新人教版第16章二次根式全章教案

第十六章 二次根式

16．1 二次根式(1)

教学内容：

二次根式的概念及其运用 教学目标：

1、知识与技能：理解二次根式的概念，并利用a（a≥0）的意义解答具体题目．

2、过程与方法：提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．经历观察、比较，总结二次根式概念和被开方数取值的过程，发展学生的归纳概括能力。

3、情感态度与价值观：经历观察、比较和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性和创造性，体验发现的快乐，并提高应用的意识。

教学重难点： 1、重点：形如a（a≥0）的式子叫做二次根式的概念；

2、难点：利用“a（a≥0）”解决具体问题。

教学课时：2节

教学类型：新课

教学准备：彩色粉笔、小黑板 教学过程：

一、复习引入

（1）已知x2 = a，那么a是x的______; x是a的______, 记为____, a一定是_____数。

（2）4的算术平方根为2，用式子表示为

4；

正数a的算术平方根为_______， 0的算术平方根为_______； 式子a0(a0)的意义是 。 思考：教材P2思考 二、探索新知：

,s,65,

h

5，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们

很明显

就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，“号．

”称为二次根

思考:(1)-1有算术平方根吗？ (2)0的算术平方根是多少？(3)当a

例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：

11

4xy2、、x、x（x>0）、0、2、2、xy、（x≥0，y•≥0）．

；第二，被开方数是正数或0．

xy 解：二次根式有：2、x（x>0）、、、2、、（x≥0，y•≥0）．

11

3 不是二次根式的有：3、x、2、xy．

例2 （教材P2例1）当x是怎样的实数时，x2在实数范围内有意义？ 解：由x2≥0，得：x≥2。当x≥2时，x2在实数范围内有意义． 四、巩固练习：教材P3练习1、2．

1

补充练习：1、当x是多少时，2x3+x1在实数范围内有意义？

≥0 ①

解：依题意，得≠0 ② 由①得：x≥



3

2 , 由②得：x≠-1

当x≥

3

12且x≠-1时，2x3+x1在实数范围内有意义． x

2、(1)已知y=2x+x2+5，求y的值．(答案:2)

(2)若a1+b1=0，求a+b的值．(答案:0)

五、归纳小结： 本节课要掌握：1．形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数． 六、布置作业：教材P5习题16.1第1、7题 七、板书设计：

八、教学反思：

．要

2

16.1 二次根式(2)

教学内容：

1

a≥0）是一个非负数 2．

2=a（a≥0）． 教学目标：

1

a≥0

2=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简． 2

a≥0）是一个非负数，用具

2=a（a≥0）；最后运用结论严谨解题．

3、情感态度与价值观：通过二次根式的相关计算，进而解决一些实际问题，培养学生解决问题的能力。

教学重难点：1

a≥0）是一个非负数；

2=a（a≥0）及其运用．

2

a≥0）是一个非负数；用探究的方法导出

2

（=a（a≥0）．

教学课时：2节 教学类型：新课

教学准备： 彩色粉笔 教学过程：

一、复习引入：

1．什么叫二次根式？

2．当a≥0

a

二、探究新知：

议一议：提问解答

a≥0）是一个什么数呢？ 得出

a≥0）是一个非负数． 做一做：根据算术平方根的意义填空：

2222

=_______；

=_______；

=______；

=_______；

222

）=______；

=_______；

（=_______．

24的算术平方根，

4的非负数，因此有

=4．同

17

222222

理可得：

=2，

=9，

=3，

=3，

）=2，

=0，

2

所以

=a（a≥0）

三、例题讲解：

2222

例1 计算（1）（.5） （2）（

（3）

（4）

（）

2222 解：（1）（.5） =1.5， （2）（

=2²

=4²5=20，

275222

4． （3）

=6， （4）

（）=2

四、巩固练习：教材P4练习第1题

五、归纳小结：本节课应掌握：

1

a≥0）是一个非负数；

22

2．

=a（a≥0）;反之:a=

（a≥0）．

六、布置作业：教材P5 习题16.1第2题（1）（2）（3）（4） 七、板书设计：

八、教学反思：

16.1 二次根式(3)

教学内容：

a（a≥0） 教学目标：

1.

（a≥0）并利用它进行计算和化简．

2. 过程与方法:

（a≥0），并利用这个结论解决具体问题．

3. 情感、态度与价值观:通过二次根式的相关计算，进而解决一些实际问题，培养学生解决问题的

能力。

教学重难点：1

a（a≥0）．

2．难点：探究结论．讲清a≥0

a才成立． 教学课时：2节

教学类型：新课 教学准备：彩色粉笔 教学过程：

一、复习引入：

1

a≥0）的式子叫做二次根式； 2

a≥0）是一个非负数；

3．

＝a（a≥0）．那么，我们猜想当a≥0

是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题．

二、探究新知：

=__；

；

=___

．

根据算术平方根的意义，我们可以得到：

；

；

132

10

3；

；

7．

（a≥0）

三、例题讲解：

例1 化简

（1

（2

（3

（4

解：（1

（2

（3

（4

2

例2 化简（教材P4例3）： （1） （2）5

22(5)24 解：（1）==4 （2）=5=5

四、巩固练习：教材P4练习第2题． 补充练习：

1、填空：当a≥0

；当a

，•并根据这一性质回答下列问题．（1）

，则a可以是什么数？ （2

，则a可以是什么数？（3

，则a可以是什么数？

2、当x>2

．

五、归纳小结:

（a≥0）及其运用，同时理解当a

a的应用拓展．

六、布置作业：教材P5习题16．1 第2题（4）（5）（7）（8） 七、板书设计：

八、教学反思:

16．2 二次根式的乘除(1)

教学内容:

a≥0，b≥0）a≥0，b≥0）及其运用

教学目标:

1a≥0，b≥0）a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简

2、过程与方法：经历“探索——发现——猜想——验证”的过程引导学生体会合情推理与演绎推理的相互依赖，相互补充的辩证关系；培养学生用规范的数学语言进行表达的习惯和能力。

3、情感、态度与价值观：鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲，体验数学活动中的探索和创新，感受数学的严谨性。

教学重难点:1、重点：＝a≥0，b≥0）a≥0，b≥0）及它们的

运用．

2、 a≥0，b≥0）． 教学课时：4节 教学类型：新课 教学准备：彩色粉笔 教学过程：

一、复习引入： 1．填空

（1=______；（2=________． （3． 参考上面的结果，用“>、

二、探索新知：

总结规律:（1）被开方数都是正数； （2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，•并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数． 一般地，对二次根式的乘法规定为

