1.2.1 函数的定义域和值域
【自学目标】
1. 掌握求函数定义域的方法以及步骤；2. 掌握求函数值域的基本求法.
【重难点】
1. 有解析式函数和抽象函数的定义域求法2. 函数值域的求法：观察法、图象法、配方法、换元法.
【知识点梳理】
1．函数定义域的求法：
（1）有解析式函数定义域求法的基本原则：
①如果f (x ) 为整式，其定义域为R ；②如果f (x ) 为分式，其定义域为使分母不为0的实数集合. ③如果f (x ) 为二次根式（偶次根式），其定义域为使根号内的式子不小于0的实数集合.
④如果f (x ) 是由以上几个部分的数学式子构成的，其定义域为使各部分式子都有意义的实数集合的交集. ⑤f (x ) =x 0的定义域是{x ∈R |x ≠0}.
（2）抽象函数定义域的求法：（没有给出具体解析式的函数称为抽象函数）
①已知f (x ) 的定义域，求f [g (x ) ]的定义域. 其解法是：若f (x ) 的定义域是a ≤x ≤b ，则在f [g (x ) ]中，令a ≤g (x ) ≤b ，从中解出x 的取值范围即为f [g (x ) ]的定义域.
②已知f [g (x ) ]的定义域，求f (x ) 的定义域. 其解法是：若f [g (x ) ]的定义域是m ≤x ≤n ，则由x 确定g (x ) 的取值范围即为f (x ) 的定义域.
(3)应用性问题中函数的定义域应由实际问题确定的.
2. 函数的值域：函数值的取值集合{f (x ) |x ∈A }
● 一次函数：y =a x +b (a ≠0) 的定义域是R ，值域也是R ；
● 二次函数：y =ax 2+bx +c ,(a ≠0) 的定义域是R ，值域是B ；
⎧⎧4ac -b 2⎫4ac -b 2⎫⎪⎪⎪⎪当a >0时，值域B =⎨y y ≥⎬ ； 当a ﹤0时，值域B =⎨y y ≤⎬。 4a ⎪4a ⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭
k ● 反比例函数：y =(k ≠0) 的定义域是{x x ≠0}，值域是{y y ≠0}. x
2. 函数的值域的求法：函数的值域是由函数的定义域与对应法则确定的，因此，要求函数的值域，一般要从函数的定义域与对应法则入手分析，常用的方法有：
（1）观察法:通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域.
（2）图象法：通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域.
（3）配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时, 可以利用配方法求函数值域.
（4）换元法：以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域， 其特征是函数表达式含有根式.
(5) 判别式法：
巩固训练：1．函数f (x )=(
1-x )+
2. 函数y =-x 2+x 2-1的定义域是---------------------------------------------------------------------（ ）
A ．[-1，1] B ．（-∞, -1] [1, +∞) C ．[0，1] D ．{-1, 1} 0
3．函数f(x)的定义域是[1,1]，则y=f(3-x)的定义域是（ ） 2
55A ［0,1］ B ［2，］ C ［0，］ D (-∞,3) 22
4．已知函数f (3x -2) 的定义域为(-1,1]，则函数f (x ) 的定义域为5. （1）若函数y =f (x ) 的定义域为[-1,1]，求下列函数的定义域；
①y =f (x +1) ②y =f (x +) +f (x -) 44
（2）若已知函数y =f (2x -1) 的定义域为[1,3)，求f (x ) 的定义域
6. 求下列函数的值域：
（1）y =2x +1, x ∈{1,2,3,4,5}； （2）y =
22（4）y =-x -2x +3 变题：y =-x -2x +3 (-5≤x ≤-2）； （5）y =x +2x -1 11x +1; （3）y =x ； x +1
7. 函数y =2(x >0)的值域为（ ） 1+x
A ．[0,2] B．(0,2] C．(0,2) D．[0,2)
8. 函数y =2x 2-4x -3，0≤x ≤3的值域为( )
A. (-3,3) B.(-5,-3) C.(-5,3) D .(-5,+∞)
9.
函数y =x -2的值域为: .
10．若函数f (x )的定义域为x ∈[-3,1]，则F (x )=f (x )+f (-x )的定义域.
11. 已知函数f (3x -2) 的定义域为(-1,1]，求函数f (2x +1) 的定义域
12．函数y =2(x >0)的值域为（ ） 1+x
A ．[0,2] B．(0,2] C．(0,2) D．[0,2)
1.2.1 函数的定义域和值域
【自学目标】
1. 掌握求函数定义域的方法以及步骤；2. 掌握求函数值域的基本求法.
