高三数学（线线角、线面角）复习讲义
【知识点归纳】1、异面直线所成的角：（1）范围：θ∈(0,
π
2
]；（2）求法：计算异面直线
所成角的关键是平移（中点平移，顶点平移以及补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，以便易于发现两条异面直线间的关系）转化为相交两直线的夹角。
2、直线和平面所成的角：（1）定义：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角。（2）范围：[0 ,90 ]；（3）求法：作出直线在平面上的射影；（4）斜线与平面所成的角的特征：斜线与平面中所有直线所成角中最小的角。 （1）正四棱锥P-ABCD的所有棱长相等，E是PC的中点，那么异面直线BE与PA所成的角的余弦值等于__ __；
（2）在正方体AC1中，M是侧棱DD1的中点，O是底面ABCD的中心，P是棱A1B1上的一点，则OP与AM所成的角的大小为__ __；
（3）已知异面直线a、b所成的角为50°，P为空间一点，则过P且与a、b所成的角都是30°的直线有且仅有_条；
（4）若异面直线a,b所成的角为
π3
，且直线c⊥a，则异面直线b,c所成
角的范围是__ __；
（5）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=1，D在棱BB1上，BD=1，则AD与平面AA1C1C所成的角为__；
（6）正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AB、C1D1的中点，则棱 A1B1
与截面A1ECF所成的角的余弦值是___；
（7）PA,PB,PC是从点P引出的三条射线，每两条的夹角都是60︒，则直线PC与平面PAB所成角的余弦值为___ ___；
（8）若一平面与正方体的十二条棱所在直线都成相等的角θ，则sinθ的值为___ ___。 0
例1.空间四边形ABCD中，AB=CD,AB与CD所成的角为60的角，E、F分别 为AD、BC的中点，求EF与AB所成的角 E
D
F
C
例2.已知∠ACB=900，且在平面α内，PC与CA、CB所成角∠PCA=∠PCB=600,求PC与平面α所成角。
例3.已知等腰∆ABC中，AC = BC = 2，∠ACB = 120︒，∆ABC所在平面外的一点P到三角形三顶点的距离都等于4，求直线PC与平面ABC所成的角。
例4. 如图: △ABC的∠ABC= 90︒, V是平面ABC外的一点, VA = VB = VC = AC, 求VB与平面ABC所成的角。
A
例5.设△ABC内接于⊙O，其中AB为⊙O的直径，PA⊥平面ABC。 如图cos∠ABC=
1正四面体S—ABC中，D为SC的中点，则BD与SA所成角的余
5
,PA:PB=4:3,求直线PB和平面PAC所成角的大小. 6
( ) 22的正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于( )
弦值是
3ABCD中，E、F分别是AC、BD的中点，若CD=2AB=2，EF⊥AB，则EF与CD所成的角等于___________4P—ABCD中，若侧面与底面所成二面角的大小为60°，则异面直线PA与BC所成角的大小等于_______（结果用反三角函数值表示）
5A—BCD中，AD=BC=2a，E、F分别是AB、CD的中点，EF=a，
求AD与BC所成的角
6ABCD的对角线AC=10，BD=6，M、N分别是AB、CD的中点，MN=7，求异面直线AC与BD所成的角
7. 如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，E、F、M、N分别是A1B1、BC、C1D1、B1C1的中点.
（I）求直线EF与MN的夹角；
（II）求直线MF与平面ENF所成角的余弦值；
（答：
ππ16
）（答：90°）（答：2）（答：[,]）（答：arcsin）（答：）
62334
3
）（答：） 33
（答：
解：取BD的中点M，连ME、MF，∵E、F分别为AD、BC的中点， E D
1∥ 1AB，MF ∥ ∴ME CD，ME 与 MF所成的角为AB与CD所成的角＝ 2＝ 2
∴∠EMF=60或120，∵AB=CD，∴ME = MF
，EF与EM所成的角为60或
00
EF与AB所成的角也为60或30 .
