《近世代数》作业
一.概念解释
1.代数运算:一个集合A ⨯B 到集合D 的映射叫做一个A ⨯B 到D 的代数运算。 2.群的第一定义:一个非空集合G 对乘法运算作成一个群,只要满足:
1)G 对乘法运算封闭;
2)结合律成立: a (bc ) =a (bc ) 对G 中任意三个元a , b , c 都成立。 3)对于G 的任意两个元a , b 来说,方程ax =b 和ya =b 都在G 中有解。 3.域的定义:一个交换除环叫做一个子域。
4.满射:若在集合A 到集合A 的映射Φ下,A 的每一个元至少是A 中的某一个元的象,则称Φ为A 到A 的满射。
5.群的第二定义:设G 为非空集合,G 有代数运算叫乘法,若:(1)G 对乘法封闭;
(2)结合律成立; (3)单位元存在; (4)G 中任一元在G 中都有逆元,则称G 对乘法作成群。 6.理想:环R 的一个非空子集N 叫做一个理想子环,简称理想,假若: (1)a , b ∈N ⇒a -b ∈N (2)a ∈N , r ∈N ⇒ra ∈N , ar ∈N
7.单射:一个集合A 到A 的映射,Φ:a →a ,a ∈A , a ∈A ,叫做一个A 到A 的单射。
若:a ≠b ⇒a ≠b 。
8. 换:一个有限集合的一个一一变换叫做一个置换。
9. 环:一个环R 若满足:(1)R 至少包含一个不等于零的元。 (2)R 有单位元。
(3)R 的每一个非零元有一个逆元,则称R 为除环。 10.一一映射:既是满射又是单射的映射,叫做一一映射。
11.群的指数:一个群G 的一个子群H 的右陪集(或左陪集)的个数,叫做群H 在G 里的指数。 12.环的单位元:设R 是一个环,e ∈R ,若对任意的a ∈R ,都有ea =ae =a ,则称e 是R 的单位元。 二.判断题
1.Φ是集合A 1⨯A 2⨯ ⨯A n 列集合D 的映射,则A i (i =1, 2, n ) 不能相同。(×) 2.在环R 到环R 的同态满射下,则R 的一个子环S 的象S 不一定是R 的一个子环。(×)
3.设N 为正整数集,并定义a b =a +b +ab (a , b ∈N ) ,那么N 对所给运算 能作成一个群。(√) 4.假如一个集合A 的代数运算 适合交换率,那么在a 1 a 2 a 3 a n 里(a i ∈A ) ,元的次序可以交换。(×) 5.在环R 到R 的同态满射下,R 得一个理想N 的逆象N 一定是R 的理想。(√) 6.环R 的非空子集S 作成子环的充要条件是:
1)若a , b ∈S , 则a -b ∈S ; 2)a , b ∈S , ,则ab ∈S 。(√)
7.若Φ是A 与A 间的一一映射,则Φ是A 与A 间的一一映射。(√) 8.若ε是整环I 的一个元,且ε有逆元,则称ε是整环I 的一个单位。(√) 9.设σ与τ分别为集合A 到B 和B 到C 的映射,如果σ,τ都是单射,则τ
-1
σ是A 到C 的映射。(√)
10.若对于代数运算 , ,A 与A 同态,那么若A 的代数运算 适合结合律,则A 的代数运算也适合结合律。(√)
11.整环中一个不等于零的元a ,有真因子的冲要条件是a =bc 。(×)
12.设F 是任意一个域,F 是F 的全体非零元素作成的裙,那么F 的任何有限子群G 必为循环群。(√) 13. 集合A 的一个分类决定A 的一个等价关系。 (√) 14. 设H 1, H 2均为群G 的子群,则H 1⋃H 2也为G 的子群。 (×) 15. 群G 的不变子群N 的不变子群M 未必是G 的不变子群。 (√)
三.证明题
1. 设G 是整数环Z 上行列式等于1或-1的全体n 阶方阵作成集合,证明:对于方阵的普通乘法G 作成一个 群。
证:G 显然非空,又任取A ,B ∈G ,则A =±1, B =±1,于是AB 是整数方阵,且AB =A ⋅B =±1, 故AB ∈G ,即G 对乘法封闭。结合律显然成立,且E 是G 单位元。
又设A ∈G ,由于A 是整数方阵,故A 的伴随矩阵A 也是整数方阵; 又A =±1, 故A 成一个群。
2. 设G=(a )是循环群,证明:当a =∞时,G=(a )与整数加群同构。 证:设a =∞,则当m ≠n 时,a
m
**
*
-1
=
1*-1
即A 也是整数方阵,即G 中每一个元在G 中都有逆元,从而证得G 作 A =±A *,
A
≠a n ,于是映射Φ:a m →m 就是G=(a )到整数加群Z 的一个一
m n m +n
→m +n ,故Φ是G 到Z 的同构映射。即G=(a )与整数加群Z 同构。 一映射。又a ⋅a =a
3. 证明:高斯整环Z [i ]={a +bi |a , b ∈Z }中的单位有且只有±1 ,±i 。
证:设x=a+bi是Z[i]中的任意单位,则存在y=c+di∈Z [i ]使xy=(a+bi)(c+di)=1 ±1, ±i 显然是Z[i]的单位,而(a+bi)(c+di)=ac-bd+(bc+ad)i 既有:ac-bd=1,ad+bc=0 (1)
从而 a 2c -abd =a 又ad= –bc 代入前式有:((a 2+b 2) c =a ,即(a 2+b 2) |a 若a=0,则由(1)有bd= –1, 只有b=±1, 即x =±i 。
若a ≠0,则由(a 2+b 2) |a得b=0, a=±1, 即x=±1, 因此证得:Z[i] 的单位元只有±1, ±i 。 4.设G 是由以下四个二阶方阵作成的集合
⎛10⎫⎛-10⎫⎛10⎫⎛-10⎫
⎪ ⎪ ⎪ a = , b =, c =, d = 01⎪ 0-1⎪ 0-1⎪ 01⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
证明:G 对方阵的普通乘法作成一个交换群,并给出乘法表。
证:由题设可列乘法表:
a b c d a a b c d b b a d c c c d a b d d c b a
由此表可知:方阵普通乘法是G 的代表运算,a 是G 的单位元,又由于对角线位置上的元素相等,故乘法可以交换,且每个元素G 中都有逆元,结合率显然成立。故G 对方阵普通乘法作成一个交换群。
2
5. 证明:在群G 中只有单位元满足方程x =x 。
2-12-1
证:设e 是群G 的单位元,则e 显然满足方程另外设a ∈G , 且a =a ,则有a a =a a 即a=e, 即2
只有e 满足方程x =x 。
6.证明:在整环Z[i]中5有唯一分解,并给出5的一种分解。 证:因为±2i
2
=5为素数,则1±2i (以及-1±2i , 2±i , -2±i )是Z[i]的不可约元,且显然有分解:
