正弦定理的证明与使用的教学案例
在课堂教学中，应使学生在学习中成为提出问题和解决问题的主体，使教学过程成为学生主动获取知识、发展能力、体验数学的过程。“正弦定理”是初中“解直角三角形”内容的直接延伸，也是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体运用，是解可转化为三角形计算问题的其它数学问题及生产、生活实际问题的重要工具，因此具有广泛的应用价值。 本次课的主要任务是引入并证明正弦定理.
一、教学设计
1、创设一个现实问题情境作为提出问题的背景；
2、启发、引导学生提出自己关心的现实问题，逐步将现实问题转化、抽象成过渡性数学问题，解决过渡性问题时需要使用正弦定理，借此引发学生的认知冲突，揭示解斜三角形的必要性，并使学生产生进一步探索解决问题的动机。然后引导学生抓住问题的数学实质，将过渡性问题引伸成一般的数学问题：已知三角形的两条边和一边的对角，求另一边的对角及第三边。解决这两个问题需要先回答目标问题：在三角形中，两边与它们的对角之间有怎样的关系？
3、为了解决提出的目标问题，引导学生回到他们所熟悉的直角三角形中，得出目标问题在直角三角形中的解，从而形成猜想，然后引导学生对猜想进行验证。
二、教学过程
1、设置情境
如图1，一条河的两岸平行，河宽d=1km，因上游突发洪水，在洪峰到来之前，急需将码头A 处囤积的重要物资及人员用船转运到正对岸的码头B 处或其下游1 km的码头C 处。已知船在静水中的速度∣v l ∣= 5 km∕h ，水流速度∣v 2∣=3 km∕h 。
B C
A
图1
2、提出问题
师：为了确定转运方案，请同学们设身处地地考虑一下有关的问题，将各自的问题经整理后交给我。
待各小组将题纸交给老师后，老师筛选几张有代表性的题纸全班展示，经大家归纳整理后得到如下的5个问题：
(l)船应开往B 处还是C 处？
(2)船从A 开到B 、C 分别需要多少时间？
(3)船从A 到B 、C 的距离分别是多少？
(4)船从A 到B 、C 时的速度大小分别是多少？
(5)船应向什么方向开，才能保证沿直线到达B 、C ？
师：大家讨论一下，应该怎样解决上述问题？
大家经过讨论达成如下共识：要回答问题(l)，需要解决问题(2)，要解决问题(2)，需要先解决问题(3)和(4)，问题(3)用直角三角形知识可解，所以重点是解决问题(4)，问题(4)与问题(5)是两个相关问题，因此，解决上述问题的关键是解决问题(4)和(5)。
师：请同学们根据平行四边形法则，先在练习本上做出与问题对应的示意图，明确已知什么，要求什么，怎样求解。
生：船从A 开往B 的情况如图2，根据平行四边形的性质及解直角三角形的知识，可求得船在河水中的速度大小∣v ∣及v l 与v 2的夹角θ：
生：船从A 开往C 的情况如图3，∣AD ∣=∣v 1∣= 5，∣DE ∣=∣AF ∣=∣v 2∣=3，易求得∠AED = ∠EAF = 450，还需求θ及v 。我不知道怎样解这两个问题，因为以前从未解过类似的问题。
2 2 图2 图3
师：请大家想一下，这两个问题的数学实质是什么？
部分学生：在三角形中，已知两边和其中一边的对角，求另一边
的对角和第三边。
师：请大家讨论一下，如何解决这两个问题？
生：在已知条件下，若能知道三角形中两条边与其对角这4个元素之间的数量关系，则可以解决上述问题，求出另一边的对角。 生：如果另一边的对角已经求出，那么第三个角也能够求出。只要能知道三角形中两条边与其对角这4个元素的数量关系，则第三边也可求出。