（a≥0，b≥0）反过来

a≥0，b≥0） 三、例题讲解：

例1．（教材P6例1）计算：（1）

（2

27

解：（1

（2

23

4ab 例2 （教材P7例2）化简：（1

（2）

解：（1

³9=36

2b32ab2b23

4a4ab (2)===2ab

例3 （教材P7例3）计算：（1）7 （2）2 解：（1） =7=72=72=72=72 （2）352=3251062526522 四、巩固练习: 教材P7练习1、2、3题

五、归纳小结：本节课应掌握：

（a≥0，b≥0）

a≥0，b≥0）及其运用． 六、布置作业：教材P10习题16.2第1、3（1）（2）题 七、板书设计：

八、教学反思：

2

2

2

2

16．2 二次根式的乘除（2）

教学内容：

a≥0，b>0）

（a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．

教学目标：

1

a≥0，b>0

（a≥0，b>0）及其应用。

2、过程与方法：利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法法则，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简．

3、情感、态度与价值观：在经历二次根式乘除法运算法则的过程中，获得成就感，建立学习数学的信心和兴趣。

教学重难点：1

a≥0，b>0）

（a≥0，b>0）及它们的应用

2．难点：发现规律，归纳出二次根式的除法规定． 教学课时：2节 教学类型：新课

教学准备： 彩色粉笔 教学过程：

一、复习引入：

（学生活动）请同学们完成下列各题： 1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式．

2．填空：（1

；（2

； （3

；（4

．

二、探索新知：

刚才同学们都练习都很好，根据大家的练习和回答，我们可以得到： 一般地，对二次根式的除法规定：

aaaa

b(a≥0，b≥0）b(a≥0，b≥0） ，反过来，b

三、例题讲解：

2431



18 例1．计算（教材P8例4）：（1） （2）22424

解：（1）3=3=8=42=42=22

33131

18

2218218 （2）===9= 375

例2．化简（教材P8例5）：（1）100 （2）27

75253535375 解：（1）100==10 （2）27=27=3=33=3

四、巩固练习：教材P10练习1．

a≥0，b>0

（a≥0，b>0）及其运用．

六、布置作业 ：教材P11 习题16．2 第 2题 七、板书设计：

八、教学反思：

16.2 二次根式的乘除(3)

教学内容：

最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算． 教学目标

1、知识与技能：理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式． 2、过程与方法：通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求．

3. 情感、态度与价值观：在经历探索最简二次根式的定义的过程中，获得成就感，建立学习数学的信心和兴趣。

教学重难点：1．重点：最简二次根式的运用．

2．难点：会判断这个二次根式是否是最简二次根式． 教学课时：2节 教学类型：新课

教学准备： 彩色粉笔 教学过程：

一、复习引入：

计算（1

（2

（3

解：（1

， （2

=， （3

二、探索新知：

观察上面计算题的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点： 1．被开方数不含分母；

2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．

我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．

在二次根式的运算中，一般要把运算结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式。 三、例题讲解 ：

332例1．计算（教材P9例6）：(1)5； (2) 27； (3) 2a

3351522

5555 5 解：(1)=5

323222632

2

3 3 (2) 27=332a4a2a

2aa (3) 2a=2a2a

例2 （教材P9例7）设长方形的面积为S，相邻两边长分别为a，b。已知S=2,b, 求a。

a

解：因为S=ab，所以

s223b5 四、巩固练习：教材P10练习2、3

五、归纳小结：本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用． 六、布置作业：教材P10 习题16．2第 3（3）、（4）、4题 七、板书设计：

八、教学反思:

16.3 二次根式的加减(1)

教学内容:

二次根式的加减 教学目标:

1、知识技能：理解和掌握二次根式加减的方法．

2、过程与方法：先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解．再总结经验，用它来指导根式的计算和化简．

3、情感态度与价值观：培养学生在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解．再总结经验，用它来指导根式的计算和化简．

教学重难点： 1．重点：二次根式化简为最简根式．

2．难点关键：会判定是否是最简二次根式．

教学课时：3节 教学类型：新课 教学准备：彩色粉笔 教学过程：

一、复习引入： 计算下列各式．

（1）2x+3x； （2）2x2-3x2+5x2； （3）x+2x+3y； （4）3a2-2a2+a3

总结：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并．同类项合并就是字母不变，系数相加减．

二、探索新知：

例：计算下列各式．

（1）

（2）

（3

（4）

总结： （1

x，不就转化为上面的问题吗？

（2+3

（2

y：

有

（2-3+5

（3

z： 有



（1+2+3

（4

x

y，

有

（3-2

因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如

合并吗？（可以的）．

所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，•再将被开方数相同的二次根式

进行合并．

三、例题讲解：

例1．计算（教材P13例1):（1）45 （2）9a25a

解：（1）45=43=;（2）9a25a=3a5=8a

26

1

3483; （2）(20)(5)

例2．计算（教材P13例2):（1）

26

解：（1）

1

3483=42312=14

（2）(20)()=225=35

四、巩固练习： 教材P13 练习第1、2、3题。

五、归纳小结： 本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二次根式进行合并．

六、布置作业：教材P15 习题16．3 第 2、3题 七、板书设计：

八、教学反思：

16.3 二次根式的加减(2)

教学内容：

含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、相除；多项式与多项式相乘、相除；乘法公式的应用． 教学目标：

1、知识与技能：含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用． 2、过程与方法：复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算． 3、情感态度与价值观：感受数学的实用价值，提高解决问题的能力。 教学重难点：1、重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律；

2、难点：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算．

教学课时：3节 教学类型：新课 教学准备：彩色粉笔 教学过程

一、复习引入： 1．计算：（1）（2x+y）²zx （2）（2x2y+3xy2）÷xy 2．计算：（1）（2x+3y）（2x-3y） （2）（2x+1）2+（2x-1）2

总结：这些内容是对八年级上册整式运算的再现．它主要有（1）•单项式³单项式；（2）单项式³多项式；（3）多项式÷单项式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的运用． 二、探索新知：

如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？•仍成立．

整式运算中的x、y、z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，•当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式． 三、例题讲解:

例1．计算（教材P14例3）:

（1）（+）³6 （2）（

解：（1）

6+

6

3

（2）（

2

例2．计算（教材P14例4）

（1）（+3）（2-5） （2）（

（5

2

(2)2 解：（1）（+3）（-5）=+32-52-15=2-22-15=-13-22

（2）（5

（

=（5)2-

2 =5-3=2 四、巩固练习: 课本P14 练习第1、2题

五、归纳小结:本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算． 六、布置作业:教材P15 习题16．3 第4题． 七、板书设计：