5=(1+2i )(1-2i ) 若设5=a 1a 2 a n (a i 不可约) 则 52=a 1⋅a 2 a n 且a i
5=ab且a
2
2
2
2
2
2
≠1, a i
2
≠25,这只有n =2,且a i
2
=5不妨设
=b =5则只能a =b ,即5=a a ,即5有唯一分解。
7.令G={e , a , b },且G 有如下乘法: e a b e e a b a a b e b b e a
证明:G 对此乘法作成一个群。
证:由乘法表可知,G 对所给乘法封闭,e 是单位元,又e 逆元,因此要证G 是一个群,只要再证结合律成立即可。
任取x , y ∈G ,则显然有:e (xy ) =x (ey ) =xy =x (ye ) (xx ) x =x (xx )
其次令x , y ∈{a , b },且x ≠y ,则由乘法表知:xx =y , yy =x , xy =yx =e ,可知结合律成立。
8.设R 是一个环,证明:
1)若R 中左右单位元同时存在,则必相等。
2)若R 中至少有两个左(或右)单位元,则R 中任一非零元都是右(或左)零因子。 证:1)设e 1, e 2分别是环R 的左右单位元,则由此有:e 1e 2=e 2 ,e 1e 2=e 1, 从而e 1=e 2 ,即它是R 的单位元。
2)设e 1,e 2是R 的两个互异的左单位元,则对任意的a ∈R , a ≠0,有
-1
=e ,a -1=b ,b -1=a ,即每个元素在G 中都有
e 1a =a =e 2a 或(e 1-e 2)a =0,但e 1-e 2≠0,故a 是R 的一个右零因子。同理,若R 有至少两个右单位
元,则R 的每一个非零元都是R 的左零因子。
9.设M (R )是实数域R 上的二阶方阵环,又
F=⎨
⎧⎫⎪⎛a b ⎫⎪
⎪a , b ∈R ⎬,证明:F 是M (R )的一个子域。 ⎪
⎪⎪⎩⎝-b b ⎭⎭
证:任取A ,B ∈F ,且令A =
⎛c ⎛a b ⎫
⎪,B = -d ⎪
⎝⎝-b a ⎭d ⎫
⎪,显然A -B ∈F ,又当 ⎪c ⎭
B ≠0时,实数c,d 不全为零,于是B =c 2+d 2≠0,
且AB -1= ad -bc ac +bd ⎪⎪∈F ,故F 是M (R )的一个子域。
⎝⎭
⎛ac +bd bc -ad ⎫
10.
设u是群G的任意一个固定的元素,证明:集合G对新运算a b =au -1b 作成一个群。
证:显然所给运算是G 的一个代数运算,又任取a , b , c ∈G , 则
(a b ) c =(au -1b ) c =(au -1b ) u -1c a (b c ) =a (bu -1c ) =au -1(bu -1c ) 而G 是群。
(au -1b ) u -1c =au -1(bu -1c ) 即(a b ) c =a (b c ) 即G 对新代数运算结合律成立。又任取a ∈G ,
a u =auu -1=a ,即u 是右单位元。
又a (ua -1u ) =au -1(ua -1u ) =u ,即ua -1u 是a 的右逆元。由群的定义知,G 对新运算也作成一个群。
11.设R是有单位元I的交换环,M n (R ) 是R 上n 阶方阵环,A , B ∈M n (R ) ,证明:
AB =E ⇔BA =E ,其中E 是n 阶单位矩阵。
证:设AB =E ,由于R 可交换,得:
AB =A B =B =1,从而A 可逆,设A *是A 的伴随矩阵,则由R 有单位元1可知:
A *A =AA *=E 于是A -1=A A * 故若:AB =E ,则:
ABA =A A -1A B A =A -1A =E ,即BA =E 同理可由BA =E ⇒AB =E ,证毕。
12.设A 和B 是环R 的理想,证明:当A 和B 至少有一个含有单位元时,A B ={ab |a ∈A , b ∈B }是R
的理想。
证:不妨设A 含有单位元e ,任取a 1, a 2∈A ,b 1, b 2∈B , r ∈R ,由题设A ,B 都是R 的理想,得:
-1
a 1b 1-a 2b 2∈B a 1b 1-a 2b 2=(ea 1) b 1-(ea 2) b 2=e (a 1b 1) -e (a 2b 2) =e (a 1b 1-a 2b 2) ∈A B
13. 设S 3是三次对称群,H ={(1), (12)}是S 3的子群。 1. 把S 3的所有元素写成不相连的循环置换的乘积。 2.求出S 3关于H 的所有左陪集和右陪集; 3. 写出S 3的所有子群与正规子群。
证:1、S 3={(1), (12), (13), (23), (123), (132)}; ---
2.左陪集:H ={(1), (12)} ;(13) H ={(13), (132)};(23) H ={(23), (123)}-- 右陪集:H ={(1), (12)} ;H (13) ={(13), (123)};H (23) ={(23), (132)}--- 3.子群:H 1={(1)},H 2={(1), (12)}
H 3={(1), (13)}},H 4={(1), (23)},H 5={(1), (123), (132)},H 6=S 3六个子群;---
H 1={(1)},H 5={(1), (123), (132)},H 6=S 3三个正规子群;
⎛12345⎫
)(45) ,τ= 14. 设σ, τ∈S 5,其中σ=(123 54132⎪⎪。
⎝⎭
1.求σ的周期;
2. 将τστ-1表示成形式为(1i)的2-循环置换的乘积。 证:1.6;
3.τστ-1=(154)(23) =(14)(15)(12)(13)(12) . —
15. 假定~是群G 的元间的一个等价关系,并且对于G 的任意三个元a , x , y 来说,有ax ~ay ⇒x ~y 。
证明:与G 的单位元e 等价的元所作成的集合是G 的一个子群。 证:设H=[e],由于~是等价关系,故e ~e, 即e ∈H ----
∀a , b ∈H , 则a ~e, b~e 因而ae ~a -1, be~b b -1, 由题设可得e ~a -1, e~b -1,---10分; 由对称性及
-1-1-1-1-1-1
传递性得b ~a , a -1a b ~a e, 再由题设得a b ~e 即a b ∈H , 那么与G 的单位元e 等价的元所作成
的集合G 的一个子群----
16. 假定R [x ]是整数环R 上的一元多项式环。 1. 写出R [x ]的理想(2, x ) 所含元素形式. 2. 证明: (2, x ) 不是R [x ]主理想.