生：在已知条件下，如果能知道三角形中三条边和一个角这4个元素之间的数量关系，也能求出第三边和另一边的对角。
师：同学们的设想很好，只要能知道三角形中两边与它们的对角间的数量关系，或者三条边与一个角间的数量关系，则两个问题都能够顺利解决。下面我们先来解答问题：三角形中，任意两边与其对角之间有怎样的数量关系？
3、解决问题
师：请同学们想一想，我们以前遇到这种一般问题时，是怎样处理的？
众学生：先从特殊事例入手，寻求答案或发现解法。直角三角形是三角形的特例，可以先在直角三角形中试探一下。
师：请各小组研究在Rt △ABC 中，任意两边及其对角这4个元素间有什么关系？
多数小组很快得出结论：a ／sinA = b／sinB = c／sinC 。
师：a ／sinA = b／sinB = c／sinC 在非Rt △ABc 中是否成立？ 众学生：不一定，可以先用具体例子检验。若有一个不成立，则否定结论；若都成立，则说明这个结论很可能成立，再想办法进行严格的证明。
师：这是个好主意。请每个小组任意做出一个非Rt △ABC ，用量角器和刻度尺量出各边的长和各角的大小，用计算器作为计算工具，具体检验一下，然后报告检验结果。
几分钟后，多数小组报告结论成立，只有一个小组因测量和计算误差，得出否定的结论。教师在引导学生找出失误的原因后指出：此关系式在任意△ABC 中都能成立，请大家先考虑一下证明思路。
生：想法将问题转化成直角三角形中的问题进行解决。
生：因为要证明的是一个等式，所以应先找到一个可以作为证明基础的等量关系。
师：在三角形中有哪些可以作为证明基础的等量关系呢？
学生七嘴八舌地说出一些等量关系，经讨论后确定如下一些与直角三角形有关的等量关系可能有利用价值：1、三角形的面积不变；2、三角形同一边上的高不变；3、三角形外接圆直径不变。
师：据我所知，从AC+CB=AB出发，也能证得结论，请大家讨论一下。
生：要想办法将向量关系转化成数量关系。
生：利用向量的数量积运算可将向量关系转化成数量关系。 生：还要想办法将有三个项的关系式转化成两个项的关系式。 生：因为两个垂直向量的数量积为0，可考虑选一个与三个向量中的一个向量(如向量AC) 垂直的向量与向量等式的两边分别作数量积。 师：同学们通过自己的努力，发现并证明了正弦定理。正弦定理揭示了三角形中任意两边与其对角的关系，请大家留意身边的事例，正弦定理能够解决哪些问题。
三、教学总结
在本课的教学中，教师立足于所创设的情境，通过学生自主探索、合作交流，亲身经历了提出问题、解决问题、应用反思的过程，学生成为正弦定理的“发现者”和“创造者”，切身感受了创造的苦和乐，知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实。教师还要积极
引导学生对所提的问题进行分析、整理，筛选出有价值的问题，注意启发学生揭示问题的数学实质，将提问引向深入。
关于重要不等式a 2+b 2≥2ab 证明及探究的教学案例
教学过程是师生交往，共同发展的互动过程，学生是问题的探究者，目标的实施者和成功的体验者。教师在课堂上给学生提供探究的空间，使学生在充满快乐的氛围中感受数学的美，激发学生的热情。本节课就是根据不等式a 2+b 2≥2ab 的证明与应用进行延伸扩展的。
一. 教学设计.
1. 思维是从问题开始的，一个好的问题能使思维得以产生，维持和深入。所以本课的开始是以不等式的证明这个问题入手。
2. 通过证明鼓励学生大胆猜想，发表自己的意见，将不等式进行延伸。
3. 将学生的结论与证明进行总结补充。
二. 教学过程.
