5.6 正弦定理、余弦定理和解斜三角形──余弦定理
上海市古美高级中学 徐新远
【课题】5.6 正弦定理、余弦定理和解斜三角形──余弦定理 【授课日期】2007.3.29
【授课班级】青浦高级中学高一2班 【课型】新授课
【授课方式】启发、探究、讲解、练习 【课时】1课时（40分钟）
【教学目标】
1.理解学习正、余弦定理的意义，懂得数学知识源于实践并应用于实践的道理，进一步强化应用意识；
2.会运用已有知识推导出余弦定理，在探究、发现、证明余弦定理的过程中体验知识的生成和发展过程；
3.在从勾股定理（特殊）发展到余弦定理（一般）的过程中，理解并会运用从特殊到一般的思维方法解决问题；
4.经历数和形（数形结合）两种方法证明余弦定理的过程，进一步领会数形结合解决数学问题的数学思想；
5.掌握余弦定理，会运用余弦定理（正弦定理）解斜三角形、并会简单地加以实际应用，对不同的解斜三角形的问题（类型），会作出判断和适当的分类，使分类讨论的数学思想得到训练、分类讨论的能力得到提高。
【教学重点】
1.余弦定理的推导；
2.余弦定理的运用（解斜三角形）。
【教学难点】
1.余弦定理的探究、发现和证明；
2.选择合理的方法运用正、余弦定理解决不同类型的“解斜三角形问题”。
【教具准备】多媒体（PowerPoint 课件）、三角板等。
【教材分析】
学生在学习了任意角的三角比和三角比的运算性质的基础上，结合初中平面几何中学过的三角形知识，特别是全等三角形的知识，进一步学习解斜三角形，在知识和方法上有了充分的准备，应该说，这一节的内容在整个高中阶段不是难点。但是解斜三角形却是一个重点内容，因为它解决了任意三角形的边和角的度量问题，并且几何上的度量（主要是距离和角），无论是平面几何、还是空间图形中，一般都要转化为求解三角形的边长和角，这是一个常规的转化，
是需要学生形成“下意识”的转化。学生对正、余弦定理的研究（学习）应该是不会感到陌生和意外的，因为直角三角形中的三角比和勾股定理便是它们的特例。
学生在学习了正弦定理后，初步掌握了研究三角形中边、角关系的方法，这对进一步研究学习余弦定理提供了有效的示范和帮助，从特殊到一般、通过纯几何和坐标化的论证得到余弦定理的表示形式，应该说没有太多的困难。另外，余弦定理的运用（解决已知SSS求角、已知SAS求对边）和在实际中的应用也不会有困难，已知SSA解三角形的问题，也可以利用余弦定理，运用方程思想求解，当然也可利用正弦定理求解（但必须对解的情况作出明确的判断）。
通过这节课的教学，学生应基本能够解决五种类型的解三角形问题（SSS、SSA、SAS、AAS、ASA），会选择合理的方法，特别是准确地运用正、余弦定理求解。
【教学设计（过程）】
一、复习、引入
1.复习提问（上节课已学习了正弦定理及三角形的面积公式）：
（1）为什么要学习正弦定理，学习正弦定理的目的是什么？（解斜三角形）
（2）正弦定理的内容是什么？用两边及夹角表示的三角形面积公式是什么？
（3）运用正弦定理解斜三角形，主要可以解决哪几类问题？（ASA、AAS）
2.引入：（已知SAS，求已知角的对边）
如图，在ABC中，已知a3，b4，及角C，试分别求出c边的长。
33 3
4CA44CCA(3) (2)(1)
引导学生利用勾股定理，用几何方法求解。
二、余弦定理的推导
1.用平面几何方法推导：
在ABC中，已知a，b和角C，求c。（即用a、b、C表示c）
分两种情况讨论(证明过程略)得出余弦定理：cab2abcosC
aa
ACbDb DCA
(2) (1)
（当C为锐角、直角或钝角时都成立，特别是当C为直角时即表现为勾股定理的形式） 222A
2.用坐标法推导：
利用两点间的距离公式推导出余弦定理：
222cab2abcosC B(（这里点B的坐标对角C
223.同理，可得：abc2bccosA， cosA
bac
22222222bca2bcacb2acab22222， 2 2accosB，变形cosB， c。 2
2ab
余弦定理：三角形的一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦值乘积的两倍。
三、公式的运用（应用）（举例和练习）
1.已知SAS求角的对边 scab2abcosC； co
C2例1 利用余弦定理求解引入中的（2）、（3）。
北
例2 (实际应用)某地某时测得台风中心在甲地的东偏
南21方向1171千米处，经过24小时后，测得台
风中心在甲地东偏南17方向543千米处，
求台风移动的平均速度。
2.已知SSS求角
例3 在ABC中，已知a3，b5，c7，
求角C的大小。
四、解斜三角形的类型和方法总结
例4 选择最佳方案解下列三角形中的x（不必求出x的值）.