八、教学反思：

16.1 二次根式练习题 一、选择题：

1．下列式子中，是二次根式的是：A．

．

．

．x （ ）

1

2．下列式子中，不是二次根式的是：A

．．x （ )

3、若

xy

=0，则实数x与y的关系是： （ ）

A、x,y是异号 B、x,y不相等 C、x=y=0 D、x,y互为相反数

4

（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1

5、数a没有算术平方根，则a的取值范围是（ ）．A．a>0 B．a≥0 C．a

1、当x 时，2x在实数范围内有意义。当a 时，2a在实数范围内有意义。

2

2、若1x是二次根式，则x ，

3

_______数．

22()

(1.2)234、-=________． =

三、解答题：

1

1．计算:（1）

2 （2）-

2 （3）（2

2

72

()2

(3)11 （4）（

）2 （5） （6）

2、已知a、b

=b+4，求a、b的值 3

，求x+y的值．

4、在实数范围内分解下列因式: （1）x2-2 （2）x4-9 16.2 二次根式的乘除练习题 一、选择题

1

的结果是：A．

-3 B．

C．

- D．

（ ）

2

的结果是：A．72

2．7 C

． （ ）

3．

y>0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是 （ ）

A

（y>0） B

y>0） C

．（y>0） D．以上都不对

下列各等式成立的是 （ ） A．

4

．

．

．

在下列各式中，化简正确的是 （ ）

1

A

±2

二、填空题

．

．

1

（x≥0）

2．分母有理化

3．已知x=3，y=4，z=5

_______．

4.

__________ 三、解答题



1 1. 计算：：



2（3

（4）

2. 化简

3．若x、y为实数，且

y=

第十七章 勾股定理

17.1 勾股定理 (1)

教学目标：

1、知识与技能：掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理，能说出勾股定理,并能应用其进行简单的计算和实际运用.

2、过程与方法：经历观察—猜想—归纳—验证的数学发现过程,发展合情推理的能力,体会数形结合和由特殊到一般的数学思想.

3、情感态度与价值观：在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐； 教学重难点：重点： 知道勾股定理的结果，并能运用于解题。

难点：进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力。

教学课时：2 教学类型：新课

教学准备：彩色粉笔、三角尺、图片、四个全等的直角三角形 教学过程： 一、课堂导入

2002年世界数学家大会在我国北京召开，出示显示本届世界数学家大会 的会标：会标中央的图案是一个与“勾股定理”有关的图形，数学家曾建议 用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号．今天我们就来一同探 索勾股定理。 二、合作探究：

让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长。

以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。

再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长。 讨论：32+42与52有何关系？52+122和132有何关系？通过计算得到32+42=52，52+122=132，于是有勾2+股2=弦2。对于任意的直角三角形也有这个性质吗？

用四个全等的直角三角形拼成如图所示的图形，

其等量关系

为：4S△+S小正=S大正，即 4×

1

ab＋（b－a）2=c2，化简可得a2b2c2 2

讨论 归纳总结 得出结论

命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b.斜边长为c。那么a2b2c2 三、证明定理

勾股定理的证明方法，达300余种。下面这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手，同学们，试一试？

已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。 求证：a2＋b2=c2。

分析：左右两边的正方形边长相等，则 两个正方形的面积相等。

b

1

左边S=4³ab＋c2 ，右边S=（a+b）2

2

左边和右边面积相等，即 4³

b

b

1

ab＋c2=（a+b）2 化简可证。这样就证明了命题1的正确性我国把它叫勾股定理 2

四、课堂练习： 教材P24 练习第1、2题 五、归纳小结：什么叫勾股定理？怎样证明？ 六 、作业布置：教材P28 -习题17.1 第 1题 板书设计：

教学反思：

17.1 勾股定理（2）

教学目标：

1、知识与技能：掌握勾股定理的内容，会用勾股定理解决简单的实际问题。 2、过程与方法：经历观察—猜想—归纳—验证的数学发现过程,发展合情推理的能力,体会数形结合和由特殊到一般的数学思想. 树立数形结合的思想

3、情感态度与价值观：通过对勾股定理历史的了解和实例应用，体会勾股定理的文化价值；通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进数学学习的信心.激发学生的民族自豪感。

教学重难点：重点：勾股定理的简单计算。勾股定理的应用。

难点：勾股定理的灵活运用。实际问题向数学问题的转化。

教学课时：2 教学类型：新课

教学准备：彩色粉笔、三角尺 教学过程： 一、课堂导入：

问题1、什么叫勾股定理？怎样证明？

问题2、如何将实际问题转化为数学问题，之后用勾股定理解决实际问题呢？ 注意条件的转化；学会如何利用数学知识、思想、方法解决实际问题。 二、合作探究：

议一议：看书、讨论 归纳解题方法

勾股定理在实际的生产生活当中有着广泛的应用。勾股定理的发现和使用解决了许多生活中的问题，今天我们就来运用勾股定理解决一些问题，你可以吗？试一试。 三、例题讲解：

例1 （教材P25-例1）一个门框的尺寸如图所示，一块长3 m， 宽2 m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？ 分析：可以看出，木板横着或竖着都不能从门框内通过，只能试 试斜着能否通过。门框对角线AC的长度是斜着能通过的最大长度， 求出AC，再与木板的宽比较，就能知道木板能否通过。 解：在RtABC中，根据勾股定理，得

AC2AB2BC212225，AC52.24 因为AC大于木板的宽2.2 m，所以木板能从门框内通过。

A

B

C

例2 （教材P25-例2）如图，一架2.6 m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4 m。如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5 m，那么梯子底端B也外移0.5 m吗？ 解：可以看出，BD=OD-OB. 在RtAOB中，根据勾股定理， OB2AB2OA22.622.421,OB1。 在RtCOD中，根据勾股定理，

OD2CD2OC22.62(2.40.5)23.15。 OD.151.77，

BDODOB1.7710.77

所以梯子的顶端A沿墙下滑0.5 m时，梯子底端并不是也外移0.5 m，而是外移0.77m。 四、课堂练习： 教材P26-练习1、2

五、归纳小结：1、用勾股定理计算时，要先画好图形，并标好图形，理清边之间的关系，之后灵活运用勾股定理计算。

2、注意条件的转化；学会如何利用数学 知识、思想、方法解决实际问题。

六、作业布置：教材P28-习题17.1第2、4题 板书设计：

教学反思：

17.1 勾股定理 (3)

