习题与解答
吴其胜
盐城工学院材料工程学院
2007，3
《材料物理性能》习题解答
目录
123456
材料的力学性能.....................................................................................2材料的热学性能...................................................................................12材料的光学性能...................................................................................17材料的电导性能材料的磁学性能材料的功能转换性能
《材料物理性能》习题解答
1材料的力学性能
1-1一圆杆的直径为2.5mm、长度为25cm 并受到4500N 的轴向拉力，若直径拉细至2.4mm，且拉伸变形后圆杆的体积不变,求在此拉力下的真应力、真应变、名义应力和名义应变，并比较讨论这些计算结果。
∆l =ε⋅l 0=
F ⋅l 0σ1000×40
⋅l 0===0. 0114(cm )
−49E A 0⋅E 1×10×10×3. 5×10
《材料物理性能》习题解答
1-3一材料在室温时的杨氏模量为3.5×108N/m2,泊松比为0.35，计算其剪切模量和体积模量。
解：根据E =2G (1+µ) =3B (1−2µ) 可知：
E 3. 5×108
剪切模量G ===1. 3×108(Pa ) ≈130(MPa )
2(1+µ) 2(1+0. 35) E 3. 5×108
体积模量B ===3. 9×108(Pa ) ≈390(MPa )
3(1−2µ) 3(1−0. 7)
1-4试证明应力-应变曲线下的面积正比于拉伸试样所做的功。
=84)
2) t =0,t =解：Maxwell模型可以较好地模拟应力松弛过程：
其应力松弛曲线方程为：σ(t)=σ(0)e-t/τ则有：σ(0) =σ(0); σ(∞) =0; σ(τ) =σ(0) /e .
V oigt 模型可以较好地模拟应变蠕变过程：
σ0
(1−e −t /τ) =ε(∞)(1−e −t /τ) E σσ
则有：ε(0) =0；ε(∞) =0ε(τ) =0(1−e −1).
其蠕变曲线方程为：ε(t ) =
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1.00.8ε(t ) /ε(∞) t/τ
σ(t ) /σ(0)
0.60.40.20.0
1
2
3
4
5
聚物的蠕变过程等。
1-7谱和频率谱。
解：（详见书本）。
1-83N/m2,10秒种后试样长度为原始长度的1.151.10倍,若可用单一Maxwell 模型来描σ=σ1=σ2⎧⎪解：根据
⎨ε=ε+ε=σ+σt
12⎪E η⎩
依题意得：
⎧σ1. 0×103
==2×104(Pa ) ⎪E =
⎪ε10. 05⎨3
⎪η=σt =1. 0×10×10=1×105(Pa ⋅s ) ⎪ε20. 1⎩
所以松弛时间τ=η/E=1.0×105/2×104=5(s).
1-9一非晶高聚物的蠕变行为可用一个Maxwell 模型和一个Voigt 模型串联描述，若t=0时施以拉伸应力为1.0×104N/m2至10小时,应变为0.05,移去应力后的回复应变可描述为ε=(3+e 10−t ) /100,t 为小时，请估算该力学模型的四个参数值。
解：据题即求如图E 1,E 2,η2和η3
ε=ε1+ε2+ε3=
σ0σ0+(1−e −t /τ) E 1E 2其中ε1立即回复，ε2逐渐回复，ε3σ0⎧10−10
ε==0. 05−(3+e ) /1⎪E 1⎪⎪σ01. 0×104⇒⎨ε3=t =⋅36000=(η3η3
⎪
⎪ε2=0. 05−0. 03−0. 01=0. 01⎪⎩
⎧1. 0×104E 1==1. 0×106(Pa ) ⎪⎪0. 01⇒⎨4
⎪η=1. 0×10×36000=1. 2×10103⎪0. 03⎩
Voigt 的回复方程为：ε(t ) =ε0exp(−t /τ，应变的回复方程就可写成
. 03, 得出τ＝3600s ，（与ε＝（3＋e 10−t ) /100相比）
. 0×106Pa , η2=E 2τ=3. 6×109Pa ⋅s
=
−c 1(T −T s )
中的C 1=17.44,C2=51.6，求以
c 2+T −T s Tg+50℃为参考温度时WLF 方程中的常数C 1和C 2。
B ⎧
C =⎪12. 303f =17. 44(B 是常数，f g 是T g 时的自由体积百分数)
g ⎪
Q ⎨
⎪C =f g =51. 6(B 是自由体积在T 以上的热膨胀系数)
f g
⎪2B f ⎩
101. 6
又有f =f g +B f (T −T g ) ⇒f g +50=f g +50B f =f g
51. 6
17. 44⎧
C ==8. 86⎪1解：
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σ
，屈求T =1K m ) =12. 6(nm )
1-15波函数的几率流密度J =
∇=i r
i h (ψ∇ψ∗−ψ∗∇ψ)，取球面坐标时，算符2m
1∂1∂1∂
+j θ+k ϕ，求定态波函数ψ=e ikr 的几率流密度。∂r r ∂θr sin θ∂ϕr
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11解：Q ψ=e ikr , ψ*=e −ikr
r r
ikr −1ikr −ikr −1−ikr *
⋅e , ∇ψ=i ⋅e r 22
r r i h i h i r (−2ikr ) h k
∴J =(ψ∇ψ∗−ψ∗∇ψ)==i r
2m 2m r 3mr 2且∇ψ=i r
1-16一粒子在一维势阱中运动，势阱为
⎧⎪U o >0, x >a
U (x ) =⎨求束缚态(0
⎪⎩0, x ≤a
解：因为
ϕ(x ) =Ae kx +A ' e −kx
‘对于x ≤−a 时，ϕ(x ) 不能无穷大，∴A ＝0
同理，x ≥a 时，A ＝0
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根据题意可得波函数：
x ⎧
ψ(x ) =A exp[i 2m (E −U ) ]L L x ≤−a ⎪10h ⎪⎪8π2mE 1/28π2mE 1/2⎪
x +B sin() x L L x ≤a ⎨ψ2(x ) =B 1cos(222h h ⎪
⎪x
⎪ψ(x ) =C exp[−i 2m (E −U ) L L x ≥a
0h ⎪⎩3
i 2m (E −U ) 2mE 0
令k =, k =, 则上述波函数可简化为：12h h ⎧ψ(x ) =A exp(k x ) L L x ≤−a
1⎪1
⎪
⎨ψ2(x ) =B 1cos(k 2x ) +B 2sin(k 2x ) ⎪
ψ(x ) =C exp(−k x ) L L x ≥a ⎪1⎩3
由“连续性”可得ψ(−a ) =ψ(−a ), ψ' (a ) =ψ' (a )
1223
⎧A exp(−k 1a ) =B 1cos(k 2a ) −B 2⎪⎪⎪Ak 1exp(−k 1a ) =k 2B 1sin(k 2a ) +⇒⎨
⎪C exp(−k 1a ) =B 1cos(k 2a ) +B 2⎪
−Ck exp(−k a ) =−k B sin(k ⎪11212⎩
由(1) +(2) 得：(A +C ) k 1=2B 1cos(k 2a )......... ......(5) (2) −(4) :k 1(A +C ) =2k 2B 1sin(k 2a )......... ......(6)
由(6) /(5) :k 12(2.......... ...(A )......... ......... 其成立条件为：A +C ≠0且B 1≠0由(3) −(1) 7），(4) +(2) 得到公式(8)
(8) /(7) 2(k 2a )......... .......... ...(B )......... ........ 其成立条件为：A −C ≠0且B 2≠0(A −C =0, B 2=0得出相应的ϕ(x ) (成立，由A +C =0, B 1=0得出相应的ϕ(x )
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1-17求融熔石英的结合强度，设估计的表面能力为1.75J/m2; Si-O 的平衡原子间距为1.6*10-8cm; 弹性模量从60到75Gpa
σth =
E γ(60~75) *109*1. 75
==25. 62~28. 64GPa a 1. 6*10−10
1-18融熔石英玻璃的性能参数为：E=73Gpa ；γ=1.56J/m2；理论强度σth=28Gpa 。如材料中存在最大长度为2μm 的内裂，且此内裂垂直于作用力方向，计算由此导致的强度折减系数。2c=2μm
c=1*10-6m
σc =
2E γ2*73*109*1. 56
==0. 269GPa −6
πc 3. 14*1*10
强度折减系数=1-0.269/28=0.99
1-19K IC
6M c c 1/2235=[1. 93−3. 07(c /w ) +14. 5(c /w ) −07(c /) +25. 8(c /w ) ]2