F 解析：解：设点P在底面上的射影为O，连OB、OC，
则OC是PC在平面ABC内的射影， ∴∠PCO是PC与面ABC所成的角。 ∵ PA = PB = PC，
∴点P在底面的射影是∆ABC的外心， 注意到∆ABC为钝角三角形， ∴点O在∆ABC的外部， ∵AC = BC，O是∆ABC的外心， ∴OC⊥AB
C
在∆OBC中，OC = OB， ∠OCB = 60︒， ∴∆OBC为等边三角形，∴OC = 2
在Rt∆POC中，cos∠PCO=
OC1
= PC2
∴∠PCO = 60︒ 。 解：如图过点P作PH⊥平面ABC于H，
过点H作HD⊥AC于D，作HE⊥BC于E，连PD、PE，∴PD⊥AC，PE⊥BC， ∵∠PCA=∠PCB=600，∴ΔPCD≌ΔPCE，∴CD=CE，∴ΔHCD≌ΔHCE， ∴HD=HE，∴CH平分∠ACB，设PC=a∴CE=
12a,CH=a, 22
∴∠PCH=450，即PC与平面α所成角为450。 解析：解：设点P在底面上的射影为O，连OB、OC，
则OC是PC在平面ABC内的射影， ∴∠PCO是PC与面ABC所成的角。 ∵ PA = PB = PC，
∴点P在底面的射影是∆ABC的外心， 注意到∆ABC为钝角三角形， ∴点O在∆ABC的外部， ∵AC = BC，O是∆ABC的外心， ∴OC⊥AB
H E
B
在∆OBC中，OC = OB， ∠OCB = 60︒， ∴∆OBC为等边三角形，∴OC = 2 在Rt∆POC中，cos∠PCO=∴∠PCO = 60︒ 。
OC1
= PC2
解析：1、要求VB与平面ABC所成的角, 应作出它们所成的角。
2、要作出VB与平面ABC所成的角, 只要找出VB在平 面ABC内的射影就可以了。
3、作斜线在平面内的射影, 只要在斜线上找一点作直线 垂直于平面, 即找此点在平面内的射影, 显然找V点, V点在平面内的射影在何处？由条件可知, 射影为△ABC的外心。
解: 作VO⊥平面ABC于O, 则OB为VB在平面ABC内的射影,
∴∠VBO为VB与平面ABC所成的角。
连OA、OB、OC, 则OA、OB、OC分别为斜线段VA、VB、VC在平面ABC内的射影。
∵VA = VB = VC ∴OA = OB = OC ∴O为△ABC为外心
∵△ABC为直角三角形, 且AC为斜边 ∴O为AC的中点
3a 2
设VA = a, 则VA = VC = AC = a, VO=
3a
VO3在Rt△VOB中, sin∠VBO= ==VBa2
∴∠VBO = 60︒
∴VB与平面ABC所成的角为60︒。
．解：
设PA=4x,AB=3x,则PB=5x,BC=3xcos∠ABC= AB是ΘO的直径∴∠ACB=90 ,即BC⊥AC又 PA⊥面ABC,∴PA⊥BC∴BC⊥面PAC
∴∠BPC是PB和面PAC所成的角
5x
1
在Rt∆BPC中,sin∠BPC==,∴∠BPC=30
5x2
即直线PB和平面PAC所成的角为30
5
x2
解析：取AC的中点E，连结DE、BE，则DE∥SA， ∴∠BDE就是BD与SA所成的角SA=a，
31 a，DE= a， 22
22BD+DE-BE2cos∠BDE==
2BD⋅DE答案：C
解法一：取面CC1D1D的中心为H，连结FH、D1H在△FHD1中，
则BD=BE=
FD1=
3，FH=，D1H
22解法二：取BC的中点GGC1∥FD1，再取GC的中点H，连结HE、OH，则∠OEH为异面直线所成的角由余弦定理，得∠D1FH
5，HE=，OH
24由余弦定理，可得cos∠OEH
答案：B
在△OEH中，OE=
解析：取AD的中点G，连结EG、FG，易知EG=1，FG由EF⊥AB及GF∥AB知EF⊥FG在Rt△EFG中，求得∠GEF=30°，即为EF与CD答案：30° 答案：arctan2
解：取AC的中点M，连结ME、MF，则ME∥BC，MF∥AD，所以∠EMF（或其
补角）是直线AD与BC所成的角EMF中，ME=
11BC=a，MF=AD=a，EF=a，
22
a2+a2-3a21
cos∠EMF==－，∠EMF=120°，因此异面直线AD与BC所成的
22a2
角为60BC的中点E，连结EN、EM，
∴∠MEN是异面直线AC与BD所成的角或其补角D
在△EMN中，EN=cos∠MEN=－
BDAC
=3，EM==5，MN=7，22
1
，∴∠MEN=120°2
∴异面直线AC与BD所成的角是6022.