1. 提出问题 ：如果a , b ∈R 那（当且仅当a =b 时取“=”）
师：这是一个重要的不等式，条件少，结论简单，但有广泛的应
用，那么如何来证明该不等式？
2. 解决问题：
请同学们进行思考，可以几个同学一起讨论，最后老师将同学的证明方法收集进行分类。总结如下：
2（1） 因为(a -b )≥0，所以不等式成立。
2a 2+b 2-2ab =(a -b )≥0。所以不等式成立。 （2）
2（3） 假设a 2+b 2 2ab ⇒(a -b ) 0矛盾，所以不等式成立。
（4） 欲证a 2+b 2≥2ab 只需证a 2+b 2-2ab ≥0成立。
师：同学们使用了不等式证明中各种方法，比较全面，比较好，想一想是否可以用其他知识来证明？
学生：把a 2+b 2≥2ab 转化为+≥2设=x 所以有f (x )=x +，将其转化为函数的最值来证明。
师：很精彩，与函数相联系，但有一点大家要注意，是哪一点？ 生：只有a , b 同号可用此函数，
师：非常好，那么异号是否成立？
所有学生：成立，不等式两端一正一负。
3. 问题的探究：
师：我们已经用很多种方法证明了这个基本不等式成立，当然还有很多的证法，如三角函数法，构造图形法等，用兴趣的同学课外可以常试一下，下面我们来看一下有此不等式有哪些变式，请同学自己推倒并证明一下。
几分钟后，有几名同学分别发言，老师总结出一些常用的变式写在黑板上。
a +b a 2
+≥a , b ∈R ) （2） ≥2a -b (b ∈+R （1
）) 2b a b b a a b 1x
（3）a 2112++≥-ab ∈R a +≥2a ∈R （4） ()()2b b a a
师：这些都是很重要的不等式，有着广泛的应用，平时做题可以常试着运。那么我们能否对a 2+b 2≥2ab 进行推广？
4. 问题的推广：
（1）a 3+b 3≥a 2b +ab 2(a , b ∈R +)（2）a 2+b 2+c 3≥ab +bc +ac
（3）a 3+b 3+c 3≥3abc (a , b , c ∈R +)
师：通过对不等式a 2+b 2≥2ab 的证明，同学们能否得出以上不等式也是成立的？
同学们进行自己证明，最后得出以上结论成立，请部分同学说明自己的证明方法，教师进行板书，并 进行补充和指导。
师：通过猜想，验证，证明得到很多不等式的成立，今天在课堂上同学们学到了课本以外的很多知识。
三. 教学总结。
课堂上应提倡师生平等，教学相长，创造民主气氛，才能是学生释放出巨大的创新潜能，教师应转变观点，作为课堂教学的设计者，应积极鼓励学生大胆猜想，发表自己的意见，为培养探究精神提供一个良好的环境。
正弦定理的证明与使用的教学案例
在课堂教学中，应使学生在学习中成为提出问题和解决问题的主体，使教学过程成为学生主动获取知识、发展能力、体验数学的过程。“正弦定理”是初中“解直角三角形”内容的直接延伸，也是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体运用，是解可转化为三角形计算问题的其它数学问题及生产、生活实际问题的重要工具，因此具有广泛的应用价值。 本次课的主要任务是引入并证明正弦定理.
一、教学设计
1、创设一个现实问题情境作为提出问题的背景；
2、启发、引导学生提出自己关心的现实问题，逐步将现实问题转化、抽象成过渡性数学问题，解决过渡性问题时需要使用正弦定理，借此引发学生的认知冲突，揭示解斜三角形的必要性，并使学生产生进一步探索解决问题的动机。然后引导学生抓住问题的数学实质，将过渡性问题引伸成一般的数学问题：已知三角形的两条边和一边的对角，求另一边的对角及第三边。解决这两个问题需要先回答目标问题：在三角形中，两边与它们的对角之间有怎样的关系？
3、为了解决提出的目标问题，引导学生回到他们所熟悉的直角三角形中，得出目标问题在直角三角形中的解，从而形成猜想，然后引导学生对猜想进行验证。
二、教学过程
1、设置情境
如图1，一条河的两岸平行，河宽d=1km，因上游突发洪水，在洪峰到来之前，急需将码头A 处囤积的重要物资及人员用船转运到正对岸的码头B 处或其下游1 km的码头C 处。已知船在静水中的速度∣v l ∣= 5 km∕h ，水流速度∣v 2∣=3 km∕h 。
B C
A
图1
2、提出问题
师：为了确定转运方案，请同学们设身处地地考虑一下有关的问题，将各自的问题经整理后交给我。
待各小组将题纸交给老师后，老师筛选几张有代表性的题纸全班展示，经大家归纳整理后得到如下的5个问题：
(l)船应开往B 处还是C 处？
(2)船从A 开到B 、C 分别需要多少时间？
(3)船从A 到B 、C 的距离分别是多少？
(4)船从A 到B 、C 时的速度大小分别是多少？