方案：（a）直角三角比的定义；(b)正弦定理；(c)余弦定理。
21东A90AA50B6B9570C3(1)(2)B(3)4CCBx
5xA
(4)
(5)
CC77BxB(6)(7)
重点讨论第（6）、第（7）个图（SSA）的情况，可用两种方法求解，一是先求边用余弦定理，利用方程解得边xAB；二是先求角用正弦定理，得到角A。（本题有两解）
五、小结
1.余弦定理：
（1）a2b2c22bccosA，b2a2c22accosB，
cab2abcosC； 222
（2）cosAbca
2bc222，cosBacb
2ac222，coscabc
2ab222。
2.余弦定理主要解决以下两类问题：
（1）已知三边（SSS）求三角；（2）已知两边夹角（SAS）求角的对边。
3.正弦定理可以解决ASA、AAS问题；余弦定理可以解决SSS、SAS问题；
4.对SSA问题，可用两种方法求解（1）先求边则用余弦定理，通过解方程求得；（2）先求角则用正弦定理，但应判定解的情况（无解、一解、或两解），本节课对这个问题不作详细讨论。
六、作业布置：数学练习部分（习题册）A组1－5
【教学反思】
1.本节课的教学过程大体上可以分为四个阶段，一是通过复习旧知，在知识的最近发展区内提出具体的已知SAS求角对边的问题并解决这个问题；二是把已知SAS求角对边的问题一般化，得到余弦定理（公式）；三是余弦定理的简单运用和应用（已知SAS求对边、已知SSS求角）；四是总结归纳解斜三角形的一般思路、一般方法。每个阶段的安排不尽合理，特别是第一、第二个阶段花费的时间太多了，导致第四个阶段的时间偏紧，在第一、第二阶段应推进得更快一点。
2.本节课的成功之处：提问的设计比较科学、简洁、有效，对学生具有启发性、思考性、发展性；多媒体的使用比较得当，既形象直观又提高了效率；板书设计比较规范，对学生具有示
范作用；重、难点的处理比较得当，突出了重点（余弦定理的推导和运用）也突破了难点（对解斜三角形的不同情况的分类）。应当改进之处是：余弦定理的文字语言描述应作进一步的强化，不应一笔带过，这对培养学生的符号语言、图形语言、文字语言的转化能力是不利的；应用问题的建模过程应更加重视，最好让学生板演一下，画出图形是关键。
3.学生课堂表现是比较积极的，思维比较活跃，动手实践比较积极有效，对知识的生成、运用、发展能随着教学的推进得到较大的收获。我对学生的肯定和鼓励做得还不够，特别是一个女同学未能导出余弦定理（发生了错误），在接下来的教学中未能再给她表现的机会。
4.我对本节课的课堂认知水平定位在理解水平上，从教学效果看，应该说达到了预期的教学目标。学生在已有知识的基础上，自主得出了余弦定理（自主探究，但探究的层次不高，基本在教师的预设中生成）；能较好地运用新知分析问题和解决问题；通过本节课，学生在以下一些数学思想方法上得到了体验（训练），如：数形结合思想、从特殊到一般的思想、类比思想、转化思想、分类讨论的思想等，因此本节课的教育、教学的内涵是十分丰富的，我都比较好地加以挖掘，学生得到的收获也比较大。
5.因为本节课是一节定理教学的常规课，在平时的教学中经常会上这样的课，但这一次的教学有了一些改进，特别是在多媒体的运用、教学语言的设计（特别是提问）等方面有比较大的改进，如果要再设计一堂同样的课，我会在体现学生学习的自主性方面作一些改进，把更多的时间还给学生，更好地体现“以学生的发展为本”的理念。