BW
35/27/29/2
. (c /W ) −37. 6(c /W ) +38. 7(c /W ) ]c /w ) 2−25. 07(c /W ) 3+25. 8(c /w ) 5]235c /w ) +14. 5(c /w ) −25. 07(c /W ) +25. 8(c /w ) ]21. 8(c /W ) 5/2−37. 6(c /W ) 7/2+38. 7(c /W ) 9/2]1-20一陶瓷三点弯曲试件，在受拉面上于跨度中间有一竖向切口如图。如果E=380Gpa ，μ=0.24，求K Ic 值，设极限荷载达50Kg。计算此材料的断裂表面能。解
c/W=0.1,Pc=50*9.8N,B=10,W=10，S=40代入下式：
P c S
[2. 9(c /W ) 1/2−4. 6(c /W ) 3/2+21. 8(c /W ) 5/2−37. 6(c /W ) 7/2+38. 7(c /W ) 9/2]3/2
BW
K IC =
=
50*9. 8*401/23/25/27/29/2
[2. 9*0. 1−4. 6*0. 1+21. 8*0. 1−37. 6*0. 1+38. 7*0. 1]=62*3/2
10*0. 010
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（0.917-0.145+0.069-0.012+0.0012）=1.96*0.83==1.63Pam1/2
K IC =
2E γ1−µ2
2
K IC (1−µ2) γ==(1. 63*106) 2*0. 94/(2*380*109) =3. 28J/m2
2E
1-21一钢板受有长向拉应力350MPa，透缺陷，长8mm(=2c)。此钢材的屈服强度为1400MPa，计算塑性区尺寸缝半长c 的比值。讨论用此试件来求K IC 值的可能性。
K Ι=Y σc =σ. =39.23Mpa.m1/2r 0=
1K Ι2
() =0. 125mm 2πσys
1
=>0.02115π
r 0/c =0. 125/4=0. 031>
用此试件来求K IC 值的不可能。
1-22一陶瓷零件上有一垂直于拉边裂，如边裂长度为：（1）
25MPa
(2)c=0.049mm,σc =0. 818/0. 049*10−3=116. 58MPa c=2um,σc =0. 818/2*10−6=577. 04MPa
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2材料的热学性能
2-1计算室温（298K ）及高温（1273K ）时莫来石瓷的摩尔热容值，并请和按杜龙-伯蒂规律计算的结果比较。
（1）当T=298K，Cp=a+bT+cT-2=87.55+14.96*10-3*298-26.68*105/2982
=87.55+4.46-30.04=61.97*4.18J/mol.K
（2）当T=1273K，Cp=a+bT+cT-2=87.55+14.96*10-3*1293-26.68*1052
=87.55+19.34-1.65
α2-3一热机部件由反应烧结氮化硅制成，其热导率λ=0.184J/(cm.s.℃)，最大厚度=120mm.如果表面热传递系数h=0.05J/(cm2.s.℃),假定形状因子S=1，估算可兹应用的热冲击最大允许温差。∆T m =R ′S ×
10. 31r m h
《材料物理性能》习题解答
=226*0.184==447℃
2-4、系统自由能的增加量∆F =∆E −TS ，又有ln N =ln
1
0. 31*6*0. 05
N !
. 若在肖特基缺陷
(N −n )! n !
中将一个原子从晶格内移到晶体表面的能量E s =0. 48eV , 求在0℃产生的缺陷比例（即
n
）是多少？N
解：∆S =K ln W =K ln[
N !
(N −n )! ⋅n !
T , P =0F 6. 738×10−3−6. 693×10−3==0. 0067=0. 67%−3
6. 693×10
2-6NaCl 和KCl 具有相同的晶体结构，它们在低温下的Debye 温度θD分别为310K 和230K ，KCl 在5K 的定容摩尔热容为3.8*10-2J/(K.mol),试计算NaCl 在5K 和KCl 在2K 的定容摩尔热容。
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根据德拜模型的热容量理论，当温度很低（T →0）时有
12T h
C V ≈π4Nk (3
5θD
23
对于KCl 有，C （2K ）=3×3. 8×10−2=2. 43×10−3J ⋅mol −1⋅K −1
52303h
对于NaCl 有，C （=×3. 8×10−2=1. 55×10−2J ⋅mol −1⋅K −1V 5K ）3
310
h V
2-7证明固体材料的热膨胀系数不因为含均匀分散的气孔而改变。
对于复合材料有V =
∑αK W /ρK W /ρ
i
i
i i
i
i
i
由于空气组分的质量分数W i ≈0，所以气孔不影响V ，也不影响l 。
2-8在一维双原子的点阵中：（1）若m 1/m 2>1, 求证存在关系？
（2）证明在L=π/a ，声频支中所有轻原子m 2m 1
静止，并画出此时原子的振动图像。
（3）若m 1≈m 2
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解：
⎧(m 1ω2−2k e ) A +(2k e cos La ) B =0A 2m 2ω2−2k e
又根据⎨⇒(=22
B m ω−2k e (m ω−2k ) B +(2k cos La ) A =012e e ⎩
πB 20⎧
声学支中：L =±时, (=⇒B =0, m 2静止；⎪m 22a A
−1⎪
⎪m 1⇒⎨
πA 0
⎪光学支中：L =±() 2=⇒A =0, m 1静止。
2a B ⎪1
−1⎪m 2⎩
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(3) ：
2k e 244sin 2La
若m 1≈m 2, ω±=k e [±−]=[(1±cos La )]1/2
22
m 1m 1m 1m 1
⎧ω+=0, 光学支振动频率为0，无光学支；π
当L =±时, cos La =−1⇒⎨
a ⎩ω+≠0, 光学支振动频率不为0，有光学支。
2-9试计算一条合成刚玉晶体Al 2O 3棒在1K 的热导率，它的分子量为102为3mm ，声速500m/s，密度为4000kg/m3，德拜温度为1000K 。
, 求, 其电子热−1⋅s −1⋅K −1
t t t
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3材料的光学性能
3-1．一入射光以较小的入射角i 和折射角r 通过一透明明玻璃板, 若玻璃对光的衰减可忽略不计, 试证明明透过后的光强为(1-m)2
解：n 21=
sin i sin r
W =W’+W’’
W ' ⎛n 21−1⎞
⎟=⎜=m ⎜⎟W ⎝n 21+1⎠
W " W ' ∴=1−=1−m W W
2
其折射光又从玻璃与空气的另一界面射入空气
W " ' W " ' 2
=1−m ∴=(1−m )W " W
3-2光通过一块厚度为1mm 的透明Al 2O 315%，试计算其吸收和散射系数的总和。
则
解:
I =I 0e −(α+s ) x
−1
10%，20%，50%及0. 2−ln 0. 5
∴X 1==7. 2cm , X 2==5. 03cm , X 3==2. 17cm
0. 320. 320. 32−ln 0. 8X 4==0. 697cm
0. 323-4一玻璃对水银灯蓝、绿谱线λ=4358A和5461A 的折射率分别为1.6525和1.6245，
B
用此数据定出柯西Cauchy 近似经验公式n =A +2的常数A 和B ，然后计算对钠
λ
黄线λ=5893A的折射率n 及色散率dn/dλ值。
《材料物理性能》习题解答
解：
n =A +
B λ2
B ⎧
1. 6525=A +⎪⎪43582⎧A =1. 5754
∴⎨⎨6B ⎩B =1. 4643×10⎪1. 6245=A +
⎪54612⎩
1. 4643×106
λ=5893时n =1. 5754+=1. 6176
58932
色散率:=(B λ−2)' =−2B λ−3=−1. 431×10−5
λ
3-5头和胶卷底片的灵敏度将光谱范围限制在3900-6200A 围内视成常数，当色镜把波长在5500A 它去掉百分之几呢？
[瑞利Rayleugh 定律认为：散射光强与λ4成反比]解：
111dx −33∫5500
4
==14. 3%
6200111∫3900λ4dx 39003−62003
6200
10. 01eV
108K 时粒子数之比值N 2/N1:0. 3134, 0. 8905, 0. 9194, 0. 999999884
N 1
2）
N 2=N 1的状态相当于多高的温度N
Q 2=e N 1
3）
−0. 01ev kT
∴当e
−0. 01ev kT
=1时, 所得的T 即为所求
∴T →108
《材料物理性能》习题解答
已知当N 2>N 1时粒子数会反转，所以当e 度来实现粒子反转
−0. 01ev
kT
>1时，求得T
3-7．一光纤的芯子折射率n 1=1.62,包层折射率n 2=1.52,试计算光发生全反射的临界角θc.
