军教院 第八章空间解析几何测试题
一、填空题（共7题，2分/空，共20分）
1. 四点O (0,0,0), A (1,0,0), B (0,1,1), C (0,0,1)组成的四面体的体积是___6___. 2. 已知向量a =(1,1,1), b =(1, 2, 3) , c =(0,0,1), 则(a ⨯b ) ⨯c =__(-2,-1,0)____.
→
1
→→→→→
⎧x =y 3. 点(1, 0, 1) 到直线⎨的距离是
3x -z =0⎩4. 点(1, 0, 2) 到平面3x +y +2z =1的距离是
___________. ⎧x 2+y 2-z =0
5. 曲线C:⎨对xoy 坐标面的射影柱面是___x 2-x +y 2-1=0____,
⎩z =x +1
对yoz 坐标面的射影柱面是__(z -1) 2+y 2-z =0_________,对xoz 坐标面的射影柱面是____z -x -1=0__________.
⎧x 2=2y
6. 曲线C:⎨绕x 轴旋转后产生的曲面方程是__x 4=4(y 2+z 2) _____，曲线
⎩z =0
C 绕y 轴旋转后产生的曲面方程是___x 2+z 2=2y _______________.
x 2y 2z 2
7. 椭球面++=1的体积是_____40π____________.
9425
二、计算题（共4题, 第1题10分, 第2题15分, 第3题20分, 第4题10分, 共55分）
1. 过点P (a , b , c ) 作3个坐标平面的射影点, 求过这3个射影点的平面方程. 这里
a , b , c 是3个非零实数.
解: 设点P (a , b , c ) 在平面z =0上的射影点为M 1(a , b ,0) ，在平面x =0上的射影
点为M 2(0,a , b ) ，在平面y =0上的射影点为M 3(a ,0, c ) ，则M 1M 2=(-a ,0, c ) ，
M 1M 3=(0,-b , c )
x -a
于是M 1，M 1M 2，M 1M 3所确定的平面方程是-a
y -b 0-b
z c =0 c
即 bc (x -a ) +ac (y -b ) +abz =0 .
⎧x +y =0⎧x -y =0
2. 已知空间两条直线l 1:⎨, l 2:⎨.
z +1=0z -1=0⎩⎩
(1)证明l 1和l 2是异面直线;(2)求l 1和l 2间的距离;(3)求公垂线方程. 证明：(1) l 1的标准方程是
v 1={1, -1,0} l 2的标准方程是
x y z -2
==，l 2经过点M 2(0,0,2)，方向向量v 2={1,1,0}，于110
x y z +1
==，l 1经过点M 1(0,0,-1) ，方向向量1-10
是
003
(M 1M 2, v 1, v 2) =1-10=6≠0，所以l 1和l 2是异面直线。
110
(2) 由于v 1⨯v 2=(0,0,2)，v 1⨯v 2=2
l 1和l 2间的距离d =
(M 1M 2, v 1, v 2)
v 1⨯v 2
=
6
=3 2
⎧x y z +1⎪
⎪1-10=0⎪2⎪00
(3)公垂线方程是⎨，即
⎪x y z -2⎪110=0⎪
2⎪⎩00
⎧x +y =0
。 ⎨
x -y =0⎩
⎧x 2=2y
3. 求曲线⎨绕x 轴旋转产生的曲面方面.
z =1⎩
⎧x 2=2y
解：设M 1(x 1, y 1, z 1) 是母线⎨上任意一点, 则过M 1(x 1, y 1, z 1) 的纬圆方程是
⎩z =1
⎧x 2+y 2+z 2=x 12+y 12+z 12
，（1） ⎨
x -x 1=0⎩
⎧x 12=2y 1
又⎨ ，（2）
z =1⎩1
由（1）（2）消去x 1, y 1, z 1得到x 2-2y 2-2z 2+2=0.
x 2y 2z 2
4. 已知单叶双曲面+-=1, P (2, 0, 0) 为腰椭圆上的点,
4925
(1)求经过点P 两条直母线方程及其夹角;
(2)求这两条直母线所在的平面π的方程及平面π与腰椭圆所在平面的夹角.
y ⎧x z
w (+) =u (1+) ⎪⎪253
解：(1)设单叶双曲面两直母线方程是⎨与
x z y ⎪u (-) =w (1-) ⎪3⎩25y ⎧x z
t (+) =v (1-) ⎪⎪253
⎨
⎪v (x -z ) =t (1+y ) ⎪3⎩25
把点P (2, 0, 0) 分别代入上面两方程组，求得w =u , t =v 代入直母线方程，
y ⎧x z ⎧x z
+=1++=1-⎪⎪⎪25⎪253
得到过点P (2, 0, 0) 的两条直母线⎨与⎨
⎪x -z =1-y ⎪x -z =1+⎪⎪3⎩25⎩25y
3
，即y 3
⎧15x -10y +6z -30=0
与 ⎨
15x +10y -6z -30=0⎩
⎧15x +10y +6z -30=0
⎨
⎩15x -10y -6z -30=0
两直母线的方向向量可分别取v 1=(0,3,5)和v 2=(0,3,-5) ，设两直母线的夹角是θ，则有cos θ=
v 1⋅v 2-88
，θ=π-arccos . =
17v 1v 217
x -2y z
（2）两直母线所在平面π的方程是
0035=0，即x =2 3-5
显然平面π与腰椭圆所在的平面的夹角是0.