3. 证明:若R 是有理数域, 那么(2, x ) 是R [x ]的一个主理想.
证:1、(2, x ) 刚好包含所有多项式:2a 0+a 1x + +a n x n , (a i ∈R , n ≥0) . -
2、假定(2, x ) 是主理想, 即(2, x ) =(p (x )) 那么2∈(p (x )), x ∈(p (x )) , 因而 2=q (x ) p (x ), x =h (x ) p (x ) 但由2=q (x ) p (x ) , 可得p (x ) =a ∈R , 即
a =±1, x =h (x ) a 这样±1=p (x ) ∈(2, x ) 是矛盾的. --
3、 若R 是有理数域, 那么R [x ]包含有理数
11
, 于是2=1∈(2, x ) , 因而它的理想 22
(2, x ) 含有单位元1, 因此(2, x ) 等于主理想(1). -
17. 证明:6阶群至少有一个3阶子群。
证:设G 是一个6阶群, e 是的单位元,由Lagrange 定理, G 的非单位元的阶只能是2,3, 或6. 若G 中非单位元的阶皆为2, 则G 是交换群。--;设a , b 是两个2阶元,则{e , a , b , ab }是G 的4阶子群这与Lagrange 定理矛盾,所以G 中必有3阶元或6阶元。--;若b 是6阶元, 则b 是三阶元, 因此G 必有一个3阶子群;若c 是三阶元,则G 必有一个3阶子群。-
2
18. 设ϕ是群G 到群G 的一个同态满射,K =Ker ϕ, H ≤G , 则ϕ-1(ϕ(H )) =HK
证:∀hk ∈HK ,ϕ(hk ) =ϕ(h ) ϕ(k ) =ϕ(h ) ∈ϕ(H ) ,因此hk ∈ϕ-1(ϕ(H )) ,即HK ⊆ϕ-1(ϕ(H )) ;-∀x ∈
-1
-
ϕ-1(ϕ(H )) ,有ϕ(x ) ∈ϕ(H ) ,存在h ∈H ,使得ϕ(h ) =ϕ(x ) ,因此
-1
-
ϕ(h x ) =ϕ(h ) ϕ(x ) =e ∈K ,存在k ∈K ,使得h -1x =k , x =hk ∈HK ,即ϕ-1(ϕ(H )) ⊆HK ,因
此ϕ-1(ϕ(H )) =HK 。
19. 假定R 是由所有复数a +bi (a , b 是整数) 作成的环, 即高斯整环, 1.环R /(1+i ) 有多少元? 2. 证明: R /(1+i ) 是一个域. 证:1.R 是有单位元的可换环, 那么理想(1+i ) 的元素形式为
(a +bi )(1+i ) =(a -b ) +(a +b ) i , 注意到a -b , a +b 同奇偶性--;
而且对任意的x +yi ∈R , 且x ,y 的奇偶性相同, 设a -b =x , a +b =y , 即a =
x +y y -x
, b =, 则22
由此可见对任意的x +yi ∈R , 只要x +yi ∈(1+i ) , 因此(1+i ) 由一切x +yi 组成, 其中x ,y 同奇偶性;
x ,y 同奇偶性, 恒有x +yi +(1+i ) =(1+i ) ;若x +yi ∈R , 且x ,y 奇偶性不相同, 恒有
x +yi +(1+i ) =1+(1+i ) , 即R /(1+i ) ={0, 1},---;
2.设N R , (1+i ) ⊂N ,存在x +yi ∈N ,但是x +yi ∉(1+i ) ,即x , y 奇偶性不同,因而x -1, y 奇
偶性相同,即x -1+yi ∈(1+i ) ,所以x +yi -[(x -1) +yi ]=1∈N ,故N =Z [i ],所以(1+i)是Z [i ]的极大理
想;从而R /(1+i ) 是仅含有两个元的域。
四.解答题
},找一个A ⨯A 的一个满射。 1, 2, 3 1001.A ={
a 1, a 2},a 1, a 2∈A ,就是一个A ⨯A 到A 的一个满射。 解:Φ:(a 1, a 2) →min{
2.设H 是G 的一个非空子集,且H 1)H 是否为G 的一个子群?
2)证明:当H 有限时,H 是G 的子群。 解:1)H 不一定是群G 的子群,例:
2
=H
G=⎨
⎧⎫⎪⎛1m ⎫⎪
⎪m ∈Z ⎬Z 为整数域。对矩阵普通乘法作成一个群,而 ⎪
⎪⎪⎩⎝01⎭⎭
⎧⎛10⎫⎛11⎫⎛12⎫⎛1n ⎫⎫2H=⎨ 01⎪⎪, 01⎪⎪, 01⎪⎪, 01⎪⎪ ⎬为G 的一个非空子集,易知有H =H ,但
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭⎩⎝
H 不是G 的子群,
⎛11⎫
⎪在H 中没有逆元。 ⎪⎝01⎭
2
2)当H 有限时,则H 是G 的子群。任取a , b ∈H ,由于H 即ab ∈H 即H 对乘法运算封闭,即H 是G 的子群。
=H ,而ab ∈H 2=H
⎛a 2b ⎫
3.设R 是由数域F 上一 切形如 b a ⎪⎪的二阶方阵作成的集合,问:R 对矩阵的普通加法和乘法是否作成
⎝⎭
环或域?