（满分14分）
解：设AB=i，AD=j，AA1=k，以i，j，k为坐标向量建立空间直角坐标系A—xyz，
11，1，1），N（1，22
111
（1）∵EF=（，，-1），MN=（，-，0），
2222111111
∴EF·MN=（，，-1）·（，-，0）=-+0=0.
222244
则有E（
，0，1，），F（1，
，0），M（
∴EF⊥MN，即直线EF与MN的夹角为90°.（6分） （2）由于FN=（0，0，1），MN=（∴FN·MN=0，∴FN⊥MN. ∵EF∩FN=F，∴MN⊥平面ENF.
又MN⊂平面MNF，∴平面MNF⊥平面ENF.（8分）
1212
，1）.（2分）
2
，-
12
，0），
（3）在平面NEF中，过点N作NG⊥EF于点G，连结MG，由三垂线定理，得MG⊥EF. ∴∠MGN为二面角N—EF—M的平面角.（12分）
在Rt△NEF中，NG=
EN⋅NFEN⋅NF22==⋅=EFMF236
MN236
=⋅=NG226
2
.（14分）
.
.
∴在Rt△MNG中，tan∠MGN=
∴二面角M—EF—N的平面角的正切值为
高三数学（线线角、线面角）复习讲义
【知识点归纳】1、异面直线所成的角：（1）范围：θ∈(0,
π
2
]；（2）求法：计算异面直线
所成角的关键是平移（中点平移，顶点平移以及补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，以便易于发现两条异面直线间的关系）转化为相交两直线的夹角。
2、直线和平面所成的角：（1）定义：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角。（2）范围：[0 ,90 ]；（3）求法：作出直线在平面上的射影；（4）斜线与平面所成的角的特征：斜线与平面中所有直线所成角中最小的角。 （1）正四棱锥P-ABCD的所有棱长相等，E是PC的中点，那么异面直线BE与PA所成的角的余弦值等于__ __；
（2）在正方体AC1中，M是侧棱DD1的中点，O是底面ABCD的中心，P是棱A1B1上的一点，则OP与AM所成的角的大小为__ __；
（3）已知异面直线a、b所成的角为50°，P为空间一点，则过P且与a、b所成的角都是30°的直线有且仅有_条；
（4）若异面直线a,b所成的角为
π3
，且直线c⊥a，则异面直线b,c所成
角的范围是__ __；
（5）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=1，D在棱BB1上，BD=1，则AD与平面AA1C1C所成的角为__；
（6）正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AB、C1D1的中点，则棱 A1B1
与截面A1ECF所成的角的余弦值是___；
（7）PA,PB,PC是从点P引出的三条射线，每两条的夹角都是60︒，则直线PC与平面PAB所成角的余弦值为___ ___；
（8）若一平面与正方体的十二条棱所在直线都成相等的角θ，则sinθ的值为___ ___。 0
例1.空间四边形ABCD中，AB=CD,AB与CD所成的角为60的角，E、F分别 为AD、BC的中点，求EF与AB所成的角 E
D
F
C
例2.已知∠ACB=900，且在平面α内，PC与CA、CB所成角∠PCA=∠PCB=600,求PC与平面α所成角。
例3.已知等腰∆ABC中，AC = BC = 2，∠ACB = 120︒，∆ABC所在平面外的一点P到三角形三顶点的距离都等于4，求直线PC与平面ABC所成的角。
例4. 如图: △ABC的∠ABC= 90︒, V是平面ABC外的一点, VA = VB = VC = AC, 求VB与平面ABC所成的角。