解：
⎛n 2⎞−1⎛1. 52⎞o
⎟θc =sin −1⎜=sin =1. 218=69. 8⎜⎟⎜n ⎟
⎝1. 62⎠⎝1⎠
《材料物理性能》习题解答
4材料的电导性能
4-1实验测出离子型电导体的电导率与温度的相关数据，经数学回归分析得出关系式为：
lg σ=A +B
1
T
(1)试求在测量温度范围内的电导活化能表达式。(2)若给定T1=500K，σ1=10-9（Ω. cm ) −1
T2=1000K，σ2=10-6（Ω. cm ) −1
计算电导活化能的值。解：（1）σ=10(A +B /T )
ln σ=(A +B /T ) ln 10
σ=e (A +B /T ) ln 10=e ln 10A e (ln10. B /T ) =A 1) W=−ln 10. B . k
式中k=0. 84*10−4() （2）lg 10−9=lg −6B 1000-4*500=5.94*10-4*500=0.594eV1电导率与氧分压的关系。
（2）在具有阴离子空位TiO 2-x 非化学计量化合物中，其电导率与氧分压的关系。
（3）在具有阳离子空位Fe 1-x O 非化学计量化合物中，其电导率与氧分压的关系。
（4）讨论添加Al 2O 3对NiO 电导率的影响。解：（1）间隙离子型：ZnO ⇔Zn i
••
1
+2e ′+O 2
2
[e ′]∝P O 2
−1/6
《材料物理性能》习题解答
1
或ZnO ⇔Zn i +e ′+O 2
2
•
[e ′]∝P O 2−
1/4
−1/61
[e ′]∝P O 2O 2+Vo ••+2e ′
21″1/6
（3）具有阳离子空位Fe 1-x O ：O 2⇔Oo +V Fe +2h •h •∝P O 2
2
（2）阴离子空位TiO 2-x ：Oo ⇔
[]
（4）添加Al 2O 3对NiO ：
•″
Al 2O 3→2Al N i +V N i +3Oo
添加Al 2O 3对NiO 后形成阳离子空位多，提高了电导率。
4-3电子数n 可近似表示为：
n =N exp(−E g /2kT )
式中N 为状态密度，k 为波尔兹曼常数，T （1）设N=1023cm -3,k=8.6”*10-5eV.K -1时, 2(Eg=3.0eV)在室温（20℃）和500℃时所激发的电子数（cm-3（2）半导体的电导率σ（Ω-1.cm -1σ=ne µ
式中n 为载流子浓度（cm-3），e 1.6*10-19C ）, μ为迁移率（cm 2.V -1.s -1）当电子（e h ）同时为载流子时，
σ=n e e µe +n h h
假定Si （cm 2.V -1.s -1），μh=500（cm 2.V -1.s -1），且不随温20℃）和500℃时的电导率
解：20℃n =1023exp(−1. 1/(2*8. 6*10−5*298)
=1023*e-21.83=3.32*1013cm -3
500℃n =1023exp(−1. 1/(2*8. 6*10−5*773)
=1023*e-8=2.55*1019cm -3
TiO 2
20℃n =1023exp(−3. 0/(2*8. 6*10−5*298)
《材料物理性能》习题解答=1.4*10-3cm -3
500℃n =1023exp(−3. 0/(2*8. 6*10−5*773)
=1.6*1013cm -3
(2)20℃σ=n e e µe +n h e µh
=3.32*1013*1.6*10-19(1450+500)=1.03*10-2（Ω-1.cm -1）500℃σ=n e e µe +n h e µh
=2.55*1019*1.6*10-19(1450+500)
E ∴n =征载流浓度n i =1. 3×10/cm ，求此时该块半导体的多数载流子浓度和少数载流子浓度。
解：
⎧n 0=N D =1. 5×1015/cm 3(多子) ；
⎪
Q n i 〈〈N D ∴⎨n i 293
p ==1. 13×10/cm (少子) 。0⎪N D ⎩
《材料物理性能》习题解答
4-7一硅半导体含有施主杂质浓度N D =9×1015/cm 3，和受主杂质浓度
N A =1. 1*1016/cm 3，求在T=300K时（n i =1. 3×1010/cm 3）的电子空穴浓度以及费米载流了浓度。
解：
Q N D 〈N A , ∴补偿后P 型半导体
又Q N 较少且T 在室温，∴杂质几乎完全电离⎧p =N A −N D =1. 1×1016−9×1015=2×1015/cm 3
⎪⇒⎨n i 2(1. 3×1010) 243
n ===8. 45×10/cm ⎪
15杂质电离90%作为达到强电离的最低标准，试计算保持饱和杂质电离的温度范围。
《材料物理性能》习题解答
解：
N D E −E F
, 当exp(−D >>1时
E D −E F 1k 0T
1+exp(−) 2k 0T
E −E F
n D =2N D exp(−D k 0T
N
杂质饱和电离∴E F =E c +k 0T ln D 代入上式
N c
N N
∴n D ≈2N D (D exp(∆E D /k 0T ), 令D _=2(D ) exp(∆E D /k 0T )
N c N c n D =
∴n D ≈D _N D , D _为未电离的施主杂质占总数的百分比cm 3
/V . s , 当掺入解：
Q 300K 时Si 的n i =1. 3×1010/cm 3
σi =n i q (µn +µp ) =1. 3×1010×1. 6×10−19×(1350+500) =3. 85×10−6Ω−1⋅cm −1又Q 本征Si 的密度N i =5×1022/cm 3, 则n D =5×1016/cm 3
σn ≈n D q µn =5×1016×1. 6×10−19×1350=10. 8Ω−1⋅cm −1
σ
∴n =10. 8/3. 85×10−6=2. 8×106
σi
《材料物理性能》习题解答
4-12在500g 的硅单晶中掺有4.5*10-5g 的硼, 设杂质全部电离, 求该材料的电阻率(设
µP =400cm 2/V . s ), 硅单密度为2. 33g /cm 3, 硼的原子量为10.8).
解：
4. 5×10−5500
Q p ≈N A =×6. 02×1023/(=1. 17×1016/cm 3
10. 82. 3311
∴ρ===1. 34Ω⋅cm 16−19
pq µp 1. 17×10×1. 6×10×400
4-13设电子迁移率为0. 1cm 2/V . S , 硅的电子有效质量m cn =
0. 26m 0, 样品, 设
4-15一截在为10-3cm 2, 掺有杂质浓度N A =1013/cm 3的P 型硅样品, 在样品内加有强度为103V/cm的电场, 求:
(1)室外温时样品的电导率及流过样品的电流密度. (2)400K时样品的电导率及流过样品的电流密度.
《材料物理性能》习题解答
解：
对Si ，m dn （电子有效质量）=0. 26m 0=0. 26×9. 1×10−31kg (1) Q σ=nq µ, µ==10×1. 6×10
19
−19
V 3kT 3kT
, V =∴σ=N A ⋅q ⋅/E E m dn m dn
3×1. 38×10−23×300
/(103⋅102) =3. 65Ω−1⋅m −1
−31
0. 26×9. 1×10
i =σE =N A q
3kT
=3. 65×105A ⋅m −2=36. 5A ⋅cm −2
m dn
(2) 同理，400K 时，σ=4. 12Ω−1⋅m −1
i ==4. 23×105A ⋅m −2=42. 3A ⋅cm −2
4-16分别计算（1）3×1015硼原子/cm3
（2）1. 3×1016硼原子/cm3+1. 0×1016磷原子/cm3
（3）1. 3×1016磷原子/cm3+1. 0×1016硼原子/cm3+1. 0砷原子/cm3解：
(1) Q n i 〈〈n A , ∴p ≈N A =3×1015/cm 3又查得µp =480cm 2⋅V −1⋅s −1
∴ρ=(pq µ) −1=(3×1015×1. −×480) −1=4. 34Ω⋅cm (2) p =N A −N D =1. 3−11016=0. 3×1016/cm 3∴ρ=(pq µ) −1=(0. 3. 10−19×480) −1=4. 34Ω⋅cm (3) n =1. 3×10161−. 0×1016=10. 3×1016/cm 3又Q µn =cm ⋅s −1
∴ρ=(10. 3×1016×1. 6×10−19×1350) −1=0. 045Ω⋅cm
µn ≠µP , 且电子浓度n =ni µP /µn ，空穴浓度p =ni µP /µn 时，σ最小，并求出σmin 的表达式。
（2）试求300K 时，InSb 的最小电导率和最大电导率，什么导电类型的材料电阻率可达最大？（T=300K时，InSb 的
µn =7. 8m 2/V . s , µp =780cm 2/V . s , n i =1. 6×1016/cm 3）。
《材料物理性能》习题解答
解：
(1) 证：Q n i 2=np (由题中n =n i µp /µn , p =n i µn /µp 可知)
n i 2n i 2∴σ=nq µn +pq µp =nq µn +q µp =q µn +pq µp
n p n i 2d σ
令=0⇒q µn −2q µp =0⇒n =n i µp /µn
dn n d σ令=0⇒p =n i µn /µp
dp
d 2σd 2σ
又Q 2〉020. ∴当n =n i µp /µn 及p =n i µn /µp 时，σ设电子时的平均漂−1⋅s
=0. 2488m 2⋅v −1⋅s −1=2488cm 2⋅v −1⋅s −1
d =µn E =2488×104=2. 488×107cm ⋅s −1
《材料物理性能》习题解答
4-19轻掺杂的硅样品在室外温下，外加电压使电子的漂移速度是它的热运动速度的十分之一，一个电子由于漂移而通过1μm区域中的平均碰撞次数和此时加在这
个区域的电压为多少？
解：
113kT 13×1. 381×10−23×30026−1
d =υ热==×10=2. 29×10cm ⋅s ∗
1010m n 100. 26×9. 1×10−31平均自由程=1µm =1. 0×10−4cm
1. 0×10−4−11
平均自由时间τ===4. 363×10s 6
d 2. 29×101
平均碰撞次数P ==2. 29×1010s −1
τ
×10−4V
《材料物理性能》习题解答
5材料的磁学性能
5-1.