四、证明题(共2题, 第一题10分, 第二题15分, 共25分)
t t 2t 3
1. 求证:曲线r (t ) =(, , ) 在一个球面上, 这里的
1+t +t 21+t +t 21+t +t 2
→
t ∈(-∞, ∞) .
11
证明:设r (t ) =(x , y , z ) ，则有x 2+y 2+z 2=y ，即x 2+(y -) 2+z 2=
24
t t 2t 311(0,,0) 所以曲线r (t ) =(在球心为, 半径为的球, , )
221+t +t 21+t +t 21+t +t 2
→
面上。
2. 证明:(1)双曲抛物面的同族的所有直母线都平行于同一平面:
(2)双曲抛物面的同族的两条直母线异面.
证明: (1) 双曲抛物面的u 族直母线中任一条直母线都平行于平面x y
+=0, a b
x y
v 族直母线中任一条直母线都平行于平面-=0,
a b
因而结论成立.---------5分
(2)不妨取u 族直母线来证明，任取u 族直母线中两条直母线
⎧x y ⎧x y
+=2u 1⎪a b ⎪a +b =2u 2
①和 l 2：⎨② l 1：⎨
x y x y ⎪u 1(-) =z ⎪u 2(-) =z ⎩a b ⎩a b 其中u 1≠u 2. 由于①的第一个方程表示的平面平行于②的第一个方程表示的平面, 即l 1和l 2在两个平行平面上, 因而l 1和l 2不会相交.
u u 11112u 又由于直线l 1的方向向量为v 1=(, , 0) ⨯(1, -1, -1) =(-, , -1)
a b a b b a ab u u 11112u
直线l 2的方向向量为v 2=(, , 0) ⨯(2, -2, -1) =(-, , -2)
a b a b b a ab
由于u 1 u 2, 因此l 1和l 2不会平行, 从而证明了双曲抛物面的同族的两条直母线异面.
军教院 第八章空间解析几何测试题
一、填空题（共7题，2分/空，共20分）
1. 四点O (0,0,0), A (1,0,0), B (0,1,1), C (0,0,1)组成的四面体的体积是___6___. 2. 已知向量a =(1,1,1), b =(1, 2, 3) , c =(0,0,1), 则(a ⨯b ) ⨯c =__(-2,-1,0)____.
→
1
→→→→→
⎧x =y 3. 点(1, 0, 1) 到直线⎨的距离是
3x -z =0⎩4. 点(1, 0, 2) 到平面3x +y +2z =1的距离是
___________. ⎧x 2+y 2-z =0
5. 曲线C:⎨对xoy 坐标面的射影柱面是___x 2-x +y 2-1=0____,
⎩z =x +1
对yoz 坐标面的射影柱面是__(z -1) 2+y 2-z =0_________,对xoz 坐标面的射影柱面是____z -x -1=0__________.
⎧x 2=2y
6. 曲线C:⎨绕x 轴旋转后产生的曲面方程是__x 4=4(y 2+z 2) _____，曲线
⎩z =0
C 绕y 轴旋转后产生的曲面方程是___x 2+z 2=2y _______________.
x 2y 2z 2
7. 椭球面++=1的体积是_____40π____________.
9425
二、计算题（共4题, 第1题10分, 第2题15分, 第3题20分, 第4题10分, 共55分）
1. 过点P (a , b , c ) 作3个坐标平面的射影点, 求过这3个射影点的平面方程. 这里
a , b , c 是3个非零实数.
解: 设点P (a , b , c ) 在平面z =0上的射影点为M 1(a , b ,0) ，在平面x =0上的射影
点为M 2(0,a , b ) ，在平面y =0上的射影点为M 3(a ,0, c ) ，则M 1M 2=(-a ,0, c ) ，
M 1M 3=(0,-b , c )
x -a
于是M 1，M 1M 2，M 1M 3所确定的平面方程是-a
y -b 0-b
z c =0 c
即 bc (x -a ) +ac (y -b ) +abz =0 .