解:易知R 作成一个有单位元的可换环,但不一定作成域,如:当F 为实数域时,方阵
⎛2
A = 1
⎝2⎫
⎪≠0,属于R 但A =0,故A 在R 中没有逆元,从而R 不能作成域,但是当F 为有理数域2⎪⎭
时,R 可以作成域。
4.设X 是数域F 上全体n 阶方阵作成的集合,问:
Φ:A →A (A 为A 的行列式)是否是X 到F 的一个一一映射?说明理由。
解:Φ是X 到F 的一个映射,但不是一一映射,因为
⎛10⎫⎛-11⎫⎪ A = , B = 00⎪ 00⎪⎪,A ,B ∈X , 且A ≠B ,但在Φ下,Φ(A ) =Φ(B ) =0,不是一一映射。 ⎝⎭⎝⎭
5.试举出满足以下条件的群:
1)G 是无限群,除单位元外,每个元素的阶都无限。
2)G 是无限群,G 中除单位元外,既有有限阶元素,也有无限阶元素。 解: 1)如整数加群G 除单位元O 外,每个元的阶都无限。
2)如:全体非零有理数对普通乘法作成一个群,满足题设条件,除单位元1的阶是1外,-1的阶是2,而其余各元素的阶都是无限。
6.非零实数集R ,对运算a b =2ab 能否作成群,并说明理由。
解:能作成群,因为数的普通乘法显然是R 的代数运算,结合律当然成立,又1是R 的单位元,1与-1的逆元均为自身,任意R 的元a 都有逆元
1
,故R 作成群。 a
7.试给出集合X={1,2,3,4,5}到Y={0,2,4,6,8}的两个单射。 解:Φ1:1→2; 2→4; 3→6, 4→8, 5→10 Φ2:1→0, 2→4, 3→6, 4→8, 5→10 则Φ1,Φ2是X 到Y 的两个单射。
8.设Z[i]是高斯整环,即Z[i]={a+bi| a,b∈Z},其中Z 是整数环,问商环
Z [i ]
有多少元素?
解:易知整数k, l 有相同的奇偶性⇔存在整数x,y, 满足:k =x -y , l =x +y (1) 又Z[i]是有单位元的可换环,所以
G =={(x +yi )(1+i ) |x +yi ∈Z [i ]}={(x -y ) +(x +y ) i |x , y ∈Z } 由(1)知对k +li ∈Z [i ],有k +li ∈⇔k , l . 有相同的奇偶性
又1∈Z [i ],但1∉取任m +ni ∈Z [i ],若m +ni ∉,即m,n 有相反的奇偶性,从而
m +ni -1=(m -1) +ni ∈,即m +ni +=1+,故, 1+。
9.问:域和其子域是否有相同的单位元,并说明理由。解:域或其子域有相同的单位元,事实上若F 1是F 的子
-1-1
域,I 是F 的单位元,I '是F 1的单位元,则任取a ∈F 1,且a ≠0,由F 1是域知a ∈F ,且aa =I ',
Z [i]
共有两个元素
但a , a -1∈F 1, aa -1=I ,故I '=aa
-1
=I ,即F 与F 1有相同的单位元。
10.试给出整数集到偶数集的两个不同的映射。
解:设Z 为整数集,Z 2为偶数集,Φ1:x →2x , Φ2:x →2(x +1) ,其中x ∈Z ,则Φ1,Φ2就是Z 到
Z 2的两个不同的映射。
11.设G 是由有理数域上全体2阶满秩方阵对方阵普通乘法作成的群,试求G 中下列各元素的阶:
⎛0-1⎫⎛01⎫
⎪ a = , b = 10⎪ -1-1⎪⎪, ab.
⎝⎭⎝⎭⎛10⎫⎛0-1⎫⎛-12
解:G 的单位元为e = 01⎪⎪ a = 10⎪⎪ a = 1
⎝⎭⎝⎭⎝
⎛10⎫⎛-11⎫⎛10⎫⎛123
⎪ ⎪ ⎪ 又 a 4= b =b =ab = 01⎪ 10⎪ 01⎪ 0⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
-1⎫⎛01⎫3
⎪ a = -10⎪⎪ 0⎪⎭⎝⎭1⎫⎪对任意的整数n ⎪1⎭
⎛11⎫⎛1n ⎫⎛10⎫n
(ab ) = 01⎪⎪= 01⎪⎪≠ 01⎪⎪ 即a 的阶为4,b 的阶为3, ab 的阶为无限。
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
12.设R 是环,且N 是R 的理想,H 又是N 的理想,问:H 是否一定是R 的理想,举例说明。 解:不一定
例如:令F 为任意数域,又H ,N, R分别由以下三种方阵作成的集合:
n
⎛000⎫
⎪00a 1⎪ 000⎪⎝⎭⎛00a 1⎫
⎪00a 2⎪ 000⎪⎝⎭⎛a 1
0 0⎝
a 2a 40
a 3⎫⎪
a 5⎪ 其中a i ∈F a 6⎪⎭
很明显对方阵普通加法与乘法R 作成环,且N 是R 的理想,H 是N 的理想,但是:
⎛010⎫⎛000⎫⎛001⎫
⎪ ⎪ ⎪
000⎪ 001⎪= 000⎪∉H 故H 不是R 的理想。 000⎪ 000⎪ 000⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎛123456789⎫13. 设9次置换σ= 537618942⎪⎪,
⎝⎭
1.将σ表成互不相交的轮换乘积; 2. 将σ表示成形式为对换的乘积; 3.求出σ的逆与σ的阶。 解:1. σ=(15)(2379)(468), - 2.σ=(15)(29)(27)(23)(48)(46) - 3.σ-1=(15)(9732)(864),|σ|=12。-
五、单项选择题
1. 如果A B =A C , A B =A C , 则( C )。 A. B ⊂C B. B ⊃C C. B =C D. B ≠C
2. 设A ={1, 2, 3},B ={a , b , c },则A 到B 的映射个数有( D )。 A. 9 B. 6 C. 12 D. 27 3. 指出下列那个运算是二元运算(D )。
A .在整数集Z 上,a b =a +b B. 在有理数集Q 上,a b =ab ab
+C. 在正实数集R 上,a b =a ln b D.在集合n ∈Z n ≥0上,a b =a -b {}
4. 下面是交换半群,但不是群的是( A )。
A. (N , +) B. (Q , +) C. (Z *, +) , 其中是非零整数集合 D. (C , +)
5. 设e 是群G 的单位元,a , b 是G 的两个元素,则( C )。
A. (ab ) -1=a -1b -1 B. (ab ) -2=a -2b -2 C. 若a 2=e ,则a =a -1 D.ab =ba
6. 精确到同构, 4阶群有( B )个。
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7. 以下命题中,正确的是( B )。
A. 任意一个环R ,必含有单位元
B. 环R 中至多有一个单位元
C. 环R 有单位元,则它的子环也有单位元