垂直板面方向磁化的大薄片性磁性材料，去掉磁化场后的磁极化强度是
J =µ0M =1Wb /m 2，试计算板中心的退磁场大小。解：垂直于板面方向磁化, 则为垂直于磁场方向
J =
μ0M =1Wb/m2
退磁场Hd =-NM
大薄片材料, 退磁因子Na =Nb =0, Nc =1
, .
（2）垂直于轴线方向磁化的细长圆形磁棒；（3）平行平面磁化的无限大薄圆形磁片。解：退磁因子, 无量纲, 与磁体的几何形状有关.
对于旋转椭圆体的三个主轴方向退磁因子之和, 存在下面简单的关系:Na +Nb +Nc=1
(a,b,c分别是旋转椭圆体的三个半主轴, 它们分别与坐标轴x,y,z 方向一致)
, 很容易求得其三种极限情况下的退磁因子:
《材料物理性能》习题解答
1) 球形体:因为其三个等轴, Na =Nb =Nc 2) 细长圆柱体:其为a,b 等轴, 而c>>a,b
∴Na =Nb 而Nc =0
1
Q Na +Nb +Nc =1∴Na =Nb =
2
3) 薄圆板体:b=a>>c∴Na =0Nb =0
Q Na +Nb +Nc =1∴Nc =1
5-4何谓轨道角动量猝灭现象?
由于晶体场导致简并能级分裂, 可能出现最低轨道能级单态. 级轨道时, 总轨道角动量的绝对值L 2虽然保持不变, z 不
.
∴N =
13
::
又Q Tc =Ng 2µB J (J +1) λ/3k B 代入(2)式有
M =M =
T c (B 0+λM )
λT T c B 0(T −T c ) λ
令C ' =
T c λ
《材料物理性能》习题解答
C ' B 0µC '
=0H =χH T −T c T −T c
则得
µC ' C
∴χ=0=
T −T c T −T c
M =
当T ≤T c 时, χT c 时, χ>0为顺磁性
5-6自发磁化的物理本质是什么? 材料具有铁磁性的充要条件是什么?
答:铁磁体自发磁化的本质是电子间的静电交换相互作用材料具有铁磁性的充要条件为:
1) 必要条件:材料原子中具有未充满的电子壳层, 即原子磁矩2) 充分条件:交换积分A >0
5-7超交换作用有哪些类型? 为什么A-B 型的作用最强?
答:具有三种超交换类型:A-A, B-B 和A-B
因为金属分布在A 位和B 位, 且A 位和B 列的.
:两离子之间的距离以及金属离子之间通过氧离子所组成的键角ψi 3d 电子数目及轨道组态.
A-B 型ψ1=125°9’; ψ2=150°A-A 型ψ3=79°38’
B-B 型ψ4=90°; ψ5°2’
因为ψi 越大, , 所以A-B 型的交换作用最强.
5-81) 抗磁性d , χd
2) 顺磁性:χ=
C
,T c 为临界温度, 成为顺磁居里温度,T>Tc 时显顺磁性T −T c
《材料物理性能》
习题解答
3)
反铁磁性:当温度达到某个临界值T N 以上, 服从居里
-外斯定律
4) 铁磁性:χf >0,T
,
外斯定律
5)
亚铁磁性:5-9比较铁磁体中五种能量的下列关系:（1）数学表达式；（2）来源和物理意义（3）对磁矩取向的作用。
《材料物理性能》习题解答
答:铁磁材料的五种相互作用能分别为:交换能F ex , 磁晶各向异性能F x , 磁弹性能F σ,退磁场能F d 和外磁场能F H
相邻原子电子自旋的单位体积内的交换能
E ex εAS 2
[F ex ==(∇α1) 2+(∇α2) 2+(∇α3) 2]V a
A>0时,电子自旋不平行,则会引起系统交换能的增加,F ex >0,只有当不考虑
自旋轨道耦合时, 交换能F ex 是各向同性的.
磁晶各向异性能F x , 是饱和磁化强度矢量在铁磁材料中取不同方向时随时间而改变的能量, 仅与磁化强度矢量在晶体中的相对晶轴的取向有关
M s 1M s
⎞F x =⎛⎜∫0[111]HdM −∫0[100HdM ⎟]⎝⎠V
. 这种原子或离子的自旋与轨道的耦合作用, 发生变化, 出现所谓的磁致伸缩
σ,包括由于F H =−µ0HM s =−µ0M s H cos 磁荷,从而产生减弱外磁场的磁场H d M M F d =−µ0∫H d dM =µ0∫005-10立方晶体铁磁材料的
M s =. 71106A /m , A =2. 16×10−21J , a =2. 26×10−10m , K 1=4. 2×104J /m 3，计算其单畴的临界尺寸。
解：单位面积的畴壁能量γ=2πS
104
磁畴宽度D =
M s
k 1A
=3. 98×10−3J /m 2a
S 为自旋量子数=1
γL
=8. 95×10−6m 17. 0
L=10-2m
《材料物理性能》习题解答
5-12设铁磁材料的内应力分布为σ=σ0sin 解：此题通过内应力分布为σ=σ0sin 程为µ0M s H =
2πx
，试计算弱磁场下材料的磁导率。l
2πx
，可见为90°畴壁位移，其为位移磁方l
3
λs σ，当外磁场变化∆H ，畴壁位移∆x 2
3∂σλs ∆x 2∂x
平衡时µM
∴∆x =0s ∆H
λs 2∂x
µ0M s ∇H =
此时沿外磁场方向上磁矩将增加∆µ
H =M s S ⊥∆x (S ⊥∴χi −90=µr −1∴µr =χi −90
2
4µ0M s
+1=+1=µ/µ0
3πλs σ0
2
2
4µ0M s +3πµ0λs σ0
∴µ=
3πλs σ0
5-13. 证明复数磁导率=µ′−i µ′′中，µ′和µ′′与频率ϖ的关系为半圆形.
《材料物理性能》习题解答
证明:用单弛豫来描述, 磁场为交变磁场强度H =H m e i ωt 作用下
磁感应强度为B =B m e i (ωt −δc )
dB 1
=(B m −B ) =i ωB dt τ
B 1
∴(i ω+) B =m
ττ
Q B m =µ0µi H =µ0µi H m e i ωt ∴
µ0µi H m e i ωt µ0µi (1−i ωτ) H m e i ωt
B ==
1+i ωτ1+(ωτ) 2
由B =
µ0µH =µ0(µ' −i µ' ' ) H m e i ωt
5-15．讨论动态磁化过程中，磁损耗与频率的关系。
1）低频区域（f
《材料物理性能》习题解答
是由于不可逆磁化过程产生的磁滞和磁化状态滞后于磁场变化的磁后效；2）中频区域（f =104---106Hz ）, 损耗µ' ' 会出现峰值；
3）高频区域（f =106—108Hz ）, µ' 急剧下降，损耗µ' ' 迅速增加。交变磁场的频
率与畴壁振动的本征频率或弛豫频率相同时，发生畴壁共振或畴壁弛豫而吸收大量引起损耗增大
4）超高频区域（f =108—1010Hz ）µ' 继续下降，µ' -1可能出现负值，而µ' ' 出现自然共振引起的峰值，这是由于外加磁场频率与磁矩进动固有频率相等时产生共振现象引起的；
5）极高频区域（f >1010Hz ）对应为自然交换共振区域。
《材料物理性能》习题解答
6材料的功能转换性能
6-1金红石（TiO 2）的介电常数是100，求气孔率为10%的一块金红石陶瓷介质的介电常数。
解：
εm =100, χm =0. 9; ε气=εd =1, χ气=χd =0. 1
2ε
χm εm (+d ) +χd εd 0. 9×100×(2+1) +0. 1×1
33εm 3300ε===85. 92
212d
0. 9(+) +0. 1χm (+) +χd
tg δ为0.02。
−1
F ⋅m
℃烧成并，估算玻璃6-4如果A 原子的原子半径为B 的两倍，那么在其它条件都是相同的情况下，原子A 的电子极化率大约是B 的多少倍？
解：
Q 电子极化率αe =4πε0R 3∝R 3, R A =2R B ⇒αe , A =8αe , B
6-5为什么碳化硅的电容光焕发率与其折射率的平方n 2相等
《材料物理性能》习题解答
解：
麦克斯韦电磁场理论V =折射率n =
C , C
∴n =εµV
由于SiC 属于非铁磁性物质∴µ＝1∴n =ε, n 2=ε
习题与解答
吴其胜
盐城工学院材料工程学院
2007，3
《材料物理性能》习题解答
目录
123456
材料的力学性能.....................................................................................2材料的热学性能...................................................................................12材料的光学性能...................................................................................17材料的电导性能材料的磁学性能材料的功能转换性能
《材料物理性能》习题解答
1材料的力学性能
1-1一圆杆的直径为2.5mm、长度为25cm 并受到4500N 的轴向拉力，若直径拉细至2.4mm，且拉伸变形后圆杆的体积不变,求在此拉力下的真应力、真应变、名义应力和名义应变，并比较讨论这些计算结果。
∆l =ε⋅l 0=
F ⋅l 0σ1000×40
⋅l 0===0. 0114(cm )
−49E A 0⋅E 1×10×10×3. 5×10
《材料物理性能》习题解答
1-3一材料在室温时的杨氏模量为3.5×108N/m2,泊松比为0.35，计算其剪切模量和体积模量。
解：根据E =2G (1+µ) =3B (1−2µ) 可知：
E 3. 5×108
剪切模量G ===1. 3×108(Pa ) ≈130(MPa )
2(1+µ) 2(1+0. 35) E 3. 5×108
体积模量B ===3. 9×108(Pa ) ≈390(MPa )
3(1−2µ) 3(1−0. 7)
1-4试证明应力-应变曲线下的面积正比于拉伸试样所做的功。
=84)
2) t =0,t =解：Maxwell模型可以较好地模拟应力松弛过程：
其应力松弛曲线方程为：σ(t)=σ(0)e-t/τ则有：σ(0) =σ(0); σ(∞) =0; σ(τ) =σ(0) /e .
