知识宝典
（数学篇—高中版）
目录
必修1 ............................................................................................... - 1 -
一. 集合 ..................................................................................... - 1 -
二. 函数 ..................................................................................... - 1 - 必修2 ............................................................................................... - 5 -
三. 直线和圆的方程 . ................................................................. - 5 -
四. 直线、平面、简单几何体 . ................................................. - 8 - 必修3 ............................................................................................. - 10 -
五、概率与统计..................................................................... - 10 - 必修4 ............................................................................................. - 11 -
六. 三角函数............................................................................ - 11 -
七. 平面向量............................................................................ - 13 - 必修5 ............................................................................................. - 15 -
八. 不等式 ............................................................................... - 15 -
九. 数列 ................................................................................... - 17 - 文科选修1-1 .................................................................................. - 20 -
十. 简易逻辑............................................................................ - 20 - 十一. 圆锥曲线方程 . ............................................................... - 21 - 十二. 导数 ............................................................................... - 26 - 文科选修1-2 .................................................................................. - 27 -
十三. 复数 ............................................................................... - 27 -
必修1
一. 集合
1. 注意区分集合中元素的形式.
如：{x |y =lg x }—函数的定义域；{y |y =lg x }—函数的值域； {(x , y ) |y =lg x }—函数图象上的点集.
2. 集合的性质：
①任何一个集合A 是它本身的子集, 记为A ⊆A .
②空集是任何集合的子集, 记为∅⊆A .
③空集是任何非空集合的真子集；注意:条件为A ⊆B , 在讨论的
时候不要遗忘了A =∅的情况
④C U (A B ) =C U A C U B , C U (A B ) =C U A C U B ；
（A B ）C =A （B C ）（A B ）C =A （B ；
⑤A B =A ⇔A B =B ⇔A ⊆B ⇔C U B ⊆C U A
⇔A C U B =∅⇔C U A B =R .
n C ）. ⑥含n 个元素的集合的子集个数为2；真子集(非空子集) 个数
为2-1；非空真子集个数为2-2. n n
二. 函数
1. ①映射f :A →B 是：
⑴ “一对一或多对一”的对应；
⑵集合A 中的元素必有象且A 中不同元素在B 中可以有相同的象；集合B 中的元素不一定有原象(即象集⊆B ).
②一一映射f :A →B ：
⑴“一对一”的对应；
⑵A 中不同元素的象必不同, B 中元素都有原象.
2. 函数f : A →B 是特殊的映射. 特殊在定义域A 和值域B 都是非空数集。据此可知函数图像与x 轴的垂线至多有一个公共点, 但与y 轴垂线的公共点可能没有, 也可能有任意个.
3. 函数的三要素：定义域, 值域, 对应法则. 研究函数的问题一定要
注意定义域优先的原则.
4. 求定义域:使函数解析式有意义(如:分母≠0; 偶次根式被开方数非负; 对数真数>0, 底数>0且≠1；零指数幂的底数≠0) ； 实际问题有意义；
若f (x ) 定义域为[a , b ], 复合函数f [g (x )]定义域由a ≤g (x ) ≤b 解出；
若f [g (x )]定义域为[a , b ], 则f (x ) 定义域相当于x ∈[a , b ]时g (x ) 的值域.
5. 求值域常用方法: ①配方法(二次函数类) ；②换元法(特别注意新元的范围). ③不等式法；④单调性法；⑤数形结合：根据函数的几何意义, 利用数形结合的方法来求值域；⑥导数法(一般适用于高次多项式函数).
6. 求函数解析式的常用方法：
⑴待定系数法(已知所求函数的类型) ；⑵代换(配凑) 法；⑶方程的思想----对已知等式进行赋值，从而得到关于f (x ) 及另外一个函数的方程组。
7. 函数的奇偶性和单调性
⑴函数有奇偶性的必要条件是其定义域是关于原点对称的, 确定奇偶性方法有定义法、图像法等；
⑵若f (x ) 是偶函数, 那么f (x ) =f (-x ) =f (|x |)；定义域含零的奇函数必过原点(f (0)=0) ；
⑶判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f (x ) ±f (-x ) =0或f (-x )
f (x ) =±1(f (x ) ≠0) ；
⑷复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.
注意：若判断较为复杂解析式函数的奇偶性，应先化简再判断；既奇又偶的函数有无数个(如f (x ) =0定义域关于原点对称即可). ⑸奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性；
⑹确定函数单调性的方法有定义法、导数法、图像法和特值法(用于小题) 等.