D. 一个环与其子环都有单位元,则两个单位元一定相同
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《近世代数》作业
一.概念解释
1.代数运算:一个集合A ⨯B 到集合D 的映射叫做一个A ⨯B 到D 的代数运算。 2.群的第一定义:一个非空集合G 对乘法运算作成一个群,只要满足:
1)G 对乘法运算封闭;
2)结合律成立: a (bc ) =a (bc ) 对G 中任意三个元a , b , c 都成立。 3)对于G 的任意两个元a , b 来说,方程ax =b 和ya =b 都在G 中有解。 3.域的定义:一个交换除环叫做一个子域。
4.满射:若在集合A 到集合A 的映射Φ下,A 的每一个元至少是A 中的某一个元的象,则称Φ为A 到A 的满射。
5.群的第二定义:设G 为非空集合,G 有代数运算叫乘法,若:(1)G 对乘法封闭;
(2)结合律成立; (3)单位元存在; (4)G 中任一元在G 中都有逆元,则称G 对乘法作成群。 6.理想:环R 的一个非空子集N 叫做一个理想子环,简称理想,假若: (1)a , b ∈N ⇒a -b ∈N (2)a ∈N , r ∈N ⇒ra ∈N , ar ∈N
7.单射:一个集合A 到A 的映射,Φ:a →a ,a ∈A , a ∈A ,叫做一个A 到A 的单射。
若:a ≠b ⇒a ≠b 。
8. 换:一个有限集合的一个一一变换叫做一个置换。
9. 环:一个环R 若满足:(1)R 至少包含一个不等于零的元。 (2)R 有单位元。
(3)R 的每一个非零元有一个逆元,则称R 为除环。 10.一一映射:既是满射又是单射的映射,叫做一一映射。
11.群的指数:一个群G 的一个子群H 的右陪集(或左陪集)的个数,叫做群H 在G 里的指数。 12.环的单位元:设R 是一个环,e ∈R ,若对任意的a ∈R ,都有ea =ae =a ,则称e 是R 的单位元。 二.判断题
1.Φ是集合A 1⨯A 2⨯ ⨯A n 列集合D 的映射,则A i (i =1, 2, n ) 不能相同。(×) 2.在环R 到环R 的同态满射下,则R 的一个子环S 的象S 不一定是R 的一个子环。(×)
3.设N 为正整数集,并定义a b =a +b +ab (a , b ∈N ) ,那么N 对所给运算 能作成一个群。(√) 4.假如一个集合A 的代数运算 适合交换率,那么在a 1 a 2 a 3 a n 里(a i ∈A ) ,元的次序可以交换。(×) 5.在环R 到R 的同态满射下,R 得一个理想N 的逆象N 一定是R 的理想。(√) 6.环R 的非空子集S 作成子环的充要条件是:
1)若a , b ∈S , 则a -b ∈S ; 2)a , b ∈S , ,则ab ∈S 。(√)
7.若Φ是A 与A 间的一一映射,则Φ是A 与A 间的一一映射。(√) 8.若ε是整环I 的一个元,且ε有逆元,则称ε是整环I 的一个单位。(√) 9.设σ与τ分别为集合A 到B 和B 到C 的映射,如果σ,τ都是单射,则τ
-1
σ是A 到C 的映射。(√)
10.若对于代数运算 , ,A 与A 同态,那么若A 的代数运算 适合结合律,则A 的代数运算也适合结合律。(√)
11.整环中一个不等于零的元a ,有真因子的冲要条件是a =bc 。(×)
12.设F 是任意一个域,F 是F 的全体非零元素作成的裙,那么F 的任何有限子群G 必为循环群。(√) 13. 集合A 的一个分类决定A 的一个等价关系。 (√) 14. 设H 1, H 2均为群G 的子群,则H 1⋃H 2也为G 的子群。 (×) 15. 群G 的不变子群N 的不变子群M 未必是G 的不变子群。 (√)
三.证明题
1. 设G 是整数环Z 上行列式等于1或-1的全体n 阶方阵作成集合,证明:对于方阵的普通乘法G 作成一个 群。
证:G 显然非空,又任取A ,B ∈G ,则A =±1, B =±1,于是AB 是整数方阵,且AB =A ⋅B =±1, 故AB ∈G ,即G 对乘法封闭。结合律显然成立,且E 是G 单位元。
又设A ∈G ,由于A 是整数方阵,故A 的伴随矩阵A 也是整数方阵; 又A =±1, 故A 成一个群。
2. 设G=(a )是循环群,证明:当a =∞时,G=(a )与整数加群同构。 证:设a =∞,则当m ≠n 时,a
m
**
*
-1
=
1*-1
即A 也是整数方阵,即G 中每一个元在G 中都有逆元,从而证得G 作 A =±A *,
A
≠a n ,于是映射Φ:a m →m 就是G=(a )到整数加群Z 的一个一
m n m +n
→m +n ,故Φ是G 到Z 的同构映射。即G=(a )与整数加群Z 同构。 一映射。又a ⋅a =a
3. 证明:高斯整环Z [i ]={a +bi |a , b ∈Z }中的单位有且只有±1 ,±i 。
证:设x=a+bi是Z[i]中的任意单位,则存在y=c+di∈Z [i ]使xy=(a+bi)(c+di)=1 ±1, ±i 显然是Z[i]的单位,而(a+bi)(c+di)=ac-bd+(bc+ad)i 既有:ac-bd=1,ad+bc=0 (1)
从而 a 2c -abd =a 又ad= –bc 代入前式有:((a 2+b 2) c =a ,即(a 2+b 2) |a 若a=0,则由(1)有bd= –1, 只有b=±1, 即x =±i 。
若a ≠0,则由(a 2+b 2) |a得b=0, a=±1, 即x=±1, 因此证得:Z[i] 的单位元只有±1, ±i 。 4.设G 是由以下四个二阶方阵作成的集合
⎛10⎫⎛-10⎫⎛10⎫⎛-10⎫
⎪ ⎪ ⎪ a = , b =, c =, d = 01⎪ 0-1⎪ 0-1⎪ 01⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
证明:G 对方阵的普通乘法作成一个交换群,并给出乘法表。
证:由题设可列乘法表:
a b c d a a b c d b b a d c c c d a b d d c b a
由此表可知:方阵普通乘法是G 的代表运算,a 是G 的单位元,又由于对角线位置上的元素相等,故乘法可以交换,且每个元素G 中都有逆元,结合率显然成立。故G 对方阵普通乘法作成一个交换群。
2
5. 证明:在群G 中只有单位元满足方程x =x 。
2-12-1
证:设e 是群G 的单位元,则e 显然满足方程另外设a ∈G , 且a =a ,则有a a =a a 即a=e, 即2
只有e 满足方程x =x 。
6.证明:在整环Z[i]中5有唯一分解,并给出5的一种分解。 证:因为±2i
2