V oigt 模型可以较好地模拟应变蠕变过程：
σ0
(1−e −t /τ) =ε(∞)(1−e −t /τ) E σσ
则有：ε(0) =0；ε(∞) =0ε(τ) =0(1−e −1).
其蠕变曲线方程为：ε(t ) =
《材料物理性能》习题解答
1.00.8ε(t ) /ε(∞) t/τ
σ(t ) /σ(0)
0.60.40.20.0
1
2
3
4
5
聚物的蠕变过程等。
1-7谱和频率谱。
解：（详见书本）。
1-83N/m2,10秒种后试样长度为原始长度的1.151.10倍,若可用单一Maxwell 模型来描σ=σ1=σ2⎧⎪解：根据
⎨ε=ε+ε=σ+σt
12⎪E η⎩
依题意得：
⎧σ1. 0×103
==2×104(Pa ) ⎪E =
⎪ε10. 05⎨3
⎪η=σt =1. 0×10×10=1×105(Pa ⋅s ) ⎪ε20. 1⎩
所以松弛时间τ=η/E=1.0×105/2×104=5(s).
1-9一非晶高聚物的蠕变行为可用一个Maxwell 模型和一个Voigt 模型串联描述，若t=0时施以拉伸应力为1.0×104N/m2至10小时,应变为0.05,移去应力后的回复应变可描述为ε=(3+e 10−t ) /100,t 为小时，请估算该力学模型的四个参数值。
解：据题即求如图E 1,E 2,η2和η3
ε=ε1+ε2+ε3=
σ0σ0+(1−e −t /τ) E 1E 2其中ε1立即回复，ε2逐渐回复，ε3σ0⎧10−10
ε==0. 05−(3+e ) /1⎪E 1⎪⎪σ01. 0×104⇒⎨ε3=t =⋅36000=(η3η3
⎪
⎪ε2=0. 05−0. 03−0. 01=0. 01⎪⎩
⎧1. 0×104E 1==1. 0×106(Pa ) ⎪⎪0. 01⇒⎨4
⎪η=1. 0×10×36000=1. 2×10103⎪0. 03⎩
Voigt 的回复方程为：ε(t ) =ε0exp(−t /τ，应变的回复方程就可写成
. 03, 得出τ＝3600s ，（与ε＝（3＋e 10−t ) /100相比）
. 0×106Pa , η2=E 2τ=3. 6×109Pa ⋅s
=
−c 1(T −T s )
中的C 1=17.44,C2=51.6，求以
c 2+T −T s Tg+50℃为参考温度时WLF 方程中的常数C 1和C 2。
B ⎧
C =⎪12. 303f =17. 44(B 是常数，f g 是T g 时的自由体积百分数)
g ⎪
Q ⎨
⎪C =f g =51. 6(B 是自由体积在T 以上的热膨胀系数)
f g
⎪2B f ⎩
101. 6
又有f =f g +B f (T −T g ) ⇒f g +50=f g +50B f =f g
51. 6
17. 44⎧
C ==8. 86⎪1解：
《材料物理性能》习题解答
σ
，屈求T =1K m ) =12. 6(nm )
1-15波函数的几率流密度J =
∇=i r
i h (ψ∇ψ∗−ψ∗∇ψ)，取球面坐标时，算符2m
1∂1∂1∂
+j θ+k ϕ，求定态波函数ψ=e ikr 的几率流密度。∂r r ∂θr sin θ∂ϕr
《材料物理性能》习题解答
11解：Q ψ=e ikr , ψ*=e −ikr
r r
ikr −1ikr −ikr −1−ikr *
⋅e , ∇ψ=i ⋅e r 22
r r i h i h i r (−2ikr ) h k
∴J =(ψ∇ψ∗−ψ∗∇ψ)==i r
2m 2m r 3mr 2且∇ψ=i r
1-16一粒子在一维势阱中运动，势阱为
⎧⎪U o >0, x >a
U (x ) =⎨求束缚态(0
⎪⎩0, x ≤a
解：因为
ϕ(x ) =Ae kx +A ' e −kx
‘对于x ≤−a 时，ϕ(x ) 不能无穷大，∴A ＝0
同理，x ≥a 时，A ＝0
《材料物理性能》习题解答
根据题意可得波函数：
x ⎧
ψ(x ) =A exp[i 2m (E −U ) ]L L x ≤−a ⎪10h ⎪⎪8π2mE 1/28π2mE 1/2⎪
x +B sin() x L L x ≤a ⎨ψ2(x ) =B 1cos(222h h ⎪
⎪x
⎪ψ(x ) =C exp[−i 2m (E −U ) L L x ≥a
0h ⎪⎩3
i 2m (E −U ) 2mE 0
令k =, k =, 则上述波函数可简化为：12h h ⎧ψ(x ) =A exp(k x ) L L x ≤−a
1⎪1
⎪
⎨ψ2(x ) =B 1cos(k 2x ) +B 2sin(k 2x ) ⎪
ψ(x ) =C exp(−k x ) L L x ≥a ⎪1⎩3
由“连续性”可得ψ(−a ) =ψ(−a ), ψ' (a ) =ψ' (a )
1223
⎧A exp(−k 1a ) =B 1cos(k 2a ) −B 2⎪⎪⎪Ak 1exp(−k 1a ) =k 2B 1sin(k 2a ) +⇒⎨
⎪C exp(−k 1a ) =B 1cos(k 2a ) +B 2⎪
−Ck exp(−k a ) =−k B sin(k ⎪11212⎩
由(1) +(2) 得：(A +C ) k 1=2B 1cos(k 2a )......... ......(5) (2) −(4) :k 1(A +C ) =2k 2B 1sin(k 2a )......... ......(6)
由(6) /(5) :k 12(2.......... ...(A )......... ......... 其成立条件为：A +C ≠0且B 1≠0由(3) −(1) 7），(4) +(2) 得到公式(8)
(8) /(7) 2(k 2a )......... .......... ...(B )......... ........ 其成立条件为：A −C ≠0且B 2≠0(A −C =0, B 2=0得出相应的ϕ(x ) (成立，由A +C =0, B 1=0得出相应的ϕ(x )
《材料物理性能》习题解答
1-17求融熔石英的结合强度，设估计的表面能力为1.75J/m2; Si-O 的平衡原子间距为1.6*10-8cm; 弹性模量从60到75Gpa
σth =
E γ(60~75) *109*1. 75
==25. 62~28. 64GPa a 1. 6*10−10
1-18融熔石英玻璃的性能参数为：E=73Gpa ；γ=1.56J/m2；理论强度σth=28Gpa 。如材料中存在最大长度为2μm 的内裂，且此内裂垂直于作用力方向，计算由此导致的强度折减系数。2c=2μm
c=1*10-6m
σc =
2E γ2*73*109*1. 56
==0. 269GPa −6
πc 3. 14*1*10
强度折减系数=1-0.269/28=0.99
1-19K IC
6M c c 1/2235=[1. 93−3. 07(c /w ) +14. 5(c /w ) −07(c /) +25. 8(c /w ) ]2
BW
35/27/29/2
. (c /W ) −37. 6(c /W ) +38. 7(c /W ) ]c /w ) 2−25. 07(c /W ) 3+25. 8(c /w ) 5]235c /w ) +14. 5(c /w ) −25. 07(c /W ) +25. 8(c /w ) ]21. 8(c /W ) 5/2−37. 6(c /W ) 7/2+38. 7(c /W ) 9/2]1-20一陶瓷三点弯曲试件，在受拉面上于跨度中间有一竖向切口如图。如果E=380Gpa ，μ=0.24，求K Ic 值，设极限荷载达50Kg。计算此材料的断裂表面能。解
c/W=0.1,Pc=50*9.8N,B=10,W=10，S=40代入下式：
P c S
[2. 9(c /W ) 1/2−4. 6(c /W ) 3/2+21. 8(c /W ) 5/2−37. 6(c /W ) 7/2+38. 7(c /W ) 9/2]3/2
BW
K IC =
=
