5三角函数法
三角函数配角法求极值是数学中常用的技巧之一，即将三角函数式中的自变量进行配角整理画成两角和的正弦或余弦，便能得到函数的极值。当得出的式中不是典型的函数类型时，可通过等效变换进行转化。利用三角函数公式把所列的方程简化，变成仅含有单个三角函数的式子，然后利用单个三角函数的性质解决问题y =A sin θcos θ=
A
sin 2θ当2
θ=
π
4
时Y 有极大值
A 。 2
斜面倾角可为多大时物少？
[例题1]已知底边AB 长恒为L 的光滑斜面，变，物块从斜面顶端C 由静止释放，求倾角块滑到底端所用的时间最短？最短为多解析：由几何关系得斜面长S =
L
cos θ
下滑的加速度a =g sin θ，下滑的时间
t =
2s =a 2l
=
g sin θcos θ4l g sin 2θ
，所以当倾角
θ=450时sin 2θe 有最大值此时时间有最小值
4L
g
[例题2]一辆有1/4光滑圆弧的小车停在粗糙的水平地面上，质量为m 的小球从静止开始由车顶滑下，且小车始终保持静止状态，求小球运动到什么位置时财面对小车的摩擦力最大？最大值为多少？
解析：设圆弧半径为R 。当小球运动到重力与半径夹角为时，速度为v ，根据机械能守恒定律
1
mv 2=mgR cos θ，2
mv 2
根据牛顿第二定律N -mg cos θ=
R
联立解得N =3mg cos θ
小车处于平衡状态所以静摩擦力f =N sin θ=3mg cos θsin θ=
3
mg sin 2θ 2
3
mg 2
1，所以当θ=45时sin 2θe 有最大值此时地面对小车的静摩擦力有最大值，f max =
当物理方程中含有a sin x +b cos x 的形式时，可将式子变形为
a 2+b 2(
a a +b a a +b
2
2
2
2
sin x +
b a +b
2
2
cos x )
令cos ϕ=则sin ϕ
=
b a +b
2
2
1
a 2+b 2(
则
a a +b
2
2
sin x +
b a +b
2
2
cos x )
当sin (ϕ+x )=1时，上式极
=a 2+b 2(cos ϕsin x +sin ϕcos x )=a 2+b 2sin (ϕ+x )
大值为a 2+b 2
[例题3]如图所示质量为m=5kg的物块置于粗糙的水平 地面上，物块与地面间的摩擦因数为
13
，若使物块匀速运动，求所施加最小力
F 的大小和方向？
解析：设所加力与水平面的夹角为，件
由平衡条
水平方向F cos θ-μN =0竖直方向N +F sin θ-mg =0
F =
解
得
μmg cos θ+μsin θ
μmg
1+μ
2
2
=
2+μ2(
sin θ+
令
sin ϕ=
1+μ
2
2
则
cos ϕ=
μ
+μ
2
2
，所以
F ==
μm g
2+μ2(s ϕc i θ+o n c ϕs s o θ)i s
μm g
2+μ2s
，
n
(ϕi +θ)
n
所以当当sin (ϕ+θ)=1时，即
ϕ与θ之和为900时，力F 有极小值为
12+μ2
=
，所以ϕ=60，则2
F min =
μmg
+μ2
ϕ==25N ，此时s i n
θ=300所以最小力25N ，与水平面的夹角为θ=300斜向上
[例题4]如图所示，山高为
B 处的水平距离为s ，现要其中AC 为斜面，若不计一AC 的倾角θ为多大时，方静止释放后滑到B 点历时为多长？
h ，山顶A 到山下修一条水道ACB ，切摩擦，则斜面可使物体由A 点最短？最短时间
解析：由于物体从倾角为θ的斜面上静止释放后做的是初速度为零、加速度为g
sin
θ的
2
匀加速直线运动，进入水平面后将做匀速直线运动，于是有
h 1
=g sin θt 12 sin θ2
v =g sin θt 1 s -h cot θ=vt 2
消去t 1、t 2、v 可把t 表示为θ函数
t =
s 2gh
+
h 2-cos θ. 2g sin θ
上述函数的复杂性将使得春极值点与极值的求解较为困难，可作如下处理，将其转换成典型的函数类型进而求解。
相应的方程及所得函数如前，取x =(2-cos θ) /sin θ 整理可得x sin θ+cos θ=2
这是典型的“f (θ) =a sin θ+b cos θ”函数类型， 由此可得+x 2sin(θ+α) =2 于是有x =(2-cos θ) /sin θ≥3
可见：当θ=60°时，时间最短，最短时间为t min =
s 2gh
+
3h 2g
3