⑺复合函数单调性由“同增异减”判定. （提醒：求单调区间
时注意定义域）
8. 函数图象的几种常见变换
⑴平移变换：左右平移--“左加右减”（注意是针对x 而言）；上下平移----“上加下减”(注意是针对f (x ) 而言).
⑵翻折变换：f (x ) →|f (x ) |；f (x ) →f (|x |).
⑶对称变换：
函数y =f (x ) 与y =f (-x ) 的图像关于直线x =0(y 轴) 对称；函数y =f (x ) 与函数y =f (-x ) 的图像关于直线y =0(x 轴) 对称；
+) x =(f -a 或x 若函数y =f (x ) 对x ∈R 时，f (a
f (x ) =f (2a -x ) 恒成立, 则y =f (x ) 图像关 于直线x =a 对称；若y =f (x ) 对x ∈R 时, f (a +x ) =f (b -x ) 恒成立, 则y =f (x ) 图像关于直线x =
关于直线x =a +b 22对称；函数y =f (a +x ) , y =f (b -x ) 的图像b -a 对称(由a +x =b -x 确定) ；函数y =f (x -a )
a +b
2与y =f (b -x ) 的图像关于直线x =对称；
9. 函数的周期性(必修4) ：
⑴若y =f (x ) 对x ∈R 时f (x +a ) =f (x -a ) 恒成立, 则 f (x ) 的周期为2|a |；
⑵若y =f (x ) 是偶函数, 其图像又关于直线x =a 对称, 则f (x ) 的周期为2|a |；
⑶若y =f (x ) 奇函数, 其图像又关于直线x =a 对称, 则f (x ) 的周期为4|a |；
⑷若y =f (x ) 关于点(a , 0) , (b ,0) 对称, 则f (x ) 的周期为2|a -b |；
⑸y =f (x ) 的图象关于直线x =a , x =b (a ≠b ) 对称, 则函数y =f (x ) 的周期为2|a -b |；
⑹y =f (x ) 对x ∈R 时, f (x +a ) =-f (x ) 或f (x +a ) =-
1f (x ) ,
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必修1 ............................................................................................... - 1 -
一. 集合 ..................................................................................... - 1 -
二. 函数 ..................................................................................... - 1 - 必修2 ............................................................................................... - 5 -
三. 直线和圆的方程 . ................................................................. - 5 -
四. 直线、平面、简单几何体 . ................................................. - 8 - 必修3 ............................................................................................. - 10 -
五、概率与统计..................................................................... - 10 - 必修4 ............................................................................................. - 11 -
六. 三角函数............................................................................ - 11 -
七. 平面向量............................................................................ - 13 - 必修5 ............................................................................................. - 15 -
八. 不等式 ............................................................................... - 15 -
九. 数列 ................................................................................... - 17 - 文科选修1-1 .................................................................................. - 20 -
十. 简易逻辑............................................................................ - 20 - 十一. 圆锥曲线方程 . ............................................................... - 21 - 十二. 导数 ............................................................................... - 26 - 文科选修1-2 .................................................................................. - 27 -
十三. 复数 ............................................................................... - 27 -
必修1
一. 集合
1. 注意区分集合中元素的形式.
如：{x |y =lg x }—函数的定义域；{y |y =lg x }—函数的值域； {(x , y ) |y =lg x }—函数图象上的点集.
2. 集合的性质：
①任何一个集合A 是它本身的子集, 记为A ⊆A .
②空集是任何集合的子集, 记为∅⊆A .
③空集是任何非空集合的真子集；注意:条件为A ⊆B , 在讨论的
时候不要遗忘了A =∅的情况
④C U (A B ) =C U A C U B , C U (A B ) =C U A C U B ；
（A B ）C =A （B C ）（A B ）C =A （B ；
⑤A B =A ⇔A B =B ⇔A ⊆B ⇔C U B ⊆C U A
⇔A C U B =∅⇔C U A B =R .
n C ）. ⑥含n 个元素的集合的子集个数为2；真子集(非空子集) 个数
为2-1；非空真子集个数为2-2. n n
二. 函数
1. ①映射f :A →B 是：
⑴ “一对一或多对一”的对应；
⑵集合A 中的元素必有象且A 中不同元素在B 中可以有相同的象；集合B 中的元素不一定有原象(即象集⊆B ).