教学目标：

1、知识与技能：掌握勾股定理的内容，会用勾股定理在数轴上找出表示一个无理数的点。

2、过程与方法：经历观察—猜想—归纳—验证的数学发现过程,发展合情推理的能力,体会数形结合和由特殊到一般的数学思想. 树立数形结合的思想

3、情感态度与价值观：通过对勾股定理的应用，体会勾股定理的文化价值，树立数形结合的思想。

教学重难点：重点：会用勾股定理在数轴上标出一个表示无理数的点

难点：在数轴上标出一个表示无理数的点。

教学课时：2 教学类型：新课

教学准备：彩色粉笔、圆规、三角板 教学过程： 一、课堂导入：

我们知道，所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，反过来，数轴上所有的点并不是都表示有理数，有的表示无理数，那么，怎么在数轴上找出表示无理数的点呢？今天我们就来学习在数轴上找出表示无理数的点。 二、合作探究：

我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示的点吗？

如果能画出长为的线段，就能在数轴上画出表示的点。容易知道，长为2的线段是两条直角边的长都为1的直角三角形的斜边。长为的线段能是直角边的长为正整数的直角三角形的斜边吗？

利用勾股定理，可以发现，直角边的长为正整数2,3的直角三角形的斜边长为。由此，可以依照如下方法在数轴上画出表示的点。

如图17.1-10，在数轴上找出表示3的点A，则OA=3，

过点A作直线l垂直OA，在l上取点B，使AB=2，以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示的点。

三、例题讲解

例 利用勾股定理，在数轴上画出表示235的点 解：如图

四、课堂练习： 教材P27-练习第1、2题 五、课堂小结

这节课我们主要学习了利用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点的方法。 六、作业布置：

教材P28-习题17.1第6、7题 板书设计：

教学反思：

17.2勾股定理的逆定理（1）

教学目标：

1、知识与技能：掌握勾股定理的逆定理，探究勾股定理的逆定理的证明方法。理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。

2、过程与方法：经历观察—猜想—归纳—验证的数学发现过程,发展合情推理的能力,通过对勾股定理的逆定理的证明的探究，理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。体会数形结合和由特殊到一般的数学思想.

3、情感态度与价值观：通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进数学学习的信心.树立数形 结合的思想、分类讨论思想。

教学重难点：重点：勾股定理的逆定理，原命题、逆命题、逆定理的概念及关系

难点：勾股定理的逆定理的证明方法

教学课时：2 教学类型：新课

教学准备：彩色粉笔、三角板 教学过程： 一、课堂导入：

问题：勾股定理的内容是什么？如果把勾股定理的题设和结论互换，会得到什么命题呢？

怎样判定一个三角形是等腰三角形？怎样判定一个三角形是直角三角形？和等腰三角形的判定进行对比，从勾股定理的逆命题进行猜想。 二、合作探究：

把勾股定理的题设和结论互换，讨论 、交流、得出命题二

命题2：如果三角形的三边长a、b、c满足a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形

同学们想一想： 命题一 命题二有什么关系？

看书、讨论、归纳 得出互逆命题的定义

我们把题设和结论刚好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

证明命题2：如果三角形的三边长a，b，c满足a+b=c，那么这个三角形是直角三角形。

2

2

2

已知：在图17.2-2中，ABC的三边长分别为a,b,c，且满足a2b2c2， 求证：ABC是直角三角形。

证明：画ΔA1B1C1，使B1C1=a，，A1C1=b，∠A1C1B1=900，由勾股定理得A1B12=a2+b2,， ∵ a2b2c2 ∴ A1B12=c2，即 A1B1=c ∴ ABC≌ΔA1B1C1， ∴ ∠C=∠C1=900

即ABC时直角三角形

三、例题讲解

例1 (教材P32例1）判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形： （1）a=15，b=8，c=17； （2）a=13，b=14,c=15. 解：（1）∵152+82=255+64=289,172=289，∴152+82=172 根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形。 （2）∵132142169196365，152255 ，∴132142≠152 根据勾股定理的逆定理，这个三角形不是直角三角形。 四、课堂练习：教材P33-练习第1、2题

五、课堂小结： 这节课我们主要学习了勾股定理的逆定理和原命题，逆命题，逆定理的概念，及它们之间的关系

六、作业布置：教材P34-习题17.2第1、2题 板书设计：

B

bC

A1

C1

教学反思：

17.2 勾股定理的逆定理（2）

教学目标：

1、知识与技能：掌握勾股定理的逆定理,灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题,进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。

2、过程与方法：经历观察—猜想—归纳—验证的数学发现过程,发展合情推理的能力,体会数形结合和由特殊到一般的数学思想.

3、情感态度与价值观：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。培养学生利用方程思想解决问题，进一步养成利用勾股定理的逆定理解决实际问题的意识。 教学重难点：重点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

教学课时：2 教学类型：新课

教学准备：彩色粉笔、三角板 教学过程： 一、课堂导入：

什么叫勾股定理？勾股定理的逆定理？怎样灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题呢？在前面我们以经学习过，今天我们继续学习，灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

二、合作探究：

例1 （课本P33例2）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上。“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16 n mile，“海天”号每小时航行

E

12 n mile。他们离开港口一个半小时后分别位于R、Q处，且相距

30 n mile.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？

解：依题意可得PQ=12³1.5=18，PR=16³1.5=24， QR=30；

因为242+182=302，即PQ2+PR2=QR2，根据勾股定理的逆定理，知∠QPR=90 由“远航”号沿东北方向航行可知，∠SPR=45°，因此∠QPS=45°，即“海天”号

沿西北方向航行

小结：让学生养成“已知三边求角，利用勾股定理的逆定理”的意识。

例2（补充）一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较

短边长7米，比较长边短1米，请你试判断这个三角形的形状。 分析：⑴若判断三角形的形状，先求三角形的三边长；

⑵设未知数列方程，求出三角形的三边长5、12、13；

⑶根据勾股定理的逆定理，由52+122=132，知三角形为直角三角形。 解略。

例1、 例2两题 分小组讨论 ，小组发言，后全班展示

三、课堂练习：教材P33第3题 （补充题）填空

四、归纳小结：1、勾股定理及逆定理。

2、养成“已知三边求角，利用勾股定理的逆定理”的意识。 3、灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

五、作业布置：教材P34-习题17.2第4、5题 板书设计：

教学反思：

第十八章平行四边形

31

33

34

35

36

40

第十六章 二次根式

16．1 二次根式(1)