6.仍感到困惑的地方：（1）自主探究学习与接受性学习的把握；（2）自主学习时间与课堂容量；
（3）在课堂教学中如何关注学生的差异。
【同伴点评】
3月29日听了徐新远老师的课《余弦定理》，印象非常深刻，虽然时间已经过去二十多天，但还是记忆犹新。徐老师是借班上课，是在假设学生已经学习了正弦定理的前提下备的课，所以，一上课，徐老师的真情独白
徐老师的教学给我留下最深的印象是细腻。每一个概念的讲述，每一个问题的解读、分析、解答处理得十分细腻，对同学参与问题的研究既有分工又注重问题研究的全面性，譬如在引出余弦定理的过程中就出现了两次分工，每一名同学都有机会研究一个钝角和一个锐角的问题，但又不会重复，提高了学习和研究的效率。在同学讲述解题过程时，对学生的解答教师能及时地肯定学生的数学思想，而对于计算当中的出现的问题能够给与学生鼓励，将正确的过程清晰
的写在黑板上，这些细节的处理都是值得我学习的。
徐老师在整堂课的问题设计上也有不同的层次，且语言简洁问题明确。对于有些问题学生回答有困难的，教师会有问题的铺设，如在问到余弦定理有什么用时，学生并没有直接的呼应，教师说，那么回到开头，我们为什么学习余弦定理，学生回答，为了解三角形。再如，为了突出余弦定理可解决哪些斜三角形问题时，教师首先问学生确定三角形的条件，从初中熟悉的三角形全等入手得出一系列的研究方向，学生在这些问题中很自然的筛选出
这堂课中对于例2应用题的处理，我觉得教师可以帮助学生分析问题情境，在学生明确方位角的含义和作法之后能够让学生自己作图，这比教师在黑板上作图要好很多，因为这是此实际问题转化成数学问题的关键，应当给学生锻炼的机会。（杨侃）
【专家点评】
本节课从解三角形入手，渐渐一步一步引导出余弦定理，很自然，很有效果，学生的积极性逐步激发到高潮——推导出余弦定理，既学到了从特殊到一般的方法又学会了严谨的论证。
学生在自己运算活动同时，教师也做到了师生同时在黑板上演算，使全班同学得到一次完整的推导，对巩固基本功有很大好处。
教师很注意数学知识的应用，课的前后呼应很好。同时引导学生去思考余弦定理有何用？如何用？并用穷举的方法一类一类分析如何用余弦定理。教师专业，教法素质都很高。(沈明哲)
【主持人点评】
徐新远老师曾在我区工作过，我们曾经有过一段时期的合作，我感到他是一个很有潜力的青年教师。徐老师选择了离他家很近的学校，对于他的离开我既表示理解，又感到遗憾，因为我区少掉了一个骨干教师。
徐新远这次借青浦高级中学的班级上了一节《余弦定理》，他的课给大家留下了深刻的印象。 在写评课材料时，我忽然想到了他的名字，我觉得用来评课很贴切。
徐老师的课的第一个特点是“徐”。整节课他徐徐道来，不紧不慢，不慌不忙，有板有眼，充分显示了他的功底，尤其需要指出的是，在上课前他了解到学生尚未学过正弦定理，尽管如此，他还是很及时地临时做出了调整，显示了他的应变能力。