5三角函数法
三角函数配角法求极值是数学中常用的技巧之一，即将三角函数式中的自变量进行配角整理画成两角和的正弦或余弦，便能得到函数的极值。当得出的式中不是典型的函数类型时，可通过等效变换进行转化。利用三角函数公式把所列的方程简化，变成仅含有单个三角函数的式子，然后利用单个三角函数的性质解决问题y =A sin θcos θ=
A
sin 2θ当2
θ=
π
4
时Y 有极大值
A 。 2
斜面倾角可为多大时物少？
[例题1]已知底边AB 长恒为L 的光滑斜面，变，物块从斜面顶端C 由静止释放，求倾角块滑到底端所用的时间最短？最短为多解析：由几何关系得斜面长S =
L
cos θ
下滑的加速度a =g sin θ，下滑的时间
t =
2s =a 2l
=
g sin θcos θ4l g sin 2θ
，所以当倾角
θ=450时sin 2θe 有最大值此时时间有最小值
4L
g
[例题2]一辆有1/4光滑圆弧的小车停在粗糙的水平地面上，质量为m 的小球从静止开始由车顶滑下，且小车始终保持静止状态，求小球运动到什么位置时财面对小车的摩擦力最大？最大值为多少？
解析：设圆弧半径为R 。当小球运动到重力与半径夹角为时，速度为v ，根据机械能守恒定律
1
mv 2=mgR cos θ，2
mv 2
根据牛顿第二定律N -mg cos θ=
R
联立解得N =3mg cos θ
小车处于平衡状态所以静摩擦力f =N sin θ=3mg cos θsin θ=
3
mg sin 2θ 2
3
mg 2
1，所以当θ=45时sin 2θe 有最大值此时地面对小车的静摩擦力有最大值，f max =
当物理方程中含有a sin x +b cos x 的形式时，可将式子变形为
a 2+b 2(
a a +b a a +b
2
2
2
2
sin x +
b a +b
2
2
cos x )
令cos ϕ=则sin ϕ
=
b a +b
2
2
1
a 2+b 2(
则
a a +b
2
2
sin x +
b a +b
2
2
cos x )
当sin (ϕ+x )=1时，上式极
=a 2+b 2(cos ϕsin x +sin ϕcos x )=a 2+b 2sin (ϕ+x )
大值为a 2+b 2
[例题3]如图所示质量为m=5kg的物块置于粗糙的水平 地面上，物块与地面间的摩擦因数为
13
，若使物块匀速运动，求所施加最小力
F 的大小和方向？
解析：设所加力与水平面的夹角为，件
由平衡条
水平方向F cos θ-μN =0竖直方向N +F sin θ-mg =0
F =
解
得
μmg cos θ+μsin θ
μmg
1+μ
2
2
=
2+μ2(
sin θ+
令
sin ϕ=
1+μ
2
2
则
cos ϕ=
μ
+μ
2
2
，所以
F ==
μm g
2+μ2(s ϕc i θ+o n c ϕs s o θ)i s
μm g
2+μ2s
，
n
(ϕi +θ)
n
所以当当sin (ϕ+θ)=1时，即
ϕ与θ之和为900时，力F 有极小值为
12+μ2
=
，所以ϕ=60，则2
F min =
μmg
+μ2
ϕ==25N ，此时s i n
θ=300所以最小力25N ，与水平面的夹角为θ=300斜向上
[例题4]如图所示，山高为
B 处的水平距离为s ，现要其中AC 为斜面，若不计一AC 的倾角θ为多大时，方静止释放后滑到B 点历时为多长？
h ，山顶A 到山下修一条水道ACB ，切摩擦，则斜面可使物体由A 点最短？最短时间
解析：由于物体从倾角为θ的斜面上静止释放后做的是初速度为零、加速度为g
sin
θ的
2
匀加速直线运动，进入水平面后将做匀速直线运动，于是有
h 1
=g sin θt 12 sin θ2
v =g sin θt 1 s -h cot θ=vt 2
消去t 1、t 2、v 可把t 表示为θ函数
t =
s 2gh
+
h 2-cos θ. 2g sin θ
上述函数的复杂性将使得春极值点与极值的求解较为困难，可作如下处理，将其转换成典型的函数类型进而求解。
相应的方程及所得函数如前，取x =(2-cos θ) /sin θ 整理可得x sin θ+cos θ=2
这是典型的“f (θ) =a sin θ+b cos θ”函数类型， 由此可得+x 2sin(θ+α) =2 于是有x =(2-cos θ) /sin θ≥3
可见：当θ=60°时，时间最短，最短时间为t min =
s 2gh
+
3h 2g
3