A
例5.设△ABC内接于⊙O，其中AB为⊙O的直径，PA⊥平面ABC。 如图cos∠ABC=
1正四面体S—ABC中，D为SC的中点，则BD与SA所成角的余
5
,PA:PB=4:3,求直线PB和平面PAC所成角的大小. 6
( ) 22的正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于( )
弦值是
3ABCD中，E、F分别是AC、BD的中点，若CD=2AB=2，EF⊥AB，则EF与CD所成的角等于___________4P—ABCD中，若侧面与底面所成二面角的大小为60°，则异面直线PA与BC所成角的大小等于_______（结果用反三角函数值表示）
5A—BCD中，AD=BC=2a，E、F分别是AB、CD的中点，EF=a，
求AD与BC所成的角
6ABCD的对角线AC=10，BD=6，M、N分别是AB、CD的中点，MN=7，求异面直线AC与BD所成的角
7. 如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，E、F、M、N分别是A1B1、BC、C1D1、B1C1的中点.
（I）求直线EF与MN的夹角；
（II）求直线MF与平面ENF所成角的余弦值；
（答：
ππ16
）（答：90°）（答：2）（答：[,]）（答：arcsin）（答：）
62334
3
）（答：） 33
（答：
解：取BD的中点M，连ME、MF，∵E、F分别为AD、BC的中点， E D
1∥ 1AB，MF ∥ ∴ME CD，ME 与 MF所成的角为AB与CD所成的角＝ 2＝ 2
∴∠EMF=60或120，∵AB=CD，∴ME = MF
，EF与EM所成的角为60或
00
EF与AB所成的角也为60或30 .
F 解析：解：设点P在底面上的射影为O，连OB、OC，
则OC是PC在平面ABC内的射影， ∴∠PCO是PC与面ABC所成的角。 ∵ PA = PB = PC，
∴点P在底面的射影是∆ABC的外心， 注意到∆ABC为钝角三角形， ∴点O在∆ABC的外部， ∵AC = BC，O是∆ABC的外心， ∴OC⊥AB
C
在∆OBC中，OC = OB， ∠OCB = 60︒， ∴∆OBC为等边三角形，∴OC = 2
在Rt∆POC中，cos∠PCO=
OC1
= PC2
∴∠PCO = 60︒ 。 解：如图过点P作PH⊥平面ABC于H，
过点H作HD⊥AC于D，作HE⊥BC于E，连PD、PE，∴PD⊥AC，PE⊥BC， ∵∠PCA=∠PCB=600，∴ΔPCD≌ΔPCE，∴CD=CE，∴ΔHCD≌ΔHCE， ∴HD=HE，∴CH平分∠ACB，设PC=a∴CE=
12a,CH=a, 22
∴∠PCH=450，即PC与平面α所成角为450。 解析：解：设点P在底面上的射影为O，连OB、OC，
则OC是PC在平面ABC内的射影， ∴∠PCO是PC与面ABC所成的角。 ∵ PA = PB = PC，
∴点P在底面的射影是∆ABC的外心， 注意到∆ABC为钝角三角形， ∴点O在∆ABC的外部， ∵AC = BC，O是∆ABC的外心， ∴OC⊥AB
H E
B
在∆OBC中，OC = OB， ∠OCB = 60︒， ∴∆OBC为等边三角形，∴OC = 2 在Rt∆POC中，cos∠PCO=∴∠PCO = 60︒ 。
OC1
= PC2
解析：1、要求VB与平面ABC所成的角, 应作出它们所成的角。
2、要作出VB与平面ABC所成的角, 只要找出VB在平 面ABC内的射影就可以了。