(5)船应向什么方向开，才能保证沿直线到达B 、C ？
师：大家讨论一下，应该怎样解决上述问题？
大家经过讨论达成如下共识：要回答问题(l)，需要解决问题(2)，要解决问题(2)，需要先解决问题(3)和(4)，问题(3)用直角三角形知识可解，所以重点是解决问题(4)，问题(4)与问题(5)是两个相关问题，因此，解决上述问题的关键是解决问题(4)和(5)。
师：请同学们根据平行四边形法则，先在练习本上做出与问题对应的示意图，明确已知什么，要求什么，怎样求解。
生：船从A 开往B 的情况如图2，根据平行四边形的性质及解直角三角形的知识，可求得船在河水中的速度大小∣v ∣及v l 与v 2的夹角θ：
生：船从A 开往C 的情况如图3，∣AD ∣=∣v 1∣= 5，∣DE ∣=∣AF ∣=∣v 2∣=3，易求得∠AED = ∠EAF = 450，还需求θ及v 。我不知道怎样解这两个问题，因为以前从未解过类似的问题。
2 2 图2 图3
师：请大家想一下，这两个问题的数学实质是什么？
部分学生：在三角形中，已知两边和其中一边的对角，求另一边
的对角和第三边。
师：请大家讨论一下，如何解决这两个问题？
生：在已知条件下，若能知道三角形中两条边与其对角这4个元素之间的数量关系，则可以解决上述问题，求出另一边的对角。 生：如果另一边的对角已经求出，那么第三个角也能够求出。只要能知道三角形中两条边与其对角这4个元素的数量关系，则第三边也可求出。
生：在已知条件下，如果能知道三角形中三条边和一个角这4个元素之间的数量关系，也能求出第三边和另一边的对角。
师：同学们的设想很好，只要能知道三角形中两边与它们的对角间的数量关系，或者三条边与一个角间的数量关系，则两个问题都能够顺利解决。下面我们先来解答问题：三角形中，任意两边与其对角之间有怎样的数量关系？
3、解决问题
师：请同学们想一想，我们以前遇到这种一般问题时，是怎样处理的？
众学生：先从特殊事例入手，寻求答案或发现解法。直角三角形是三角形的特例，可以先在直角三角形中试探一下。
师：请各小组研究在Rt △ABC 中，任意两边及其对角这4个元素间有什么关系？
多数小组很快得出结论：a ／sinA = b／sinB = c／sinC 。
师：a ／sinA = b／sinB = c／sinC 在非Rt △ABc 中是否成立？ 众学生：不一定，可以先用具体例子检验。若有一个不成立，则否定结论；若都成立，则说明这个结论很可能成立，再想办法进行严格的证明。
师：这是个好主意。请每个小组任意做出一个非Rt △ABC ，用量角器和刻度尺量出各边的长和各角的大小，用计算器作为计算工具，具体检验一下，然后报告检验结果。
几分钟后，多数小组报告结论成立，只有一个小组因测量和计算误差，得出否定的结论。教师在引导学生找出失误的原因后指出：此关系式在任意△ABC 中都能成立，请大家先考虑一下证明思路。
生：想法将问题转化成直角三角形中的问题进行解决。
生：因为要证明的是一个等式，所以应先找到一个可以作为证明基础的等量关系。
师：在三角形中有哪些可以作为证明基础的等量关系呢？
学生七嘴八舌地说出一些等量关系，经讨论后确定如下一些与直角三角形有关的等量关系可能有利用价值：1、三角形的面积不变；2、三角形同一边上的高不变；3、三角形外接圆直径不变。
师：据我所知，从AC+CB=AB出发，也能证得结论，请大家讨论一下。
生：要想办法将向量关系转化成数量关系。
生：利用向量的数量积运算可将向量关系转化成数量关系。 生：还要想办法将有三个项的关系式转化成两个项的关系式。 生：因为两个垂直向量的数量积为0，可考虑选一个与三个向量中的一个向量(如向量AC) 垂直的向量与向量等式的两边分别作数量积。 师：同学们通过自己的努力，发现并证明了正弦定理。正弦定理揭示了三角形中任意两边与其对角的关系，请大家留意身边的事例，正弦定理能够解决哪些问题。
三、教学总结
在本课的教学中，教师立足于所创设的情境，通过学生自主探索、合作交流，亲身经历了提出问题、解决问题、应用反思的过程，学生成为正弦定理的“发现者”和“创造者”，切身感受了创造的苦和乐，知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实。教师还要积极
引导学生对所提的问题进行分析、整理，筛选出有价值的问题，注意启发学生揭示问题的数学实质，将提问引向深入。
关于重要不等式a 2+b 2≥2ab 证明及探究的教学案例
教学过程是师生交往，共同发展的互动过程，学生是问题的探究者，目标的实施者和成功的体验者。教师在课堂上给学生提供探究的空间，使学生在充满快乐的氛围中感受数学的美，激发学生的热情。本节课就是根据不等式a 2+b 2≥2ab 的证明与应用进行延伸扩展的。
一. 教学设计.