徐老师的课的第二个特点是“新”。在整节课的设计中富有新意。例如导出和证明余弦定理时，他先出示了一个三角形，已知a3，b4，C90，让学生计算边c的长。接着他要男同学计算C为60时c的长，要女同学计算C为120时c的长。最后他要女同学写出已知a、b及C（C为锐角）时，c的表达式，要男同学写出已知a、b及C（C为钝角）时，c的表达式。在完成了用几何方法导出余弦定理后，他又引导学生用代数方法导出余弦定理，并指出这是无须将C按锐角、直角、钝角分类证明。这样的设计既流畅又自然，给人一种清新的感觉。
徐老师的课的第三个特点是“远”。他能把学生带望高出，从而使学生能看得更远。例如在这节课上他向学生揭示了余弦定理的轮换对称美，揭示了从特殊到一般的发现数学规律的数学思想，揭示了分类讨论，坐标法等数学方法。坚持这样的数学教学对于学生今后的发展必然会带来深远的影响。
对徐老师的这节课，我有以下建议：
1．在导出余弦定理后，应要求学生将余弦定理用文字加以叙述，这对于培养学生的表达能力很有好处，有可能学生会感到有困难，教师可因势利导，教会学生将等式分解成若干部分。例如将“c2”表述为“三角形一边的平方”，“=”表述为“等于”，“a2b2”表述为“其它两边的平方和”，“”表述为“减去”，“2abcosC”表述为“这两边与它们夹角的余弦值乘积的两倍”。这样的分解，学生会从中得到感悟，坚持下去学生的表达能力就能提高。
2．在讲解余弦定理的应用时，徐老师出示了一道关于台风的应用题。在介绍了方位角的相关概念后，教师应让学生动手画出示意图，并让学生在图中标出已知量和所要求的量，进一步分析需求得的中间量。这种分析问题的能力在求解应用问题时往往是必不可少的。因此在这里多花几分钟的时间是值得的。
3．在讨论余弦定理使用的范围时，徐老师出示了七个标有某些已知条件的三角形。由于学生思想尚未学过正弦定理，因此其中的两个图形学生不会做，讲解时教师跳过了这两个题，我认为教师应当引导学生分析一下为什么不能用余弦定理求解这两个问题。如果能从正反两方面去理解定理，那么定理的掌握就能更为牢固。（忻再义）
5.6 正弦定理、余弦定理和解斜三角形──余弦定理
上海市古美高级中学 徐新远
【课题】5.6 正弦定理、余弦定理和解斜三角形──余弦定理 【授课日期】2007.3.29
【授课班级】青浦高级中学高一2班 【课型】新授课
【授课方式】启发、探究、讲解、练习 【课时】1课时（40分钟）
【教学目标】
1.理解学习正、余弦定理的意义，懂得数学知识源于实践并应用于实践的道理，进一步强化应用意识；
2.会运用已有知识推导出余弦定理，在探究、发现、证明余弦定理的过程中体验知识的生成和发展过程；
3.在从勾股定理（特殊）发展到余弦定理（一般）的过程中，理解并会运用从特殊到一般的思维方法解决问题；
4.经历数和形（数形结合）两种方法证明余弦定理的过程，进一步领会数形结合解决数学问题的数学思想；
5.掌握余弦定理，会运用余弦定理（正弦定理）解斜三角形、并会简单地加以实际应用，对不同的解斜三角形的问题（类型），会作出判断和适当的分类，使分类讨论的数学思想得到训练、分类讨论的能力得到提高。
【教学重点】
1.余弦定理的推导；
2.余弦定理的运用（解斜三角形）。
【教学难点】
1.余弦定理的探究、发现和证明；
2.选择合理的方法运用正、余弦定理解决不同类型的“解斜三角形问题”。
【教具准备】多媒体（PowerPoint 课件）、三角板等。
【教材分析】