=5为素数,则1±2i (以及-1±2i , 2±i , -2±i )是Z[i]的不可约元,且显然有分解:
5=(1+2i )(1-2i ) 若设5=a 1a 2 a n (a i 不可约) 则 52=a 1⋅a 2 a n 且a i
5=ab且a
2
2
2
2
2
2
≠1, a i
2
≠25,这只有n =2,且a i
2
=5不妨设
=b =5则只能a =b ,即5=a a ,即5有唯一分解。
7.令G={e , a , b },且G 有如下乘法: e a b e e a b a a b e b b e a
证明:G 对此乘法作成一个群。
证:由乘法表可知,G 对所给乘法封闭,e 是单位元,又e 逆元,因此要证G 是一个群,只要再证结合律成立即可。
任取x , y ∈G ,则显然有:e (xy ) =x (ey ) =xy =x (ye ) (xx ) x =x (xx )
其次令x , y ∈{a , b },且x ≠y ,则由乘法表知:xx =y , yy =x , xy =yx =e ,可知结合律成立。
8.设R 是一个环,证明:
1)若R 中左右单位元同时存在,则必相等。
2)若R 中至少有两个左(或右)单位元,则R 中任一非零元都是右(或左)零因子。 证:1)设e 1, e 2分别是环R 的左右单位元,则由此有:e 1e 2=e 2 ,e 1e 2=e 1, 从而e 1=e 2 ,即它是R 的单位元。
2)设e 1,e 2是R 的两个互异的左单位元,则对任意的a ∈R , a ≠0,有
-1
=e ,a -1=b ,b -1=a ,即每个元素在G 中都有
e 1a =a =e 2a 或(e 1-e 2)a =0,但e 1-e 2≠0,故a 是R 的一个右零因子。同理,若R 有至少两个右单位
元,则R 的每一个非零元都是R 的左零因子。
9.设M (R )是实数域R 上的二阶方阵环,又
F=⎨
⎧⎫⎪⎛a b ⎫⎪
⎪a , b ∈R ⎬,证明:F 是M (R )的一个子域。 ⎪
⎪⎪⎩⎝-b b ⎭⎭
证:任取A ,B ∈F ,且令A =
⎛c ⎛a b ⎫
⎪,B = -d ⎪
⎝⎝-b a ⎭d ⎫
⎪,显然A -B ∈F ,又当 ⎪c ⎭
B ≠0时,实数c,d 不全为零,于是B =c 2+d 2≠0,
且AB -1= ad -bc ac +bd ⎪⎪∈F ,故F 是M (R )的一个子域。
⎝⎭
⎛ac +bd bc -ad ⎫
10.
设u是群G的任意一个固定的元素,证明:集合G对新运算a b =au -1b 作成一个群。
证:显然所给运算是G 的一个代数运算,又任取a , b , c ∈G , 则
(a b ) c =(au -1b ) c =(au -1b ) u -1c a (b c ) =a (bu -1c ) =au -1(bu -1c ) 而G 是群。
(au -1b ) u -1c =au -1(bu -1c ) 即(a b ) c =a (b c ) 即G 对新代数运算结合律成立。又任取a ∈G ,
a u =auu -1=a ,即u 是右单位元。
又a (ua -1u ) =au -1(ua -1u ) =u ,即ua -1u 是a 的右逆元。由群的定义知,G 对新运算也作成一个群。
11.设R是有单位元I的交换环,M n (R ) 是R 上n 阶方阵环,A , B ∈M n (R ) ,证明:
AB =E ⇔BA =E ,其中E 是n 阶单位矩阵。
证:设AB =E ,由于R 可交换,得:
AB =A B =B =1,从而A 可逆,设A *是A 的伴随矩阵,则由R 有单位元1可知:
A *A =AA *=E 于是A -1=A A * 故若:AB =E ,则:
ABA =A A -1A B A =A -1A =E ,即BA =E 同理可由BA =E ⇒AB =E ,证毕。
12.设A 和B 是环R 的理想,证明:当A 和B 至少有一个含有单位元时,A B ={ab |a ∈A , b ∈B }是R
的理想。
证:不妨设A 含有单位元e ,任取a 1, a 2∈A ,b 1, b 2∈B , r ∈R ,由题设A ,B 都是R 的理想,得:
-1
a 1b 1-a 2b 2∈B a 1b 1-a 2b 2=(ea 1) b 1-(ea 2) b 2=e (a 1b 1) -e (a 2b 2) =e (a 1b 1-a 2b 2) ∈A B
13. 设S 3是三次对称群,H ={(1), (12)}是S 3的子群。 1. 把S 3的所有元素写成不相连的循环置换的乘积。 2.求出S 3关于H 的所有左陪集和右陪集; 3. 写出S 3的所有子群与正规子群。
证:1、S 3={(1), (12), (13), (23), (123), (132)}; ---
2.左陪集:H ={(1), (12)} ;(13) H ={(13), (132)};(23) H ={(23), (123)}-- 右陪集:H ={(1), (12)} ;H (13) ={(13), (123)};H (23) ={(23), (132)}--- 3.子群:H 1={(1)},H 2={(1), (12)}
H 3={(1), (13)}},H 4={(1), (23)},H 5={(1), (123), (132)},H 6=S 3六个子群;---
H 1={(1)},H 5={(1), (123), (132)},H 6=S 3三个正规子群;
⎛12345⎫
)(45) ,τ= 14. 设σ, τ∈S 5,其中σ=(123 54132⎪⎪。
⎝⎭
1.求σ的周期;
2. 将τστ-1表示成形式为(1i)的2-循环置换的乘积。 证:1.6;
3.τστ-1=(154)(23) =(14)(15)(12)(13)(12) . —
15. 假定~是群G 的元间的一个等价关系,并且对于G 的任意三个元a , x , y 来说,有ax ~ay ⇒x ~y 。
证明:与G 的单位元e 等价的元所作成的集合是G 的一个子群。 证:设H=[e],由于~是等价关系,故e ~e, 即e ∈H ----
∀a , b ∈H , 则a ~e, b~e 因而ae ~a -1, be~b b -1, 由题设可得e ~a -1, e~b -1,---10分; 由对称性及
-1-1-1-1-1-1
传递性得b ~a , a -1a b ~a e, 再由题设得a b ~e 即a b ∈H , 那么与G 的单位元e 等价的元所作成
的集合G 的一个子群----
16. 假定R [x ]是整数环R 上的一元多项式环。 1. 写出R [x ]的理想(2, x ) 所含元素形式. 2. 证明: (2, x ) 不是R [x ]主理想.