1. 思维是从问题开始的，一个好的问题能使思维得以产生，维持和深入。所以本课的开始是以不等式的证明这个问题入手。
2. 通过证明鼓励学生大胆猜想，发表自己的意见，将不等式进行延伸。
3. 将学生的结论与证明进行总结补充。
二. 教学过程.
1. 提出问题 ：如果a , b ∈R 那（当且仅当a =b 时取“=”）
师：这是一个重要的不等式，条件少，结论简单，但有广泛的应
用，那么如何来证明该不等式？
2. 解决问题：
请同学们进行思考，可以几个同学一起讨论，最后老师将同学的证明方法收集进行分类。总结如下：
2（1） 因为(a -b )≥0，所以不等式成立。
2a 2+b 2-2ab =(a -b )≥0。所以不等式成立。 （2）
2（3） 假设a 2+b 2 2ab ⇒(a -b ) 0矛盾，所以不等式成立。
（4） 欲证a 2+b 2≥2ab 只需证a 2+b 2-2ab ≥0成立。
师：同学们使用了不等式证明中各种方法，比较全面，比较好，想一想是否可以用其他知识来证明？
学生：把a 2+b 2≥2ab 转化为+≥2设=x 所以有f (x )=x +，将其转化为函数的最值来证明。
师：很精彩，与函数相联系，但有一点大家要注意，是哪一点？ 生：只有a , b 同号可用此函数，
师：非常好，那么异号是否成立？
所有学生：成立，不等式两端一正一负。
3. 问题的探究：
师：我们已经用很多种方法证明了这个基本不等式成立，当然还有很多的证法，如三角函数法，构造图形法等，用兴趣的同学课外可以常试一下，下面我们来看一下有此不等式有哪些变式，请同学自己推倒并证明一下。
几分钟后，有几名同学分别发言，老师总结出一些常用的变式写在黑板上。
a +b a 2
+≥a , b ∈R ) （2） ≥2a -b (b ∈+R （1
）) 2b a b b a a b 1x
（3）a 2112++≥-ab ∈R a +≥2a ∈R （4） ()()2b b a a
师：这些都是很重要的不等式，有着广泛的应用，平时做题可以常试着运。那么我们能否对a 2+b 2≥2ab 进行推广？
4. 问题的推广：
（1）a 3+b 3≥a 2b +ab 2(a , b ∈R +)（2）a 2+b 2+c 3≥ab +bc +ac
（3）a 3+b 3+c 3≥3abc (a , b , c ∈R +)
师：通过对不等式a 2+b 2≥2ab 的证明，同学们能否得出以上不等式也是成立的？
同学们进行自己证明，最后得出以上结论成立，请部分同学说明自己的证明方法，教师进行板书，并 进行补充和指导。
师：通过猜想，验证，证明得到很多不等式的成立，今天在课堂上同学们学到了课本以外的很多知识。
三. 教学总结。
课堂上应提倡师生平等，教学相长，创造民主气氛，才能是学生释放出巨大的创新潜能，教师应转变观点，作为课堂教学的设计者，应积极鼓励学生大胆猜想，发表自己的意见，为培养探究精神提供一个良好的环境。