学生在学习了任意角的三角比和三角比的运算性质的基础上，结合初中平面几何中学过的三角形知识，特别是全等三角形的知识，进一步学习解斜三角形，在知识和方法上有了充分的准备，应该说，这一节的内容在整个高中阶段不是难点。但是解斜三角形却是一个重点内容，因为它解决了任意三角形的边和角的度量问题，并且几何上的度量（主要是距离和角），无论是平面几何、还是空间图形中，一般都要转化为求解三角形的边长和角，这是一个常规的转化，
是需要学生形成“下意识”的转化。学生对正、余弦定理的研究（学习）应该是不会感到陌生和意外的，因为直角三角形中的三角比和勾股定理便是它们的特例。
学生在学习了正弦定理后，初步掌握了研究三角形中边、角关系的方法，这对进一步研究学习余弦定理提供了有效的示范和帮助，从特殊到一般、通过纯几何和坐标化的论证得到余弦定理的表示形式，应该说没有太多的困难。另外，余弦定理的运用（解决已知SSS求角、已知SAS求对边）和在实际中的应用也不会有困难，已知SSA解三角形的问题，也可以利用余弦定理，运用方程思想求解，当然也可利用正弦定理求解（但必须对解的情况作出明确的判断）。
通过这节课的教学，学生应基本能够解决五种类型的解三角形问题（SSS、SSA、SAS、AAS、ASA），会选择合理的方法，特别是准确地运用正、余弦定理求解。
【教学设计（过程）】
一、复习、引入
1.复习提问（上节课已学习了正弦定理及三角形的面积公式）：
（1）为什么要学习正弦定理，学习正弦定理的目的是什么？（解斜三角形）
（2）正弦定理的内容是什么？用两边及夹角表示的三角形面积公式是什么？
（3）运用正弦定理解斜三角形，主要可以解决哪几类问题？（ASA、AAS）
2.引入：（已知SAS，求已知角的对边）
如图，在ABC中，已知a3，b4，及角C，试分别求出c边的长。
33 3
4CA44CCA(3) (2)(1)
引导学生利用勾股定理，用几何方法求解。
二、余弦定理的推导
1.用平面几何方法推导：
在ABC中，已知a，b和角C，求c。（即用a、b、C表示c）
分两种情况讨论(证明过程略)得出余弦定理：cab2abcosC
aa
ACbDb DCA
(2) (1)
（当C为锐角、直角或钝角时都成立，特别是当C为直角时即表现为勾股定理的形式） 222A
2.用坐标法推导：
利用两点间的距离公式推导出余弦定理：
222cab2abcosC B(（这里点B的坐标对角C
223.同理，可得：abc2bccosA， cosA
bac
22222222bca2bcacb2acab22222， 2 2accosB，变形cosB， c。 2
2ab
余弦定理：三角形的一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦值乘积的两倍。
三、公式的运用（应用）（举例和练习）
1.已知SAS求角的对边 scab2abcosC； co
C2例1 利用余弦定理求解引入中的（2）、（3）。
北
例2 (实际应用)某地某时测得台风中心在甲地的东偏
南21方向1171千米处，经过24小时后，测得台
风中心在甲地东偏南17方向543千米处，
求台风移动的平均速度。
2.已知SSS求角
例3 在ABC中，已知a3，b5，c7，
求角C的大小。
四、解斜三角形的类型和方法总结
例4 选择最佳方案解下列三角形中的x（不必求出x的值）.