⎧x +y =0⎧x -y =0
2. 已知空间两条直线l 1:⎨, l 2:⎨.
z +1=0z -1=0⎩⎩
(1)证明l 1和l 2是异面直线;(2)求l 1和l 2间的距离;(3)求公垂线方程. 证明：(1) l 1的标准方程是
v 1={1, -1,0} l 2的标准方程是
x y z -2
==，l 2经过点M 2(0,0,2)，方向向量v 2={1,1,0}，于110
x y z +1
==，l 1经过点M 1(0,0,-1) ，方向向量1-10
是
003
(M 1M 2, v 1, v 2) =1-10=6≠0，所以l 1和l 2是异面直线。
110
(2) 由于v 1⨯v 2=(0,0,2)，v 1⨯v 2=2
l 1和l 2间的距离d =
(M 1M 2, v 1, v 2)
v 1⨯v 2
=
6
=3 2
⎧x y z +1⎪
⎪1-10=0⎪2⎪00
(3)公垂线方程是⎨，即
⎪x y z -2⎪110=0⎪
2⎪⎩00
⎧x +y =0
。 ⎨
x -y =0⎩
⎧x 2=2y
3. 求曲线⎨绕x 轴旋转产生的曲面方面.
z =1⎩
⎧x 2=2y
解：设M 1(x 1, y 1, z 1) 是母线⎨上任意一点, 则过M 1(x 1, y 1, z 1) 的纬圆方程是
⎩z =1
⎧x 2+y 2+z 2=x 12+y 12+z 12
，（1） ⎨
x -x 1=0⎩
⎧x 12=2y 1
又⎨ ，（2）
z =1⎩1
由（1）（2）消去x 1, y 1, z 1得到x 2-2y 2-2z 2+2=0.
x 2y 2z 2
4. 已知单叶双曲面+-=1, P (2, 0, 0) 为腰椭圆上的点,
4925
(1)求经过点P 两条直母线方程及其夹角;
(2)求这两条直母线所在的平面π的方程及平面π与腰椭圆所在平面的夹角.
y ⎧x z
w (+) =u (1+) ⎪⎪253
解：(1)设单叶双曲面两直母线方程是⎨与
x z y ⎪u (-) =w (1-) ⎪3⎩25y ⎧x z
t (+) =v (1-) ⎪⎪253
⎨
⎪v (x -z ) =t (1+y ) ⎪3⎩25
把点P (2, 0, 0) 分别代入上面两方程组，求得w =u , t =v 代入直母线方程，
y ⎧x z ⎧x z
+=1++=1-⎪⎪⎪25⎪253
得到过点P (2, 0, 0) 的两条直母线⎨与⎨
⎪x -z =1-y ⎪x -z =1+⎪⎪3⎩25⎩25y
3
，即y 3
⎧15x -10y +6z -30=0
与 ⎨
15x +10y -6z -30=0⎩
⎧15x +10y +6z -30=0
⎨
⎩15x -10y -6z -30=0
两直母线的方向向量可分别取v 1=(0,3,5)和v 2=(0,3,-5) ，设两直母线的夹角是θ，则有cos θ=
v 1⋅v 2-88
，θ=π-arccos . =
17v 1v 217
x -2y z
（2）两直母线所在平面π的方程是
0035=0，即x =2 3-5
显然平面π与腰椭圆所在的平面的夹角是0.
四、证明题(共2题, 第一题10分, 第二题15分, 共25分)
t t 2t 3
1. 求证:曲线r (t ) =(, , ) 在一个球面上, 这里的
1+t +t 21+t +t 21+t +t 2
→
t ∈(-∞, ∞) .
11
证明:设r (t ) =(x , y , z ) ，则有x 2+y 2+z 2=y ，即x 2+(y -) 2+z 2=
24
t t 2t 311(0,,0) 所以曲线r (t ) =(在球心为, 半径为的球, , )
221+t +t 21+t +t 21+t +t 2
→
面上。
2. 证明:(1)双曲抛物面的同族的所有直母线都平行于同一平面:
(2)双曲抛物面的同族的两条直母线异面.
证明: (1) 双曲抛物面的u 族直母线中任一条直母线都平行于平面x y
+=0, a b
x y
v 族直母线中任一条直母线都平行于平面-=0,
a b
因而结论成立.---------5分
(2)不妨取u 族直母线来证明，任取u 族直母线中两条直母线
⎧x y ⎧x y
+=2u 1⎪a b ⎪a +b =2u 2
①和 l 2：⎨② l 1：⎨
x y x y ⎪u 1(-) =z ⎪u 2(-) =z ⎩a b ⎩a b 其中u 1≠u 2. 由于①的第一个方程表示的平面平行于②的第一个方程表示的平面, 即l 1和l 2在两个平行平面上, 因而l 1和l 2不会相交.
u u 11112u 又由于直线l 1的方向向量为v 1=(, , 0) ⨯(1, -1, -1) =(-, , -1)
a b a b b a ab u u 11112u
直线l 2的方向向量为v 2=(, , 0) ⨯(2, -2, -1) =(-, , -2)
a b a b b a ab
由于u 1 u 2, 因此l 1和l 2不会平行, 从而证明了双曲抛物面的同族的两条直母线异面.