教学内容：

二次根式的概念及其运用 教学目标：

1、知识与技能：理解二次根式的概念，并利用a（a≥0）的意义解答具体题目．

2、过程与方法：提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．经历观察、比较，总结二次根式概念和被开方数取值的过程，发展学生的归纳概括能力。

3、情感态度与价值观：经历观察、比较和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性和创造性，体验发现的快乐，并提高应用的意识。

教学重难点： 1、重点：形如a（a≥0）的式子叫做二次根式的概念；

2、难点：利用“a（a≥0）”解决具体问题。

教学课时：2节

教学类型：新课

教学准备：彩色粉笔、小黑板 教学过程：

一、复习引入

（1）已知x2 = a，那么a是x的______; x是a的______, 记为____, a一定是_____数。

（2）4的算术平方根为2，用式子表示为

4；

正数a的算术平方根为_______， 0的算术平方根为_______； 式子a0(a0)的意义是 。 思考：教材P2思考 二、探索新知：

,s,65,

h

5，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们

很明显

就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，“号．

”称为二次根

思考:(1)-1有算术平方根吗？ (2)0的算术平方根是多少？(3)当a

例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：

11

4xy2、、x、x（x>0）、0、2、2、xy、（x≥0，y•≥0）．

；第二，被开方数是正数或0．

xy 解：二次根式有：2、x（x>0）、、、2、、（x≥0，y•≥0）．

11

3 不是二次根式的有：3、x、2、xy．

例2 （教材P2例1）当x是怎样的实数时，x2在实数范围内有意义？ 解：由x2≥0，得：x≥2。当x≥2时，x2在实数范围内有意义． 四、巩固练习：教材P3练习1、2．

1

补充练习：1、当x是多少时，2x3+x1在实数范围内有意义？

≥0 ①

解：依题意，得≠0 ② 由①得：x≥



3

2 , 由②得：x≠-1

当x≥

3

12且x≠-1时，2x3+x1在实数范围内有意义． x

2、(1)已知y=2x+x2+5，求y的值．(答案:2)

(2)若a1+b1=0，求a+b的值．(答案:0)

五、归纳小结： 本节课要掌握：1．形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数． 六、布置作业：教材P5习题16.1第1、7题 七、板书设计：

八、教学反思：

．要

2

16.1 二次根式(2)

教学内容：

1

a≥0）是一个非负数 2．

2=a（a≥0）． 教学目标：

1

a≥0

2=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简． 2

a≥0）是一个非负数，用具

2=a（a≥0）；最后运用结论严谨解题．

3、情感态度与价值观：通过二次根式的相关计算，进而解决一些实际问题，培养学生解决问题的能力。

教学重难点：1

a≥0）是一个非负数；

2=a（a≥0）及其运用．

2

a≥0）是一个非负数；用探究的方法导出

2

（=a（a≥0）．

教学课时：2节 教学类型：新课

教学准备： 彩色粉笔 教学过程：

一、复习引入：

1．什么叫二次根式？

2．当a≥0

a

二、探究新知：

议一议：提问解答

a≥0）是一个什么数呢？ 得出

a≥0）是一个非负数． 做一做：根据算术平方根的意义填空：

2222

=_______；

=_______；

=______；

=_______；

222

）=______；

=_______；

（=_______．

24的算术平方根，

4的非负数，因此有

=4．同

17

222222

理可得：

=2，

=9，

=3，

=3，

）=2，

=0，

2

所以

=a（a≥0）

三、例题讲解：

2222

例1 计算（1）（.5） （2）（

（3）

（4）

（）

2222 解：（1）（.5） =1.5， （2）（

=2²

=4²5=20，

275222

4． （3）

=6， （4）

（）=2

四、巩固练习：教材P4练习第1题

五、归纳小结：本节课应掌握：

1

a≥0）是一个非负数；

22

2．

=a（a≥0）;反之:a=

（a≥0）．

六、布置作业：教材P5 习题16.1第2题（1）（2）（3）（4） 七、板书设计：

八、教学反思：

16.1 二次根式(3)

教学内容：

a（a≥0） 教学目标：

1.

（a≥0）并利用它进行计算和化简．

2. 过程与方法:

（a≥0），并利用这个结论解决具体问题．

3. 情感、态度与价值观:通过二次根式的相关计算，进而解决一些实际问题，培养学生解决问题的

能力。

教学重难点：1

a（a≥0）．

2．难点：探究结论．讲清a≥0

a才成立． 教学课时：2节

教学类型：新课 教学准备：彩色粉笔 教学过程：

一、复习引入：

1

a≥0）的式子叫做二次根式； 2

a≥0）是一个非负数；

3．

＝a（a≥0）．那么，我们猜想当a≥0

是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题．

二、探究新知：

=__；

；

=___

．

根据算术平方根的意义，我们可以得到：

；

；

132

10

3；

；

7．

（a≥0）

三、例题讲解：

例1 化简

（1

（2

（3

（4

解：（1

（2

（3

（4

2

例2 化简（教材P4例3）： （1） （2）5

22(5)24 解：（1）==4 （2）=5=5

四、巩固练习：教材P4练习第2题． 补充练习：

1、填空：当a≥0

；当a

，•并根据这一性质回答下列问题．（1）

，则a可以是什么数？ （2

，则a可以是什么数？（3

，则a可以是什么数？

2、当x>2

．

五、归纳小结:

（a≥0）及其运用，同时理解当a

a的应用拓展．

六、布置作业：教材P5习题16．1 第2题（4）（5）（7）（8） 七、板书设计：

八、教学反思:

16．2 二次根式的乘除(1)

教学内容:

a≥0，b≥0）a≥0，b≥0）及其运用

教学目标:

1a≥0，b≥0）a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简

2、过程与方法：经历“探索——发现——猜想——验证”的过程引导学生体会合情推理与演绎推理的相互依赖，相互补充的辩证关系；培养学生用规范的数学语言进行表达的习惯和能力。

3、情感、态度与价值观：鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲，体验数学活动中的探索和创新，感受数学的严谨性。

教学重难点:1、重点：＝a≥0，b≥0）a≥0，b≥0）及它们的

运用．

2、 a≥0，b≥0）． 教学课时：4节 教学类型：新课 教学准备：彩色粉笔 教学过程：

一、复习引入： 1．填空

（1=______；（2=________． （3． 参考上面的结果，用“>、

二、探索新知：

总结规律:（1）被开方数都是正数； （2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，•并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数． 一般地，对二次根式的乘法规定为