方案：（a）直角三角比的定义；(b)正弦定理；(c)余弦定理。
21东A90AA50B6B9570C3(1)(2)B(3)4CCBx
5xA
(4)
(5)
CC77BxB(6)(7)
重点讨论第（6）、第（7）个图（SSA）的情况，可用两种方法求解，一是先求边用余弦定理，利用方程解得边xAB；二是先求角用正弦定理，得到角A。（本题有两解）
五、小结
1.余弦定理：
（1）a2b2c22bccosA，b2a2c22accosB，
cab2abcosC； 222
（2）cosAbca
2bc222，cosBacb
2ac222，coscabc
2ab222。
2.余弦定理主要解决以下两类问题：
（1）已知三边（SSS）求三角；（2）已知两边夹角（SAS）求角的对边。
3.正弦定理可以解决ASA、AAS问题；余弦定理可以解决SSS、SAS问题；
4.对SSA问题，可用两种方法求解（1）先求边则用余弦定理，通过解方程求得；（2）先求角则用正弦定理，但应判定解的情况（无解、一解、或两解），本节课对这个问题不作详细讨论。
六、作业布置：数学练习部分（习题册）A组1－5
【教学反思】
1.本节课的教学过程大体上可以分为四个阶段，一是通过复习旧知，在知识的最近发展区内提出具体的已知SAS求角对边的问题并解决这个问题；二是把已知SAS求角对边的问题一般化，得到余弦定理（公式）；三是余弦定理的简单运用和应用（已知SAS求对边、已知SSS求角）；四是总结归纳解斜三角形的一般思路、一般方法。每个阶段的安排不尽合理，特别是第一、第二个阶段花费的时间太多了，导致第四个阶段的时间偏紧，在第一、第二阶段应推进得更快一点。
2.本节课的成功之处：提问的设计比较科学、简洁、有效，对学生具有启发性、思考性、发展性；多媒体的使用比较得当，既形象直观又提高了效率；板书设计比较规范，对学生具有示
范作用；重、难点的处理比较得当，突出了重点（余弦定理的推导和运用）也突破了难点（对解斜三角形的不同情况的分类）。应当改进之处是：余弦定理的文字语言描述应作进一步的强化，不应一笔带过，这对培养学生的符号语言、图形语言、文字语言的转化能力是不利的；应用问题的建模过程应更加重视，最好让学生板演一下，画出图形是关键。
3.学生课堂表现是比较积极的，思维比较活跃，动手实践比较积极有效，对知识的生成、运用、发展能随着教学的推进得到较大的收获。我对学生的肯定和鼓励做得还不够，特别是一个女同学未能导出余弦定理（发生了错误），在接下来的教学中未能再给她表现的机会。
4.我对本节课的课堂认知水平定位在理解水平上，从教学效果看，应该说达到了预期的教学目标。学生在已有知识的基础上，自主得出了余弦定理（自主探究，但探究的层次不高，基本在教师的预设中生成）；能较好地运用新知分析问题和解决问题；通过本节课，学生在以下一些数学思想方法上得到了体验（训练），如：数形结合思想、从特殊到一般的思想、类比思想、转化思想、分类讨论的思想等，因此本节课的教育、教学的内涵是十分丰富的，我都比较好地加以挖掘，学生得到的收获也比较大。
5.因为本节课是一节定理教学的常规课，在平时的教学中经常会上这样的课，但这一次的教学有了一些改进，特别是在多媒体的运用、教学语言的设计（特别是提问）等方面有比较大的改进，如果要再设计一堂同样的课，我会在体现学生学习的自主性方面作一些改进，把更多的时间还给学生，更好地体现“以学生的发展为本”的理念。
6.仍感到困惑的地方：（1）自主探究学习与接受性学习的把握；（2）自主学习时间与课堂容量；
（3）在课堂教学中如何关注学生的差异。
【同伴点评】
3月29日听了徐新远老师的课《余弦定理》，印象非常深刻，虽然时间已经过去二十多天，但还是记忆犹新。徐老师是借班上课，是在假设学生已经学习了正弦定理的前提下备的课，所以，一上课，徐老师的真情独白
徐老师的教学给我留下最深的印象是细腻。每一个概念的讲述，每一个问题的解读、分析、解答处理得十分细腻，对同学参与问题的研究既有分工又注重问题研究的全面性，譬如在引出余弦定理的过程中就出现了两次分工，每一名同学都有机会研究一个钝角和一个锐角的问题，但又不会重复，提高了学习和研究的效率。在同学讲述解题过程时，对学生的解答教师能及时地肯定学生的数学思想，而对于计算当中的出现的问题能够给与学生鼓励，将正确的过程清晰