50*9. 8*401/23/25/27/29/2
[2. 9*0. 1−4. 6*0. 1+21. 8*0. 1−37. 6*0. 1+38. 7*0. 1]=62*3/2
10*0. 010
《材料物理性能》习题解答
（0.917-0.145+0.069-0.012+0.0012）=1.96*0.83==1.63Pam1/2
K IC =
2E γ1−µ2
2
K IC (1−µ2) γ==(1. 63*106) 2*0. 94/(2*380*109) =3. 28J/m2
2E
1-21一钢板受有长向拉应力350MPa，透缺陷，长8mm(=2c)。此钢材的屈服强度为1400MPa，计算塑性区尺寸缝半长c 的比值。讨论用此试件来求K IC 值的可能性。
K Ι=Y σc =σ. =39.23Mpa.m1/2r 0=
1K Ι2
() =0. 125mm 2πσys
1
=>0.02115π
r 0/c =0. 125/4=0. 031>
用此试件来求K IC 值的不可能。
1-22一陶瓷零件上有一垂直于拉边裂，如边裂长度为：（1）
25MPa
(2)c=0.049mm,σc =0. 818/0. 049*10−3=116. 58MPa c=2um,σc =0. 818/2*10−6=577. 04MPa
《材料物理性能》习题解答
2材料的热学性能
2-1计算室温（298K ）及高温（1273K ）时莫来石瓷的摩尔热容值，并请和按杜龙-伯蒂规律计算的结果比较。
（1）当T=298K，Cp=a+bT+cT-2=87.55+14.96*10-3*298-26.68*105/2982
=87.55+4.46-30.04=61.97*4.18J/mol.K
（2）当T=1273K，Cp=a+bT+cT-2=87.55+14.96*10-3*1293-26.68*1052
=87.55+19.34-1.65
α2-3一热机部件由反应烧结氮化硅制成，其热导率λ=0.184J/(cm.s.℃)，最大厚度=120mm.如果表面热传递系数h=0.05J/(cm2.s.℃),假定形状因子S=1，估算可兹应用的热冲击最大允许温差。∆T m =R ′S ×
10. 31r m h
《材料物理性能》习题解答
=226*0.184==447℃
2-4、系统自由能的增加量∆F =∆E −TS ，又有ln N =ln
1
0. 31*6*0. 05
N !
. 若在肖特基缺陷
(N −n )! n !
中将一个原子从晶格内移到晶体表面的能量E s =0. 48eV , 求在0℃产生的缺陷比例（即
n
）是多少？N
解：∆S =K ln W =K ln[
N !
(N −n )! ⋅n !
T , P =0F 6. 738×10−3−6. 693×10−3==0. 0067=0. 67%−3
6. 693×10
2-6NaCl 和KCl 具有相同的晶体结构，它们在低温下的Debye 温度θD分别为310K 和230K ，KCl 在5K 的定容摩尔热容为3.8*10-2J/(K.mol),试计算NaCl 在5K 和KCl 在2K 的定容摩尔热容。
《材料物理性能》习题解答
根据德拜模型的热容量理论，当温度很低（T →0）时有
12T h
C V ≈π4Nk (3
5θD
23
对于KCl 有，C （2K ）=3×3. 8×10−2=2. 43×10−3J ⋅mol −1⋅K −1
52303h
对于NaCl 有，C （=×3. 8×10−2=1. 55×10−2J ⋅mol −1⋅K −1V 5K ）3
310
h V
2-7证明固体材料的热膨胀系数不因为含均匀分散的气孔而改变。
对于复合材料有V =
∑αK W /ρK W /ρ
i
i
i i
i
i
i
由于空气组分的质量分数W i ≈0，所以气孔不影响V ，也不影响l 。
2-8在一维双原子的点阵中：（1）若m 1/m 2>1, 求证存在关系？
（2）证明在L=π/a ，声频支中所有轻原子m 2m 1
静止，并画出此时原子的振动图像。
（3）若m 1≈m 2
《材料物理性能》习题解答
解：
⎧(m 1ω2−2k e ) A +(2k e cos La ) B =0A 2m 2ω2−2k e
又根据⎨⇒(=22
B m ω−2k e (m ω−2k ) B +(2k cos La ) A =012e e ⎩
πB 20⎧
声学支中：L =±时, (=⇒B =0, m 2静止；⎪m 22a A
−1⎪
⎪m 1⇒⎨
πA 0
⎪光学支中：L =±() 2=⇒A =0, m 1静止。
2a B ⎪1
−1⎪m 2⎩
《材料物理性能》习题解答
(3) ：
2k e 244sin 2La
若m 1≈m 2, ω±=k e [±−]=[(1±cos La )]1/2
22
m 1m 1m 1m 1
⎧ω+=0, 光学支振动频率为0，无光学支；π
当L =±时, cos La =−1⇒⎨
a ⎩ω+≠0, 光学支振动频率不为0，有光学支。
2-9试计算一条合成刚玉晶体Al 2O 3棒在1K 的热导率，它的分子量为102为3mm ，声速500m/s，密度为4000kg/m3，德拜温度为1000K 。
, 求, 其电子热−1⋅s −1⋅K −1
t t t
《材料物理性能》习题解答
3材料的光学性能
3-1．一入射光以较小的入射角i 和折射角r 通过一透明明玻璃板, 若玻璃对光的衰减可忽略不计, 试证明明透过后的光强为(1-m)2
解：n 21=
sin i sin r
W =W’+W’’
W ' ⎛n 21−1⎞
⎟=⎜=m ⎜⎟W ⎝n 21+1⎠
W " W ' ∴=1−=1−m W W
2
其折射光又从玻璃与空气的另一界面射入空气
W " ' W " ' 2
=1−m ∴=(1−m )W " W
3-2光通过一块厚度为1mm 的透明Al 2O 315%，试计算其吸收和散射系数的总和。
则
解:
I =I 0e −(α+s ) x
−1
10%，20%，50%及0. 2−ln 0. 5
∴X 1==7. 2cm , X 2==5. 03cm , X 3==2. 17cm
0. 320. 320. 32−ln 0. 8X 4==0. 697cm
0. 323-4一玻璃对水银灯蓝、绿谱线λ=4358A和5461A 的折射率分别为1.6525和1.6245，
B
用此数据定出柯西Cauchy 近似经验公式n =A +2的常数A 和B ，然后计算对钠
λ
黄线λ=5893A的折射率n 及色散率dn/dλ值。
《材料物理性能》习题解答
解：
n =A +
B λ2
B ⎧
1. 6525=A +⎪⎪43582⎧A =1. 5754
∴⎨⎨6B ⎩B =1. 4643×10⎪1. 6245=A +
⎪54612⎩
1. 4643×106
λ=5893时n =1. 5754+=1. 6176
58932
色散率:=(B λ−2)' =−2B λ−3=−1. 431×10−5
λ
3-5头和胶卷底片的灵敏度将光谱范围限制在3900-6200A 围内视成常数，当色镜把波长在5500A 它去掉百分之几呢？
[瑞利Rayleugh 定律认为：散射光强与λ4成反比]解：
111dx −33∫5500
4
==14. 3%
6200111∫3900λ4dx 39003−62003
6200
10. 01eV
108K 时粒子数之比值N 2/N1:0. 3134, 0. 8905, 0. 9194, 0. 999999884
N 1
2）
N 2=N 1的状态相当于多高的温度N
Q 2=e N 1
3）
−0. 01ev kT
∴当e
−0. 01ev kT
=1时, 所得的T 即为所求
∴T →108
《材料物理性能》习题解答
已知当N 2>N 1时粒子数会反转，所以当e 度来实现粒子反转
−0. 01ev
kT
>1时，求得T
3-7．一光纤的芯子折射率n 1=1.62,包层折射率n 2=1.52,试计算光发生全反射的临界角θc.