（a≥0，b≥0）反过来

a≥0，b≥0） 三、例题讲解：

例1．（教材P6例1）计算：（1）

（2

27

解：（1

（2

23

4ab 例2 （教材P7例2）化简：（1

（2）

解：（1

³9=36

2b32ab2b23

4a4ab (2)===2ab

例3 （教材P7例3）计算：（1）7 （2）2 解：（1） =7=72=72=72=72 （2）352=3251062526522 四、巩固练习: 教材P7练习1、2、3题

五、归纳小结：本节课应掌握：

（a≥0，b≥0）

a≥0，b≥0）及其运用． 六、布置作业：教材P10习题16.2第1、3（1）（2）题 七、板书设计：

八、教学反思：

2

2

2

2

16．2 二次根式的乘除（2）

教学内容：

a≥0，b>0）

（a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．

教学目标：

1

a≥0，b>0

（a≥0，b>0）及其应用。

2、过程与方法：利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法法则，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简．

3、情感、态度与价值观：在经历二次根式乘除法运算法则的过程中，获得成就感，建立学习数学的信心和兴趣。

教学重难点：1

a≥0，b>0）

（a≥0，b>0）及它们的应用

2．难点：发现规律，归纳出二次根式的除法规定． 教学课时：2节 教学类型：新课

教学准备： 彩色粉笔 教学过程：

一、复习引入：

（学生活动）请同学们完成下列各题： 1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式．

2．填空：（1

；（2

； （3

；（4

．

二、探索新知：

刚才同学们都练习都很好，根据大家的练习和回答，我们可以得到： 一般地，对二次根式的除法规定：

aaaa

b(a≥0，b≥0）b(a≥0，b≥0） ，反过来，b

三、例题讲解：

2431



18 例1．计算（教材P8例4）：（1） （2）22424

解：（1）3=3=8=42=42=22

33131

18

2218218 （2）===9= 375

例2．化简（教材P8例5）：（1）100 （2）27

75253535375 解：（1）100==10 （2）27=27=3=33=3

四、巩固练习：教材P10练习1．

a≥0，b>0

（a≥0，b>0）及其运用．

六、布置作业 ：教材P11 习题16．2 第 2题 七、板书设计：

八、教学反思：

16.2 二次根式的乘除(3)

教学内容：

最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算． 教学目标

1、知识与技能：理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式． 2、过程与方法：通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求．

3. 情感、态度与价值观：在经历探索最简二次根式的定义的过程中，获得成就感，建立学习数学的信心和兴趣。

教学重难点：1．重点：最简二次根式的运用．

2．难点：会判断这个二次根式是否是最简二次根式． 教学课时：2节 教学类型：新课

教学准备： 彩色粉笔 教学过程：

一、复习引入：

计算（1

（2

（3

解：（1

， （2

=， （3

二、探索新知：

观察上面计算题的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点： 1．被开方数不含分母；

2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．

我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．

在二次根式的运算中，一般要把运算结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式。 三、例题讲解 ：

332例1．计算（教材P9例6）：(1)5； (2) 27； (3) 2a

3351522

5555 5 解：(1)=5

323222632

2

3 3 (2) 27=332a4a2a

2aa (3) 2a=2a2a

例2 （教材P9例7）设长方形的面积为S，相邻两边长分别为a，b。已知S=2,b, 求a。

a

解：因为S=ab，所以

s223b5 四、巩固练习：教材P10练习2、3

五、归纳小结：本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用． 六、布置作业：教材P10 习题16．2第 3（3）、（4）、4题 七、板书设计：

八、教学反思:

16.3 二次根式的加减(1)

教学内容:

二次根式的加减 教学目标:

1、知识技能：理解和掌握二次根式加减的方法．

2、过程与方法：先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解．再总结经验，用它来指导根式的计算和化简．

3、情感态度与价值观：培养学生在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解．再总结经验，用它来指导根式的计算和化简．

教学重难点： 1．重点：二次根式化简为最简根式．

2．难点关键：会判定是否是最简二次根式．

教学课时：3节 教学类型：新课 教学准备：彩色粉笔 教学过程：

一、复习引入： 计算下列各式．

（1）2x+3x； （2）2x2-3x2+5x2； （3）x+2x+3y； （4）3a2-2a2+a3

总结：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并．同类项合并就是字母不变，系数相加减．

二、探索新知：

例：计算下列各式．

（1）

（2）

（3

（4）

总结： （1

x，不就转化为上面的问题吗？

（2+3

（2

y：

有

（2-3+5

（3

z： 有



（1+2+3

（4

x

y，

有

（3-2

因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如

合并吗？（可以的）．

所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，•再将被开方数相同的二次根式

进行合并．

三、例题讲解：

例1．计算（教材P13例1):（1）45 （2）9a25a

解：（1）45=43=;（2）9a25a=3a5=8a

26

1

3483; （2）(20)(5)

例2．计算（教材P13例2):（1）

26

解：（1）

1

3483=42312=14

（2）(20)()=225=35

四、巩固练习： 教材P13 练习第1、2、3题。

五、归纳小结： 本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二次根式进行合并．

六、布置作业：教材P15 习题16．3 第 2、3题 七、板书设计：

八、教学反思：

16.3 二次根式的加减(2)

教学内容：

含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、相除；多项式与多项式相乘、相除；乘法公式的应用． 教学目标：

1、知识与技能：含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用． 2、过程与方法：复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算． 3、情感态度与价值观：感受数学的实用价值，提高解决问题的能力。 教学重难点：1、重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律；

2、难点：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算．

教学课时：3节 教学类型：新课 教学准备：彩色粉笔 教学过程

一、复习引入： 1．计算：（1）（2x+y）²zx （2）（2x2y+3xy2）÷xy 2．计算：（1）（2x+3y）（2x-3y） （2）（2x+1）2+（2x-1）2

总结：这些内容是对八年级上册整式运算的再现．它主要有（1）•单项式³单项式；（2）单项式³多项式；（3）多项式÷单项式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的运用． 二、探索新知：

如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？•仍成立．

整式运算中的x、y、z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，•当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式． 三、例题讲解:

例1．计算（教材P14例3）:

（1）（+）³6 （2）（

解：（1）

6+

6

3

（2）（

2

例2．计算（教材P14例4）

（1）（+3）（2-5） （2）（

（5

2

(2)2 解：（1）（+3）（-5）=+32-52-15=2-22-15=-13-22

（2）（5

（

=（5)2-

2 =5-3=2 四、巩固练习: 课本P14 练习第1、2题

五、归纳小结:本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算． 六、布置作业:教材P15 习题16．3 第4题． 七、板书设计：