3. 证明:若R 是有理数域, 那么(2, x ) 是R [x ]的一个主理想.
证:1、(2, x ) 刚好包含所有多项式:2a 0+a 1x + +a n x n , (a i ∈R , n ≥0) . -
2、假定(2, x ) 是主理想, 即(2, x ) =(p (x )) 那么2∈(p (x )), x ∈(p (x )) , 因而 2=q (x ) p (x ), x =h (x ) p (x ) 但由2=q (x ) p (x ) , 可得p (x ) =a ∈R , 即
a =±1, x =h (x ) a 这样±1=p (x ) ∈(2, x ) 是矛盾的. --
3、 若R 是有理数域, 那么R [x ]包含有理数
11
, 于是2=1∈(2, x ) , 因而它的理想 22
(2, x ) 含有单位元1, 因此(2, x ) 等于主理想(1). -
17. 证明:6阶群至少有一个3阶子群。
证:设G 是一个6阶群, e 是的单位元,由Lagrange 定理, G 的非单位元的阶只能是2,3, 或6. 若G 中非单位元的阶皆为2, 则G 是交换群。--;设a , b 是两个2阶元,则{e , a , b , ab }是G 的4阶子群这与Lagrange 定理矛盾,所以G 中必有3阶元或6阶元。--;若b 是6阶元, 则b 是三阶元, 因此G 必有一个3阶子群;若c 是三阶元,则G 必有一个3阶子群。-
2
18. 设ϕ是群G 到群G 的一个同态满射,K =Ker ϕ, H ≤G , 则ϕ-1(ϕ(H )) =HK
证:∀hk ∈HK ,ϕ(hk ) =ϕ(h ) ϕ(k ) =ϕ(h ) ∈ϕ(H ) ,因此hk ∈ϕ-1(ϕ(H )) ,即HK ⊆ϕ-1(ϕ(H )) ;-∀x ∈
-1
-
ϕ-1(ϕ(H )) ,有ϕ(x ) ∈ϕ(H ) ,存在h ∈H ,使得ϕ(h ) =ϕ(x ) ,因此
-1
-
ϕ(h x ) =ϕ(h ) ϕ(x ) =e ∈K ,存在k ∈K ,使得h -1x =k , x =hk ∈HK ,即ϕ-1(ϕ(H )) ⊆HK ,因
此ϕ-1(ϕ(H )) =HK 。
19. 假定R 是由所有复数a +bi (a , b 是整数) 作成的环, 即高斯整环, 1.环R /(1+i ) 有多少元? 2. 证明: R /(1+i ) 是一个域. 证:1.R 是有单位元的可换环, 那么理想(1+i ) 的元素形式为
(a +bi )(1+i ) =(a -b ) +(a +b ) i , 注意到a -b , a +b 同奇偶性--;
而且对任意的x +yi ∈R , 且x ,y 的奇偶性相同, 设a -b =x , a +b =y , 即a =
x +y y -x
, b =, 则22
由此可见对任意的x +yi ∈R , 只要x +yi ∈(1+i ) , 因此(1+i ) 由一切x +yi 组成, 其中x ,y 同奇偶性;
x ,y 同奇偶性, 恒有x +yi +(1+i ) =(1+i ) ;若x +yi ∈R , 且x ,y 奇偶性不相同, 恒有
x +yi +(1+i ) =1+(1+i ) , 即R /(1+i ) ={0, 1},---;
2.设N R , (1+i ) ⊂N ,存在x +yi ∈N ,但是x +yi ∉(1+i ) ,即x , y 奇偶性不同,因而x -1, y 奇
偶性相同,即x -1+yi ∈(1+i ) ,所以x +yi -[(x -1) +yi ]=1∈N ,故N =Z [i ],所以(1+i)是Z [i ]的极大理
想;从而R /(1+i ) 是仅含有两个元的域。
四.解答题
},找一个A ⨯A 的一个满射。 1, 2, 3 1001.A ={
a 1, a 2},a 1, a 2∈A ,就是一个A ⨯A 到A 的一个满射。 解:Φ:(a 1, a 2) →min{
2.设H 是G 的一个非空子集,且H 1)H 是否为G 的一个子群?
2)证明:当H 有限时,H 是G 的子群。 解:1)H 不一定是群G 的子群,例:
2
=H
G=⎨
⎧⎫⎪⎛1m ⎫⎪
⎪m ∈Z ⎬Z 为整数域。对矩阵普通乘法作成一个群,而 ⎪
⎪⎪⎩⎝01⎭⎭
⎧⎛10⎫⎛11⎫⎛12⎫⎛1n ⎫⎫2H=⎨ 01⎪⎪, 01⎪⎪, 01⎪⎪, 01⎪⎪ ⎬为G 的一个非空子集,易知有H =H ,但
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭⎩⎝
H 不是G 的子群,
⎛11⎫
⎪在H 中没有逆元。 ⎪⎝01⎭
2
2)当H 有限时,则H 是G 的子群。任取a , b ∈H ,由于H 即ab ∈H 即H 对乘法运算封闭,即H 是G 的子群。
=H ,而ab ∈H 2=H
⎛a 2b ⎫
3.设R 是由数域F 上一 切形如 b a ⎪⎪的二阶方阵作成的集合,问:R 对矩阵的普通加法和乘法是否作成
⎝⎭
环或域?