3、作斜线在平面内的射影, 只要在斜线上找一点作直线 垂直于平面, 即找此点在平面内的射影, 显然找V点, V点在平面内的射影在何处？由条件可知, 射影为△ABC的外心。
解: 作VO⊥平面ABC于O, 则OB为VB在平面ABC内的射影,
∴∠VBO为VB与平面ABC所成的角。
连OA、OB、OC, 则OA、OB、OC分别为斜线段VA、VB、VC在平面ABC内的射影。
∵VA = VB = VC ∴OA = OB = OC ∴O为△ABC为外心
∵△ABC为直角三角形, 且AC为斜边 ∴O为AC的中点
3a 2
设VA = a, 则VA = VC = AC = a, VO=
3a
VO3在Rt△VOB中, sin∠VBO= ==VBa2
∴∠VBO = 60︒
∴VB与平面ABC所成的角为60︒。
．解：
设PA=4x,AB=3x,则PB=5x,BC=3xcos∠ABC= AB是ΘO的直径∴∠ACB=90 ,即BC⊥AC又 PA⊥面ABC,∴PA⊥BC∴BC⊥面PAC
∴∠BPC是PB和面PAC所成的角
5x
1
在Rt∆BPC中,sin∠BPC==,∴∠BPC=30
5x2
即直线PB和平面PAC所成的角为30
5
x2
解析：取AC的中点E，连结DE、BE，则DE∥SA， ∴∠BDE就是BD与SA所成的角SA=a，
31 a，DE= a， 22
22BD+DE-BE2cos∠BDE==
2BD⋅DE答案：C
解法一：取面CC1D1D的中心为H，连结FH、D1H在△FHD1中，
则BD=BE=
FD1=
3，FH=，D1H
22解法二：取BC的中点GGC1∥FD1，再取GC的中点H，连结HE、OH，则∠OEH为异面直线所成的角由余弦定理，得∠D1FH
5，HE=，OH
24由余弦定理，可得cos∠OEH
答案：B
在△OEH中，OE=
解析：取AD的中点G，连结EG、FG，易知EG=1，FG由EF⊥AB及GF∥AB知EF⊥FG在Rt△EFG中，求得∠GEF=30°，即为EF与CD答案：30° 答案：arctan2
解：取AC的中点M，连结ME、MF，则ME∥BC，MF∥AD，所以∠EMF（或其
补角）是直线AD与BC所成的角EMF中，ME=
11BC=a，MF=AD=a，EF=a，
22
a2+a2-3a21
cos∠EMF==－，∠EMF=120°，因此异面直线AD与BC所成的
22a2
角为60BC的中点E，连结EN、EM，
∴∠MEN是异面直线AC与BD所成的角或其补角D
在△EMN中，EN=cos∠MEN=－
BDAC
=3，EM==5，MN=7，22
1
，∴∠MEN=120°2
∴异面直线AC与BD所成的角是6022.
（满分14分）
解：设AB=i，AD=j，AA1=k，以i，j，k为坐标向量建立空间直角坐标系A—xyz，
11，1，1），N（1，22
111
（1）∵EF=（，，-1），MN=（，-，0），
2222111111
∴EF·MN=（，，-1）·（，-，0）=-+0=0.
222244
则有E（
，0，1，），F（1，
，0），M（
∴EF⊥MN，即直线EF与MN的夹角为90°.（6分） （2）由于FN=（0，0，1），MN=（∴FN·MN=0，∴FN⊥MN. ∵EF∩FN=F，∴MN⊥平面ENF.
又MN⊂平面MNF，∴平面MNF⊥平面ENF.（8分）
1212
，1）.（2分）
2
，-
12
，0），
（3）在平面NEF中，过点N作NG⊥EF于点G，连结MG，由三垂线定理，得MG⊥EF. ∴∠MGN为二面角N—EF—M的平面角.（12分）
在Rt△NEF中，NG=
EN⋅NFEN⋅NF22==⋅=EFMF236
MN236
=⋅=NG226
2
.（14分）
.
.
∴在Rt△MNG中，tan∠MGN=
∴二面角M—EF—N的平面角的正切值为