八、教学反思：

16.1 二次根式练习题 一、选择题：

1．下列式子中，是二次根式的是：A．

．

．

．x （ ）

1

2．下列式子中，不是二次根式的是：A

．．x （ )

3、若

xy

=0，则实数x与y的关系是： （ ）

A、x,y是异号 B、x,y不相等 C、x=y=0 D、x,y互为相反数

4

（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1

5、数a没有算术平方根，则a的取值范围是（ ）．A．a>0 B．a≥0 C．a

1、当x 时，2x在实数范围内有意义。当a 时，2a在实数范围内有意义。

2

2、若1x是二次根式，则x ，

3

_______数．

22()

(1.2)234、-=________． =

三、解答题：

1

1．计算:（1）

2 （2）-

2 （3）（2

2

72

()2

(3)11 （4）（

）2 （5） （6）

2、已知a、b

=b+4，求a、b的值 3

，求x+y的值．

4、在实数范围内分解下列因式: （1）x2-2 （2）x4-9 16.2 二次根式的乘除练习题 一、选择题

1

的结果是：A．

-3 B．

C．

- D．

（ ）

2

的结果是：A．72

2．7 C

． （ ）

3．

y>0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是 （ ）

A

（y>0） B

y>0） C

．（y>0） D．以上都不对

下列各等式成立的是 （ ） A．

4

．

．

．

在下列各式中，化简正确的是 （ ）

1

A

±2

二、填空题

．

．

1

（x≥0）

2．分母有理化

3．已知x=3，y=4，z=5

_______．

4.

__________ 三、解答题



1 1. 计算：：



2（3

（4）

2. 化简

3．若x、y为实数，且

y=

第十七章 勾股定理

17.1 勾股定理 (1)

教学目标：

1、知识与技能：掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理，能说出勾股定理,并能应用其进行简单的计算和实际运用.

2、过程与方法：经历观察—猜想—归纳—验证的数学发现过程,发展合情推理的能力,体会数形结合和由特殊到一般的数学思想.

3、情感态度与价值观：在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐； 教学重难点：重点： 知道勾股定理的结果，并能运用于解题。

难点：进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力。

教学课时：2 教学类型：新课

教学准备：彩色粉笔、三角尺、图片、四个全等的直角三角形 教学过程： 一、课堂导入

2002年世界数学家大会在我国北京召开，出示显示本届世界数学家大会 的会标：会标中央的图案是一个与“勾股定理”有关的图形，数学家曾建议 用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号．今天我们就来一同探 索勾股定理。 二、合作探究：

让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长。

以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。

再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长。 讨论：32+42与52有何关系？52+122和132有何关系？通过计算得到32+42=52，52+122=132，于是有勾2+股2=弦2。对于任意的直角三角形也有这个性质吗？

用四个全等的直角三角形拼成如图所示的图形，

其等量关系

为：4S△+S小正=S大正，即 4×

1

ab＋（b－a）2=c2，化简可得a2b2c2 2

讨论 归纳总结 得出结论

命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b.斜边长为c。那么a2b2c2 三、证明定理

勾股定理的证明方法，达300余种。下面这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手，同学们，试一试？

已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。 求证：a2＋b2=c2。

分析：左右两边的正方形边长相等，则 两个正方形的面积相等。

b

1

左边S=4³ab＋c2 ，右边S=（a+b）2

2

左边和右边面积相等，即 4³

b

b

1

ab＋c2=（a+b）2 化简可证。这样就证明了命题1的正确性我国把它叫勾股定理 2

四、课堂练习： 教材P24 练习第1、2题 五、归纳小结：什么叫勾股定理？怎样证明？ 六 、作业布置：教材P28 -习题17.1 第 1题 板书设计：

教学反思：

17.1 勾股定理（2）

教学目标：

1、知识与技能：掌握勾股定理的内容，会用勾股定理解决简单的实际问题。 2、过程与方法：经历观察—猜想—归纳—验证的数学发现过程,发展合情推理的能力,体会数形结合和由特殊到一般的数学思想. 树立数形结合的思想

3、情感态度与价值观：通过对勾股定理历史的了解和实例应用，体会勾股定理的文化价值；通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进数学学习的信心.激发学生的民族自豪感。

教学重难点：重点：勾股定理的简单计算。勾股定理的应用。

难点：勾股定理的灵活运用。实际问题向数学问题的转化。

教学课时：2 教学类型：新课

教学准备：彩色粉笔、三角尺 教学过程： 一、课堂导入：

问题1、什么叫勾股定理？怎样证明？

问题2、如何将实际问题转化为数学问题，之后用勾股定理解决实际问题呢？ 注意条件的转化；学会如何利用数学知识、思想、方法解决实际问题。 二、合作探究：

议一议：看书、讨论 归纳解题方法

勾股定理在实际的生产生活当中有着广泛的应用。勾股定理的发现和使用解决了许多生活中的问题，今天我们就来运用勾股定理解决一些问题，你可以吗？试一试。 三、例题讲解：

例1 （教材P25-例1）一个门框的尺寸如图所示，一块长3 m， 宽2 m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？ 分析：可以看出，木板横着或竖着都不能从门框内通过，只能试 试斜着能否通过。门框对角线AC的长度是斜着能通过的最大长度， 求出AC，再与木板的宽比较，就能知道木板能否通过。 解：在RtABC中，根据勾股定理，得

AC2AB2BC212225，AC52.24 因为AC大于木板的宽2.2 m，所以木板能从门框内通过。

A

B

C

例2 （教材P25-例2）如图，一架2.6 m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4 m。如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5 m，那么梯子底端B也外移0.5 m吗？ 解：可以看出，BD=OD-OB. 在RtAOB中，根据勾股定理， OB2AB2OA22.622.421,OB1。 在RtCOD中，根据勾股定理，

OD2CD2OC22.62(2.40.5)23.15。 OD.151.77，

BDODOB1.7710.77

所以梯子的顶端A沿墙下滑0.5 m时，梯子底端并不是也外移0.5 m，而是外移0.77m。 四、课堂练习： 教材P26-练习1、2

五、归纳小结：1、用勾股定理计算时，要先画好图形，并标好图形，理清边之间的关系，之后灵活运用勾股定理计算。

2、注意条件的转化；学会如何利用数学 知识、思想、方法解决实际问题。

六、作业布置：教材P28-习题17.1第2、4题 板书设计：

教学反思：

17.1 勾股定理 (3)