【重难点】
1. 有解析式函数和抽象函数的定义域求法2. 函数值域的求法：观察法、图象法、配方法、换元法.
【知识点梳理】
1．函数定义域的求法：
（1）有解析式函数定义域求法的基本原则：
①如果f (x ) 为整式，其定义域为R ；②如果f (x ) 为分式，其定义域为使分母不为0的实数集合. ③如果f (x ) 为二次根式（偶次根式），其定义域为使根号内的式子不小于0的实数集合.
④如果f (x ) 是由以上几个部分的数学式子构成的，其定义域为使各部分式子都有意义的实数集合的交集. ⑤f (x ) =x 0的定义域是{x ∈R |x ≠0}.
（2）抽象函数定义域的求法：（没有给出具体解析式的函数称为抽象函数）
①已知f (x ) 的定义域，求f [g (x ) ]的定义域. 其解法是：若f (x ) 的定义域是a ≤x ≤b ，则在f [g (x ) ]中，令a ≤g (x ) ≤b ，从中解出x 的取值范围即为f [g (x ) ]的定义域.
②已知f [g (x ) ]的定义域，求f (x ) 的定义域. 其解法是：若f [g (x ) ]的定义域是m ≤x ≤n ，则由x 确定g (x ) 的取值范围即为f (x ) 的定义域.
(3)应用性问题中函数的定义域应由实际问题确定的.
2. 函数的值域：函数值的取值集合{f (x ) |x ∈A }
● 一次函数：y =a x +b (a ≠0) 的定义域是R ，值域也是R ；
● 二次函数：y =ax 2+bx +c ,(a ≠0) 的定义域是R ，值域是B ；
⎧⎧4ac -b 2⎫4ac -b 2⎫⎪⎪⎪⎪当a >0时，值域B =⎨y y ≥⎬ ； 当a ﹤0时，值域B =⎨y y ≤⎬。 4a ⎪4a ⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭
k ● 反比例函数：y =(k ≠0) 的定义域是{x x ≠0}，值域是{y y ≠0}. x
2. 函数的值域的求法：函数的值域是由函数的定义域与对应法则确定的，因此，要求函数的值域，一般要从函数的定义域与对应法则入手分析，常用的方法有：
（1）观察法:通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域.
（2）图象法：通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域.
（3）配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时, 可以利用配方法求函数值域.
（4）换元法：以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域， 其特征是函数表达式含有根式.
(5) 判别式法：
巩固训练：1．函数f (x )=(
1-x )+
2. 函数y =-x 2+x 2-1的定义域是---------------------------------------------------------------------（ ）
A ．[-1，1] B ．（-∞, -1] [1, +∞) C ．[0，1] D ．{-1, 1} 0
3．函数f(x)的定义域是[1,1]，则y=f(3-x)的定义域是（ ） 2
55A ［0,1］ B ［2，］ C ［0，］ D (-∞,3) 22
4．已知函数f (3x -2) 的定义域为(-1,1]，则函数f (x ) 的定义域为5. （1）若函数y =f (x ) 的定义域为[-1,1]，求下列函数的定义域；
①y =f (x +1) ②y =f (x +) +f (x -) 44
（2）若已知函数y =f (2x -1) 的定义域为[1,3)，求f (x ) 的定义域
6. 求下列函数的值域：
（1）y =2x +1, x ∈{1,2,3,4,5}； （2）y =
22（4）y =-x -2x +3 变题：y =-x -2x +3 (-5≤x ≤-2）； （5）y =x +2x -1 11x +1; （3）y =x ； x +1
7. 函数y =2(x >0)的值域为（ ） 1+x
A ．[0,2] B．(0,2] C．(0,2) D．[0,2)
8. 函数y =2x 2-4x -3，0≤x ≤3的值域为( )
A. (-3,3) B.(-5,-3) C.(-5,3) D .(-5,+∞)
9.
函数y =x -2的值域为: .
10．若函数f (x )的定义域为x ∈[-3,1]，则F (x )=f (x )+f (-x )的定义域.
11. 已知函数f (3x -2) 的定义域为(-1,1]，求函数f (2x +1) 的定义域
12．函数y =2(x >0)的值域为（ ） 1+x
A ．[0,2] B．(0,2] C．(0,2) D．[0,2)