机械视觉、生物医学、流体力学、材料变形、应力分析、实时检测、动态监测等领域中有更广泛的运用前景。
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