教学目标：

1、知识与技能：掌握勾股定理的内容，会用勾股定理在数轴上找出表示一个无理数的点。

2、过程与方法：经历观察—猜想—归纳—验证的数学发现过程,发展合情推理的能力,体会数形结合和由特殊到一般的数学思想. 树立数形结合的思想

3、情感态度与价值观：通过对勾股定理的应用，体会勾股定理的文化价值，树立数形结合的思想。

教学重难点：重点：会用勾股定理在数轴上标出一个表示无理数的点

难点：在数轴上标出一个表示无理数的点。

教学课时：2 教学类型：新课

教学准备：彩色粉笔、圆规、三角板 教学过程： 一、课堂导入：

我们知道，所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，反过来，数轴上所有的点并不是都表示有理数，有的表示无理数，那么，怎么在数轴上找出表示无理数的点呢？今天我们就来学习在数轴上找出表示无理数的点。 二、合作探究：

我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示的点吗？

如果能画出长为的线段，就能在数轴上画出表示的点。容易知道，长为2的线段是两条直角边的长都为1的直角三角形的斜边。长为的线段能是直角边的长为正整数的直角三角形的斜边吗？

利用勾股定理，可以发现，直角边的长为正整数2,3的直角三角形的斜边长为。由此，可以依照如下方法在数轴上画出表示的点。

如图17.1-10，在数轴上找出表示3的点A，则OA=3，

过点A作直线l垂直OA，在l上取点B，使AB=2，以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示的点。

三、例题讲解

例 利用勾股定理，在数轴上画出表示235的点 解：如图

四、课堂练习： 教材P27-练习第1、2题 五、课堂小结

这节课我们主要学习了利用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点的方法。 六、作业布置：

教材P28-习题17.1第6、7题 板书设计：

教学反思：

17.2勾股定理的逆定理（1）

教学目标：

1、知识与技能：掌握勾股定理的逆定理，探究勾股定理的逆定理的证明方法。理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。

2、过程与方法：经历观察—猜想—归纳—验证的数学发现过程,发展合情推理的能力,通过对勾股定理的逆定理的证明的探究，理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。体会数形结合和由特殊到一般的数学思想.

3、情感态度与价值观：通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进数学学习的信心.树立数形 结合的思想、分类讨论思想。

教学重难点：重点：勾股定理的逆定理，原命题、逆命题、逆定理的概念及关系

难点：勾股定理的逆定理的证明方法

教学课时：2 教学类型：新课

教学准备：彩色粉笔、三角板 教学过程： 一、课堂导入：

问题：勾股定理的内容是什么？如果把勾股定理的题设和结论互换，会得到什么命题呢？

怎样判定一个三角形是等腰三角形？怎样判定一个三角形是直角三角形？和等腰三角形的判定进行对比，从勾股定理的逆命题进行猜想。 二、合作探究：

把勾股定理的题设和结论互换，讨论 、交流、得出命题二

命题2：如果三角形的三边长a、b、c满足a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形

同学们想一想： 命题一 命题二有什么关系？

看书、讨论、归纳 得出互逆命题的定义

我们把题设和结论刚好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

证明命题2：如果三角形的三边长a，b，c满足a+b=c，那么这个三角形是直角三角形。

2

2

2

已知：在图17.2-2中，ABC的三边长分别为a,b,c，且满足a2b2c2， 求证：ABC是直角三角形。

证明：画ΔA1B1C1，使B1C1=a，，A1C1=b，∠A1C1B1=900，由勾股定理得A1B12=a2+b2,， ∵ a2b2c2 ∴ A1B12=c2，即 A1B1=c ∴ ABC≌ΔA1B1C1， ∴ ∠C=∠C1=900

即ABC时直角三角形

三、例题讲解

例1 (教材P32例1）判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形： （1）a=15，b=8，c=17； （2）a=13，b=14,c=15. 解：（1）∵152+82=255+64=289,172=289，∴152+82=172 根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形。 （2）∵132142169196365，152255 ，∴132142≠152 根据勾股定理的逆定理，这个三角形不是直角三角形。 四、课堂练习：教材P33-练习第1、2题

五、课堂小结： 这节课我们主要学习了勾股定理的逆定理和原命题，逆命题，逆定理的概念，及它们之间的关系

六、作业布置：教材P34-习题17.2第1、2题 板书设计：

B

bC

A1

C1

教学反思：

17.2 勾股定理的逆定理（2）

教学目标：

1、知识与技能：掌握勾股定理的逆定理,灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题,进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。

2、过程与方法：经历观察—猜想—归纳—验证的数学发现过程,发展合情推理的能力,体会数形结合和由特殊到一般的数学思想.

3、情感态度与价值观：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。培养学生利用方程思想解决问题，进一步养成利用勾股定理的逆定理解决实际问题的意识。 教学重难点：重点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

教学课时：2 教学类型：新课

教学准备：彩色粉笔、三角板 教学过程： 一、课堂导入：

什么叫勾股定理？勾股定理的逆定理？怎样灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题呢？在前面我们以经学习过，今天我们继续学习，灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

二、合作探究：

例1 （课本P33例2）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上。“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16 n mile，“海天”号每小时航行

E

12 n mile。他们离开港口一个半小时后分别位于R、Q处，且相距

30 n mile.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？

解：依题意可得PQ=12³1.5=18，PR=16³1.5=24， QR=30；

因为242+182=302，即PQ2+PR2=QR2，根据勾股定理的逆定理，知∠QPR=90 由“远航”号沿东北方向航行可知，∠SPR=45°，因此∠QPS=45°，即“海天”号

沿西北方向航行

小结：让学生养成“已知三边求角，利用勾股定理的逆定理”的意识。

例2（补充）一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较

短边长7米，比较长边短1米，请你试判断这个三角形的形状。 分析：⑴若判断三角形的形状，先求三角形的三边长；

⑵设未知数列方程，求出三角形的三边长5、12、13；

⑶根据勾股定理的逆定理，由52+122=132，知三角形为直角三角形。 解略。

例1、 例2两题 分小组讨论 ，小组发言，后全班展示

三、课堂练习：教材P33第3题 （补充题）填空

四、归纳小结：1、勾股定理及逆定理。

2、养成“已知三边求角，利用勾股定理的逆定理”的意识。 3、灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

五、作业布置：教材P34-习题17.2第4、5题 板书设计：

教学反思：

第十八章平行四边形

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