②一一映射f :A →B ：
⑴“一对一”的对应；
⑵A 中不同元素的象必不同, B 中元素都有原象.
2. 函数f : A →B 是特殊的映射. 特殊在定义域A 和值域B 都是非空数集。据此可知函数图像与x 轴的垂线至多有一个公共点, 但与y 轴垂线的公共点可能没有, 也可能有任意个.
3. 函数的三要素：定义域, 值域, 对应法则. 研究函数的问题一定要
注意定义域优先的原则.
4. 求定义域:使函数解析式有意义(如:分母≠0; 偶次根式被开方数非负; 对数真数>0, 底数>0且≠1；零指数幂的底数≠0) ； 实际问题有意义；
若f (x ) 定义域为[a , b ], 复合函数f [g (x )]定义域由a ≤g (x ) ≤b 解出；
若f [g (x )]定义域为[a , b ], 则f (x ) 定义域相当于x ∈[a , b ]时g (x ) 的值域.
5. 求值域常用方法: ①配方法(二次函数类) ；②换元法(特别注意新元的范围). ③不等式法；④单调性法；⑤数形结合：根据函数的几何意义, 利用数形结合的方法来求值域；⑥导数法(一般适用于高次多项式函数).
6. 求函数解析式的常用方法：
⑴待定系数法(已知所求函数的类型) ；⑵代换(配凑) 法；⑶方程的思想----对已知等式进行赋值，从而得到关于f (x ) 及另外一个函数的方程组。
7. 函数的奇偶性和单调性
⑴函数有奇偶性的必要条件是其定义域是关于原点对称的, 确定奇偶性方法有定义法、图像法等；
⑵若f (x ) 是偶函数, 那么f (x ) =f (-x ) =f (|x |)；定义域含零的奇函数必过原点(f (0)=0) ；
⑶判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f (x ) ±f (-x ) =0或f (-x )
f (x ) =±1(f (x ) ≠0) ；
⑷复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.
注意：若判断较为复杂解析式函数的奇偶性，应先化简再判断；既奇又偶的函数有无数个(如f (x ) =0定义域关于原点对称即可). ⑸奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性；
⑹确定函数单调性的方法有定义法、导数法、图像法和特值法(用于小题) 等.
⑺复合函数单调性由“同增异减”判定. （提醒：求单调区间
时注意定义域）
8. 函数图象的几种常见变换
⑴平移变换：左右平移--“左加右减”（注意是针对x 而言）；上下平移----“上加下减”(注意是针对f (x ) 而言).
⑵翻折变换：f (x ) →|f (x ) |；f (x ) →f (|x |).
⑶对称变换：
函数y =f (x ) 与y =f (-x ) 的图像关于直线x =0(y 轴) 对称；函数y =f (x ) 与函数y =f (-x ) 的图像关于直线y =0(x 轴) 对称；
+) x =(f -a 或x 若函数y =f (x ) 对x ∈R 时，f (a
f (x ) =f (2a -x ) 恒成立, 则y =f (x ) 图像关 于直线x =a 对称；若y =f (x ) 对x ∈R 时, f (a +x ) =f (b -x ) 恒成立, 则y =f (x ) 图像关于直线x =
关于直线x =a +b 22对称；函数y =f (a +x ) , y =f (b -x ) 的图像b -a 对称(由a +x =b -x 确定) ；函数y =f (x -a )
a +b
2与y =f (b -x ) 的图像关于直线x =对称；
9. 函数的周期性(必修4) ：
⑴若y =f (x ) 对x ∈R 时f (x +a ) =f (x -a ) 恒成立, 则 f (x ) 的周期为2|a |；
⑵若y =f (x ) 是偶函数, 其图像又关于直线x =a 对称, 则f (x ) 的周期为2|a |；
⑶若y =f (x ) 奇函数, 其图像又关于直线x =a 对称, 则f (x ) 的周期为4|a |；
⑷若y =f (x ) 关于点(a , 0) , (b ,0) 对称, 则f (x ) 的周期为2|a -b |；
⑸y =f (x ) 的图象关于直线x =a , x =b (a ≠b ) 对称, 则函数y =f (x ) 的周期为2|a -b |；
⑹y =f (x ) 对x ∈R 时, f (x +a ) =-f (x ) 或f (x +a ) =-
1f (x ) ,