解:易知R 作成一个有单位元的可换环,但不一定作成域,如:当F 为实数域时,方阵
⎛2
A = 1
⎝2⎫
⎪≠0,属于R 但A =0,故A 在R 中没有逆元,从而R 不能作成域,但是当F 为有理数域2⎪⎭
时,R 可以作成域。
4.设X 是数域F 上全体n 阶方阵作成的集合,问:
Φ:A →A (A 为A 的行列式)是否是X 到F 的一个一一映射?说明理由。
解:Φ是X 到F 的一个映射,但不是一一映射,因为
⎛10⎫⎛-11⎫⎪ A = , B = 00⎪ 00⎪⎪,A ,B ∈X , 且A ≠B ,但在Φ下,Φ(A ) =Φ(B ) =0,不是一一映射。 ⎝⎭⎝⎭
5.试举出满足以下条件的群:
1)G 是无限群,除单位元外,每个元素的阶都无限。
2)G 是无限群,G 中除单位元外,既有有限阶元素,也有无限阶元素。 解: 1)如整数加群G 除单位元O 外,每个元的阶都无限。
2)如:全体非零有理数对普通乘法作成一个群,满足题设条件,除单位元1的阶是1外,-1的阶是2,而其余各元素的阶都是无限。
6.非零实数集R ,对运算a b =2ab 能否作成群,并说明理由。
解:能作成群,因为数的普通乘法显然是R 的代数运算,结合律当然成立,又1是R 的单位元,1与-1的逆元均为自身,任意R 的元a 都有逆元
1
,故R 作成群。 a
7.试给出集合X={1,2,3,4,5}到Y={0,2,4,6,8}的两个单射。 解:Φ1:1→2; 2→4; 3→6, 4→8, 5→10 Φ2:1→0, 2→4, 3→6, 4→8, 5→10 则Φ1,Φ2是X 到Y 的两个单射。
8.设Z[i]是高斯整环,即Z[i]={a+bi| a,b∈Z},其中Z 是整数环,问商环
Z [i ]
有多少元素?
解:易知整数k, l 有相同的奇偶性⇔存在整数x,y, 满足:k =x -y , l =x +y (1) 又Z[i]是有单位元的可换环,所以
G =={(x +yi )(1+i ) |x +yi ∈Z [i ]}={(x -y ) +(x +y ) i |x , y ∈Z } 由(1)知对k +li ∈Z [i ],有k +li ∈⇔k , l . 有相同的奇偶性
又1∈Z [i ],但1∉取任m +ni ∈Z [i ],若m +ni ∉,即m,n 有相反的奇偶性,从而
m +ni -1=(m -1) +ni ∈,即m +ni +=1+,故, 1+。
9.问:域和其子域是否有相同的单位元,并说明理由。解:域或其子域有相同的单位元,事实上若F 1是F 的子
-1-1
域,I 是F 的单位元,I '是F 1的单位元,则任取a ∈F 1,且a ≠0,由F 1是域知a ∈F ,且aa =I ',
Z [i]
共有两个元素
但a , a -1∈F 1, aa -1=I ,故I '=aa
-1
=I ,即F 与F 1有相同的单位元。
10.试给出整数集到偶数集的两个不同的映射。
解:设Z 为整数集,Z 2为偶数集,Φ1:x →2x , Φ2:x →2(x +1) ,其中x ∈Z ,则Φ1,Φ2就是Z 到
Z 2的两个不同的映射。
11.设G 是由有理数域上全体2阶满秩方阵对方阵普通乘法作成的群,试求G 中下列各元素的阶:
⎛0-1⎫⎛01⎫
⎪ a = , b = 10⎪ -1-1⎪⎪, ab.
⎝⎭⎝⎭⎛10⎫⎛0-1⎫⎛-12
解:G 的单位元为e = 01⎪⎪ a = 10⎪⎪ a = 1
⎝⎭⎝⎭⎝
⎛10⎫⎛-11⎫⎛10⎫⎛123
⎪ ⎪ ⎪ 又 a 4= b =b =ab = 01⎪ 10⎪ 01⎪ 0⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
-1⎫⎛01⎫3
⎪ a = -10⎪⎪ 0⎪⎭⎝⎭1⎫⎪对任意的整数n ⎪1⎭
⎛11⎫⎛1n ⎫⎛10⎫n
(ab ) = 01⎪⎪= 01⎪⎪≠ 01⎪⎪ 即a 的阶为4,b 的阶为3, ab 的阶为无限。
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
12.设R 是环,且N 是R 的理想,H 又是N 的理想,问:H 是否一定是R 的理想,举例说明。 解:不一定
例如:令F 为任意数域,又H ,N, R分别由以下三种方阵作成的集合:
n
⎛000⎫
⎪00a 1⎪ 000⎪⎝⎭⎛00a 1⎫
⎪00a 2⎪ 000⎪⎝⎭⎛a 1
0 0⎝
a 2a 40
a 3⎫⎪
a 5⎪ 其中a i ∈F a 6⎪⎭
很明显对方阵普通加法与乘法R 作成环,且N 是R 的理想,H 是N 的理想,但是:
⎛010⎫⎛000⎫⎛001⎫
⎪ ⎪ ⎪
000⎪ 001⎪= 000⎪∉H 故H 不是R 的理想。 000⎪ 000⎪ 000⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎛123456789⎫13. 设9次置换σ= 537618942⎪⎪,
⎝⎭
1.将σ表成互不相交的轮换乘积; 2. 将σ表示成形式为对换的乘积; 3.求出σ的逆与σ的阶。 解:1. σ=(15)(2379)(468), - 2.σ=(15)(29)(27)(23)(48)(46) - 3.σ-1=(15)(9732)(864),|σ|=12。-
五、单项选择题
1. 如果A B =A C , A B =A C , 则( C )。 A. B ⊂C B. B ⊃C C. B =C D. B ≠C
2. 设A ={1, 2, 3},B ={a , b , c },则A 到B 的映射个数有( D )。 A. 9 B. 6 C. 12 D. 27 3. 指出下列那个运算是二元运算(D )。
A .在整数集Z 上,a b =a +b B. 在有理数集Q 上,a b =ab ab
+C. 在正实数集R 上,a b =a ln b D.在集合n ∈Z n ≥0上,a b =a -b {}
4. 下面是交换半群,但不是群的是( A )。
A. (N , +) B. (Q , +) C. (Z *, +) , 其中是非零整数集合 D. (C , +)
5. 设e 是群G 的单位元,a , b 是G 的两个元素,则( C )。
A. (ab ) -1=a -1b -1 B. (ab ) -2=a -2b -2 C. 若a 2=e ,则a =a -1 D.ab =ba
6. 精确到同构, 4阶群有( B )个。
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7. 以下命题中,正确的是( B )。
A. 任意一个环R ,必含有单位元
B. 环R 中至多有一个单位元
C. 环R 有单位元,则它的子环也有单位元
D. 一个环与其子环都有单位元,则两个单位元一定相同
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