的写在黑板上，这些细节的处理都是值得我学习的。
徐老师在整堂课的问题设计上也有不同的层次，且语言简洁问题明确。对于有些问题学生回答有困难的，教师会有问题的铺设，如在问到余弦定理有什么用时，学生并没有直接的呼应，教师说，那么回到开头，我们为什么学习余弦定理，学生回答，为了解三角形。再如，为了突出余弦定理可解决哪些斜三角形问题时，教师首先问学生确定三角形的条件，从初中熟悉的三角形全等入手得出一系列的研究方向，学生在这些问题中很自然的筛选出
这堂课中对于例2应用题的处理，我觉得教师可以帮助学生分析问题情境，在学生明确方位角的含义和作法之后能够让学生自己作图，这比教师在黑板上作图要好很多，因为这是此实际问题转化成数学问题的关键，应当给学生锻炼的机会。（杨侃）
【专家点评】
本节课从解三角形入手，渐渐一步一步引导出余弦定理，很自然，很有效果，学生的积极性逐步激发到高潮——推导出余弦定理，既学到了从特殊到一般的方法又学会了严谨的论证。
学生在自己运算活动同时，教师也做到了师生同时在黑板上演算，使全班同学得到一次完整的推导，对巩固基本功有很大好处。
教师很注意数学知识的应用，课的前后呼应很好。同时引导学生去思考余弦定理有何用？如何用？并用穷举的方法一类一类分析如何用余弦定理。教师专业，教法素质都很高。(沈明哲)
【主持人点评】
徐新远老师曾在我区工作过，我们曾经有过一段时期的合作，我感到他是一个很有潜力的青年教师。徐老师选择了离他家很近的学校，对于他的离开我既表示理解，又感到遗憾，因为我区少掉了一个骨干教师。
徐新远这次借青浦高级中学的班级上了一节《余弦定理》，他的课给大家留下了深刻的印象。 在写评课材料时，我忽然想到了他的名字，我觉得用来评课很贴切。
徐老师的课的第一个特点是“徐”。整节课他徐徐道来，不紧不慢，不慌不忙，有板有眼，充分显示了他的功底，尤其需要指出的是，在上课前他了解到学生尚未学过正弦定理，尽管如此，他还是很及时地临时做出了调整，显示了他的应变能力。
徐老师的课的第二个特点是“新”。在整节课的设计中富有新意。例如导出和证明余弦定理时，他先出示了一个三角形，已知a3，b4，C90，让学生计算边c的长。接着他要男同学计算C为60时c的长，要女同学计算C为120时c的长。最后他要女同学写出已知a、b及C（C为锐角）时，c的表达式，要男同学写出已知a、b及C（C为钝角）时，c的表达式。在完成了用几何方法导出余弦定理后，他又引导学生用代数方法导出余弦定理，并指出这是无须将C按锐角、直角、钝角分类证明。这样的设计既流畅又自然，给人一种清新的感觉。
徐老师的课的第三个特点是“远”。他能把学生带望高出，从而使学生能看得更远。例如在这节课上他向学生揭示了余弦定理的轮换对称美，揭示了从特殊到一般的发现数学规律的数学思想，揭示了分类讨论，坐标法等数学方法。坚持这样的数学教学对于学生今后的发展必然会带来深远的影响。
对徐老师的这节课，我有以下建议：
1．在导出余弦定理后，应要求学生将余弦定理用文字加以叙述，这对于培养学生的表达能力很有好处，有可能学生会感到有困难，教师可因势利导，教会学生将等式分解成若干部分。例如将“c2”表述为“三角形一边的平方”，“=”表述为“等于”，“a2b2”表述为“其它两边的平方和”，“”表述为“减去”，“2abcosC”表述为“这两边与它们夹角的余弦值乘积的两倍”。这样的分解，学生会从中得到感悟，坚持下去学生的表达能力就能提高。
2．在讲解余弦定理的应用时，徐老师出示了一道关于台风的应用题。在介绍了方位角的相关概念后，教师应让学生动手画出示意图，并让学生在图中标出已知量和所要求的量，进一步分析需求得的中间量。这种分析问题的能力在求解应用问题时往往是必不可少的。因此在这里多花几分钟的时间是值得的。
3．在讨论余弦定理使用的范围时，徐老师出示了七个标有某些已知条件的三角形。由于学生思想尚未学过正弦定理，因此其中的两个图形学生不会做，讲解时教师跳过了这两个题，我认为教师应当引导学生分析一下为什么不能用余弦定理求解这两个问题。如果能从正反两方面去理解定理，那么定理的掌握就能更为牢固。（忻再义）