解：
⎛n 2⎞−1⎛1. 52⎞o
⎟θc =sin −1⎜=sin =1. 218=69. 8⎜⎟⎜n ⎟
⎝1. 62⎠⎝1⎠
《材料物理性能》习题解答
4材料的电导性能
4-1实验测出离子型电导体的电导率与温度的相关数据，经数学回归分析得出关系式为：
lg σ=A +B
1
T
(1)试求在测量温度范围内的电导活化能表达式。(2)若给定T1=500K，σ1=10-9（Ω. cm ) −1
T2=1000K，σ2=10-6（Ω. cm ) −1
计算电导活化能的值。解：（1）σ=10(A +B /T )
ln σ=(A +B /T ) ln 10
σ=e (A +B /T ) ln 10=e ln 10A e (ln10. B /T ) =A 1) W=−ln 10. B . k
式中k=0. 84*10−4() （2）lg 10−9=lg −6B 1000-4*500=5.94*10-4*500=0.594eV1电导率与氧分压的关系。
（2）在具有阴离子空位TiO 2-x 非化学计量化合物中，其电导率与氧分压的关系。
（3）在具有阳离子空位Fe 1-x O 非化学计量化合物中，其电导率与氧分压的关系。
（4）讨论添加Al 2O 3对NiO 电导率的影响。解：（1）间隙离子型：ZnO ⇔Zn i
••
1
+2e ′+O 2
2
[e ′]∝P O 2
−1/6
《材料物理性能》习题解答
1
或ZnO ⇔Zn i +e ′+O 2
2
•
[e ′]∝P O 2−
1/4
−1/61
[e ′]∝P O 2O 2+Vo ••+2e ′
21″1/6
（3）具有阳离子空位Fe 1-x O ：O 2⇔Oo +V Fe +2h •h •∝P O 2
2
（2）阴离子空位TiO 2-x ：Oo ⇔
[]
（4）添加Al 2O 3对NiO ：
•″
Al 2O 3→2Al N i +V N i +3Oo
添加Al 2O 3对NiO 后形成阳离子空位多，提高了电导率。
4-3电子数n 可近似表示为：
n =N exp(−E g /2kT )
式中N 为状态密度，k 为波尔兹曼常数，T （1）设N=1023cm -3,k=8.6”*10-5eV.K -1时, 2(Eg=3.0eV)在室温（20℃）和500℃时所激发的电子数（cm-3（2）半导体的电导率σ（Ω-1.cm -1σ=ne µ
式中n 为载流子浓度（cm-3），e 1.6*10-19C ）, μ为迁移率（cm 2.V -1.s -1）当电子（e h ）同时为载流子时，
σ=n e e µe +n h h
假定Si （cm 2.V -1.s -1），μh=500（cm 2.V -1.s -1），且不随温20℃）和500℃时的电导率
解：20℃n =1023exp(−1. 1/(2*8. 6*10−5*298)
=1023*e-21.83=3.32*1013cm -3
500℃n =1023exp(−1. 1/(2*8. 6*10−5*773)
=1023*e-8=2.55*1019cm -3
TiO 2
20℃n =1023exp(−3. 0/(2*8. 6*10−5*298)
《材料物理性能》习题解答=1.4*10-3cm -3
500℃n =1023exp(−3. 0/(2*8. 6*10−5*773)
=1.6*1013cm -3
(2)20℃σ=n e e µe +n h e µh
=3.32*1013*1.6*10-19(1450+500)=1.03*10-2（Ω-1.cm -1）500℃σ=n e e µe +n h e µh
=2.55*1019*1.6*10-19(1450+500)
E ∴n =征载流浓度n i =1. 3×10/cm ，求此时该块半导体的多数载流子浓度和少数载流子浓度。
解：
⎧n 0=N D =1. 5×1015/cm 3(多子) ；
⎪
Q n i 〈〈N D ∴⎨n i 293
p ==1. 13×10/cm (少子) 。0⎪N D ⎩
《材料物理性能》习题解答
4-7一硅半导体含有施主杂质浓度N D =9×1015/cm 3，和受主杂质浓度
N A =1. 1*1016/cm 3，求在T=300K时（n i =1. 3×1010/cm 3）的电子空穴浓度以及费米载流了浓度。
解：
Q N D 〈N A , ∴补偿后P 型半导体
又Q N 较少且T 在室温，∴杂质几乎完全电离⎧p =N A −N D =1. 1×1016−9×1015=2×1015/cm 3
⎪⇒⎨n i 2(1. 3×1010) 243
n ===8. 45×10/cm ⎪
15杂质电离90%作为达到强电离的最低标准，试计算保持饱和杂质电离的温度范围。
《材料物理性能》习题解答
解：
N D E −E F
, 当exp(−D >>1时
E D −E F 1k 0T
1+exp(−) 2k 0T
E −E F
n D =2N D exp(−D k 0T
N
杂质饱和电离∴E F =E c +k 0T ln D 代入上式
N c
N N
∴n D ≈2N D (D exp(∆E D /k 0T ), 令D _=2(D ) exp(∆E D /k 0T )
N c N c n D =
∴n D ≈D _N D , D _为未电离的施主杂质占总数的百分比cm 3
/V . s , 当掺入解：
Q 300K 时Si 的n i =1. 3×1010/cm 3
σi =n i q (µn +µp ) =1. 3×1010×1. 6×10−19×(1350+500) =3. 85×10−6Ω−1⋅cm −1又Q 本征Si 的密度N i =5×1022/cm 3, 则n D =5×1016/cm 3
σn ≈n D q µn =5×1016×1. 6×10−19×1350=10. 8Ω−1⋅cm −1
σ
∴n =10. 8/3. 85×10−6=2. 8×106
σi
《材料物理性能》习题解答
4-12在500g 的硅单晶中掺有4.5*10-5g 的硼, 设杂质全部电离, 求该材料的电阻率(设
µP =400cm 2/V . s ), 硅单密度为2. 33g /cm 3, 硼的原子量为10.8).
解：
4. 5×10−5500
Q p ≈N A =×6. 02×1023/(=1. 17×1016/cm 3
10. 82. 3311
∴ρ===1. 34Ω⋅cm 16−19
pq µp 1. 17×10×1. 6×10×400
4-13设电子迁移率为0. 1cm 2/V . S , 硅的电子有效质量m cn =
0. 26m 0, 样品, 设
4-15一截在为10-3cm 2, 掺有杂质浓度N A =1013/cm 3的P 型硅样品, 在样品内加有强度为103V/cm的电场, 求:
(1)室外温时样品的电导率及流过样品的电流密度. (2)400K时样品的电导率及流过样品的电流密度.
《材料物理性能》习题解答
解：
对Si ，m dn （电子有效质量）=0. 26m 0=0. 26×9. 1×10−31kg (1) Q σ=nq µ, µ==10×1. 6×10
19
−19
V 3kT 3kT
, V =∴σ=N A ⋅q ⋅/E E m dn m dn
3×1. 38×10−23×300
/(103⋅102) =3. 65Ω−1⋅m −1
−31
0. 26×9. 1×10
i =σE =N A q
3kT
=3. 65×105A ⋅m −2=36. 5A ⋅cm −2
m dn
(2) 同理，400K 时，σ=4. 12Ω−1⋅m −1
i ==4. 23×105A ⋅m −2=42. 3A ⋅cm −2
4-16分别计算（1）3×1015硼原子/cm3
（2）1. 3×1016硼原子/cm3+1. 0×1016磷原子/cm3
（3）1. 3×1016磷原子/cm3+1. 0×1016硼原子/cm3+1. 0砷原子/cm3解：
(1) Q n i 〈〈n A , ∴p ≈N A =3×1015/cm 3又查得µp =480cm 2⋅V −1⋅s −1
∴ρ=(pq µ) −1=(3×1015×1. −×480) −1=4. 34Ω⋅cm (2) p =N A −N D =1. 3−11016=0. 3×1016/cm 3∴ρ=(pq µ) −1=(0. 3. 10−19×480) −1=4. 34Ω⋅cm (3) n =1. 3×10161−. 0×1016=10. 3×1016/cm 3又Q µn =cm ⋅s −1
∴ρ=(10. 3×1016×1. 6×10−19×1350) −1=0. 045Ω⋅cm
µn ≠µP , 且电子浓度n =ni µP /µn ，空穴浓度p =ni µP /µn 时，σ最小，并求出σmin 的表达式。
（2）试求300K 时，InSb 的最小电导率和最大电导率，什么导电类型的材料电阻率可达最大？（T=300K时，InSb 的
µn =7. 8m 2/V . s , µp =780cm 2/V . s , n i =1. 6×1016/cm 3）。
《材料物理性能》习题解答
解：
(1) 证：Q n i 2=np (由题中n =n i µp /µn , p =n i µn /µp 可知)
n i 2n i 2∴σ=nq µn +pq µp =nq µn +q µp =q µn +pq µp
n p n i 2d σ
令=0⇒q µn −2q µp =0⇒n =n i µp /µn
dn n d σ令=0⇒p =n i µn /µp
dp
d 2σd 2σ
又Q 2〉020. ∴当n =n i µp /µn 及p =n i µn /µp 时，σ设电子时的平均漂−1⋅s
=0. 2488m 2⋅v −1⋅s −1=2488cm 2⋅v −1⋅s −1
d =µn E =2488×104=2. 488×107cm ⋅s −1
《材料物理性能》习题解答
4-19轻掺杂的硅样品在室外温下，外加电压使电子的漂移速度是它的热运动速度的十分之一，一个电子由于漂移而通过1μm区域中的平均碰撞次数和此时加在这
个区域的电压为多少？
解：
113kT 13×1. 381×10−23×30026−1
d =υ热==×10=2. 29×10cm ⋅s ∗
1010m n 100. 26×9. 1×10−31平均自由程=1µm =1. 0×10−4cm
1. 0×10−4−11
平均自由时间τ===4. 363×10s 6
d 2. 29×101
平均碰撞次数P ==2. 29×1010s −1
τ
×10−4V
《材料物理性能》习题解答
5材料的磁学性能
5-1.
垂直板面方向磁化的大薄片性磁性材料，去掉磁化场后的磁极化强度是
J =µ0M =1Wb /m 2，试计算板中心的退磁场大小。解：垂直于板面方向磁化, 则为垂直于磁场方向
J =
μ0M =1Wb/m2
退磁场Hd =-NM
大薄片材料, 退磁因子Na =Nb =0, Nc =1
, .
（2）垂直于轴线方向磁化的细长圆形磁棒；（3）平行平面磁化的无限大薄圆形磁片。解：退磁因子, 无量纲, 与磁体的几何形状有关.
对于旋转椭圆体的三个主轴方向退磁因子之和, 存在下面简单的关系:Na +Nb +Nc=1
(a,b,c分别是旋转椭圆体的三个半主轴, 它们分别与坐标轴x,y,z 方向一致)
, 很容易求得其三种极限情况下的退磁因子:
《材料物理性能》习题解答
1) 球形体:因为其三个等轴, Na =Nb =Nc 2) 细长圆柱体:其为a,b 等轴, 而c>>a,b
∴Na =Nb 而Nc =0
1
Q Na +Nb +Nc =1∴Na =Nb =
2
3) 薄圆板体:b=a>>c∴Na =0Nb =0
Q Na +Nb +Nc =1∴Nc =1
5-4何谓轨道角动量猝灭现象?
由于晶体场导致简并能级分裂, 可能出现最低轨道能级单态. 级轨道时, 总轨道角动量的绝对值L 2虽然保持不变, z 不
.
∴N =
13
::
又Q Tc =Ng 2µB J (J +1) λ/3k B 代入(2)式有
M =M =
T c (B 0+λM )
λT T c B 0(T −T c ) λ
令C ' =
T c λ
《材料物理性能》习题解答
C ' B 0µC '
=0H =χH T −T c T −T c
则得
µC ' C
∴χ=0=
T −T c T −T c
M =
当T ≤T c 时, χT c 时, χ>0为顺磁性
5-6自发磁化的物理本质是什么? 材料具有铁磁性的充要条件是什么?
答:铁磁体自发磁化的本质是电子间的静电交换相互作用材料具有铁磁性的充要条件为:
1) 必要条件:材料原子中具有未充满的电子壳层, 即原子磁矩2) 充分条件:交换积分A >0
5-7超交换作用有哪些类型? 为什么A-B 型的作用最强?
答:具有三种超交换类型:A-A, B-B 和A-B
因为金属分布在A 位和B 位, 且A 位和B 列的.
:两离子之间的距离以及金属离子之间通过氧离子所组成的键角ψi 3d 电子数目及轨道组态.
A-B 型ψ1=125°9’; ψ2=150°A-A 型ψ3=79°38’
B-B 型ψ4=90°; ψ5°2’
因为ψi 越大, , 所以A-B 型的交换作用最强.
5-81) 抗磁性d , χd
2) 顺磁性:χ=
C
,T c 为临界温度, 成为顺磁居里温度,T>Tc 时显顺磁性T −T c
《材料物理性能》
习题解答
3)
反铁磁性:当温度达到某个临界值T N 以上, 服从居里
-外斯定律
4) 铁磁性:χf >0,T
,
外斯定律
5)
亚铁磁性:5-9比较铁磁体中五种能量的下列关系:（1）数学表达式；（2）来源和物理意义（3）对磁矩取向的作用。
《材料物理性能》习题解答
答:铁磁材料的五种相互作用能分别为:交换能F ex , 磁晶各向异性能F x , 磁弹性能F σ,退磁场能F d 和外磁场能F H
相邻原子电子自旋的单位体积内的交换能
E ex εAS 2
[F ex ==(∇α1) 2+(∇α2) 2+(∇α3) 2]V a
A>0时,电子自旋不平行,则会引起系统交换能的增加,F ex >0,只有当不考虑
自旋轨道耦合时, 交换能F ex 是各向同性的.
磁晶各向异性能F x , 是饱和磁化强度矢量在铁磁材料中取不同方向时随时间而改变的能量, 仅与磁化强度矢量在晶体中的相对晶轴的取向有关
M s 1M s
⎞F x =⎛⎜∫0[111]HdM −∫0[100HdM ⎟]⎝⎠V
. 这种原子或离子的自旋与轨道的耦合作用, 发生变化, 出现所谓的磁致伸缩
σ,包括由于F H =−µ0HM s =−µ0M s H cos 磁荷,从而产生减弱外磁场的磁场H d M M F d =−µ0∫H d dM =µ0∫005-10立方晶体铁磁材料的
M s =. 71106A /m , A =2. 16×10−21J , a =2. 26×10−10m , K 1=4. 2×104J /m 3，计算其单畴的临界尺寸。
解：单位面积的畴壁能量γ=2πS
104
磁畴宽度D =
M s
k 1A
=3. 98×10−3J /m 2a
S 为自旋量子数=1
γL
=8. 95×10−6m 17. 0
L=10-2m
《材料物理性能》习题解答
5-12设铁磁材料的内应力分布为σ=σ0sin 解：此题通过内应力分布为σ=σ0sin 程为µ0M s H =
2πx
，试计算弱磁场下材料的磁导率。l
2πx
，可见为90°畴壁位移，其为位移磁方l
3
λs σ，当外磁场变化∆H ，畴壁位移∆x 2
3∂σλs ∆x 2∂x
平衡时µM
∴∆x =0s ∆H
λs 2∂x
µ0M s ∇H =
此时沿外磁场方向上磁矩将增加∆µ
H =M s S ⊥∆x (S ⊥∴χi −90=µr −1∴µr =χi −90
2
4µ0M s
+1=+1=µ/µ0
3πλs σ0
2
2
4µ0M s +3πµ0λs σ0
∴µ=
3πλs σ0
5-13. 证明复数磁导率=µ′−i µ′′中，µ′和µ′′与频率ϖ的关系为半圆形.
《材料物理性能》习题解答
证明:用单弛豫来描述, 磁场为交变磁场强度H =H m e i ωt 作用下
磁感应强度为B =B m e i (ωt −δc )
dB 1
=(B m −B ) =i ωB dt τ
B 1
∴(i ω+) B =m
ττ
Q B m =µ0µi H =µ0µi H m e i ωt ∴
µ0µi H m e i ωt µ0µi (1−i ωτ) H m e i ωt
B ==
1+i ωτ1+(ωτ) 2
由B =
µ0µH =µ0(µ' −i µ' ' ) H m e i ωt
5-15．讨论动态磁化过程中，磁损耗与频率的关系。
1）低频区域（f
《材料物理性能》习题解答
是由于不可逆磁化过程产生的磁滞和磁化状态滞后于磁场变化的磁后效；2）中频区域（f =104---106Hz ）, 损耗µ' ' 会出现峰值；
3）高频区域（f =106—108Hz ）, µ' 急剧下降，损耗µ' ' 迅速增加。交变磁场的频
率与畴壁振动的本征频率或弛豫频率相同时，发生畴壁共振或畴壁弛豫而吸收大量引起损耗增大
4）超高频区域（f =108—1010Hz ）µ' 继续下降，µ' -1可能出现负值，而µ' ' 出现自然共振引起的峰值，这是由于外加磁场频率与磁矩进动固有频率相等时产生共振现象引起的；
5）极高频区域（f >1010Hz ）对应为自然交换共振区域。
《材料物理性能》习题解答
6材料的功能转换性能
6-1金红石（TiO 2）的介电常数是100，求气孔率为10%的一块金红石陶瓷介质的介电常数。
解：
εm =100, χm =0. 9; ε气=εd =1, χ气=χd =0. 1
2ε
χm εm (+d ) +χd εd 0. 9×100×(2+1) +0. 1×1
33εm 3300ε===85. 92
212d
0. 9(+) +0. 1χm (+) +χd
tg δ为0.02。
−1
F ⋅m
℃烧成并，估算玻璃6-4如果A 原子的原子半径为B 的两倍，那么在其它条件都是相同的情况下，原子A 的电子极化率大约是B 的多少倍？
解：
Q 电子极化率αe =4πε0R 3∝R 3, R A =2R B ⇒αe , A =8αe , B
6-5为什么碳化硅的电容光焕发率与其折射率的平方n 2相等
《材料物理性能》习题解答
解：
麦克斯韦电磁场理论V =折射率n =
C , C
∴n =εµV
由于SiC 属于非铁磁性物质∴µ＝1∴n =ε, n 2=ε