二次函数的建模
知识归纳：求最值的问题的方法归纳起来有以下几点： 1．运用配方法求最值；
2．构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值； 3．建立函数模型求最值；
4．利用基本不等式或不等分析法求最值． 一、利用二次函数解决几何面积最大问题
1、如图1，用长为18米的篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗圃。
(1)设矩形的一边长为x （米），面积为y （平方米），求y 关于x 的函数关系式； (2)当x 为何值时，所围成的苗圃面积最大？最大面积是多少？
解：（1）设矩形的长为x （米），则宽为（18- x）（米）， 根据题意，得：
y =x (18-x ) =-x 2+18x ； 又∵⎧x ＞0, ∴0＜x＜18 ⎨
18-x ＞0⎩
（自变量x 的取值范围是关键，在几何类题型中，经常采用的办法是： 利用含有自变量的加减代数式的边长来确定自变量的取值范围，例如上式
中，18-x ，就是含有自变量的加减代数式，考虑到18-x 是边长，所以边长应该＞0，但边长最长不能超过18，于是有0＜18-x ＜18，0＜x ＜18）
（2）∵y =x (18-x ) =-x 2+18x 中，a= -1＜0，∴y 有最大值，
b 184ac -b 20-182
=-=9时， y
max =即当x =-==81 2a 2⨯(-1) 4a 4⨯(-1)
⎧x ＞0
⎪
又∵⎨50-x , ∴0＜x＜50
＞0⎪⎩2
∵y =x (
150-x 1
) =-x 2+25x 中，a=-＜0，∴y 有最大值，
222
b
即当x =-=-
2a
2512⨯(-)
2
=25时，y max
4ac -b 20-252625===
14a 24⨯(-)
2
解：∵四边形ABCD 是边长为a 米的正方形，
∴∠A=∠D=90°，AD= a米．
∵四边形EFGH 为正方形，∴∠FEH=90°，EF=EH． 在△AEF 与△DHE 中，
∵∠A=∠D ，∠AEF=∠DHE=90°-∠DEH ，EF=EH
解：设花圃的宽为x 米, 则花圃的长为（32-4x+3）=（35-4x ）米, 面积为S 从而S=x(35-4x)-x=-4x²+34x
∵ 0＜35-4x ≤10 ∴6.25≤x ＜8.75 S=-4x²+34x,对称轴x=4.25,开口朝下 ∴当x ≥6.25时S 随x 的增大而减小 故当x=6.25时, 35-4×6.25=10 S 取最大值56.25㎡.
答：可设计成宽6.25米，长10米的矩形花圃，这样的花圃面积最大．
变式1：小明的家门前有一块空地, 空地外有一面长10米的围墙, 为了美化生活环境, 小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃 , 他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏, 花圃的宽宽究竟应为多少米才能使花圃的面积最大?
解：设花圃的宽为x 米, 则花圃的长为（32-2x ）米, 面积为S
设矩形面积为y 米², 得到： S=x（32-2x ）=-2x²+32x
∵ 0＜32-2x ≤10 ∴ 11≤x ＜16 由图象或增减性可知x=11米时, S 最大=110米²
7：某人定制了一批地砖，每块地砖（如图(1)所示）是边长为0.4米的正方形ABCD ，点E 、F 分别在边BC 和CD 上，△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 均由单一材料制成，制成△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，若将此种地砖按图(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH ．
(1)判断图(2)中四边形EFGH 是何形状，并说明理由； (2)E、F 在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？ 解：(1) 四边形EFGH 是正方形．
图(2)可以看作是由四块图(1)所示地砖绕C 点 按顺(逆) 时针方向旋转90°后得到的， 故CE=CF =CG．
∴△CEF 是等腰直角三角形
因此四边形EFGH 是正方形． (2)设CE=x, 则BE=0.4－x ，每块地砖的费用为y 元 那么：y=
x ×30+
×0.4×(0.4-x)×20+[0.16-x -×0.4×(0.4-x)×10]
2
=10(x -0. 2x +0. 24)
2=10(x -0. 1) +2. 3(0
当x=0.1时，y 有最小值，即费用为最省，此时CE=CF=0.1． 答：当CE=CF=0.1米时，总费用最省．
8、某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15m) 的空地上建一个矩形花园ABCD ，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围成．若设花园的宽为x(m) ，花园的面积为y(m²) ．
(1)求y 与x 之间的函数关系，并写出自变量的取值范围；
（2）根据（1）中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当x 取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？
2y =x (40-2x ) =-2(x -20x ) 解：
=-2(x -10) 2+200
∵0
∵二次函
数的顶点不在自变量x 的范围内，
而当12. 5≤x
y max =-2(12. 5-10) 2+200=187. 5(平方米)
答：当x =12. 5米时花园的面积最大，最大面积是187.5平方米．
9．如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x 米．
(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m ？
(2)如果中间有n(n是大于1的整数) 道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少米？比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？
（2）可设从而支柱（3）设
，于是的长度是是隔离带的宽，
米．
是三辆车的宽度和，则点坐标是．
过点作垂直交抛物线于，则．
根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车． 12、
12、(2006年南京市) 如图，在矩形ABCD 中，AB=2AD，线段EF=10．在EF 上取一点M ，•分别以EM 、MF 为
一边作矩形EMNH 、矩形MFGN ，使矩形MFGN ∽矩形ABCD ．令MN=x，当x 为何值时，矩形EMNH 的面积S 有最大值？最大值是多少？
解：∵矩形MFGN ∽矩形ABCD ∴MF=2MN =2x ∴ EM=10-2x ∴S=x（10-2x ）=-2x2+10x=-2(x-2.5)2+12.5 ∵0
当x=2.5时，S 有最大值12.5
13、已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE （如图），其中AF=2，BF=1．试在AB 上求一点P ，使矩形PNDM 有最大面积．
解：设矩形PNDM 的边DN=x，NP=y， 则矩形PNDM 的面积S=xy（2≤x≤4） 易知CN=4-x，EM=4-y． 过点B 作BH ⊥PN 于点H 则有△AFB ∽△BHP ∴
AF BH 24-x
=
，即=， BF PH 1y -3
∴y =-
1
x +5， 21
S =xy =-x 2+5x (2≤x ≤4) ，
2
此二次函数的图象开口向下，对称轴为x=5， ∴当x≤5时，函数值y 随x 的增大而增大， 对于2≤x ≤4来说，当x=4时，S 最大=-
1
⨯42+5⨯4=12． 2
【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力．同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间．
14．如图，矩形ABCD 的边AB=6 cm，BC=8cm，在BC 上取一点P ，在CD 边上取一点Q ，使∠APQ 成直角，设
BP=x cm，CQ=y cm，试以x 为自变量，写出y 与x 的函数关系式．
A D Q
B P
C
解：∵∠APQ=90°, ∴∠APB+∠QPC=90°. ∵∠APB+∠BAP=90°,
∴∠QPC=∠BAP ，∠B=∠C=90° . ∴△ABP ∽△PCQ.
AB BP 6x
=, =, PC CQ 8-x y
∴y =-
124x +x ． 63
15、如图所示，在一个直角△MBN 的内部作一个长方形ABCD ，其中AB 和BC 分别在两直角边上，设AB =x m ，
长方形的面积为y m2，要使长方形的面积最大，其边长x 应为( D )
A ．
245m B ．6 m C ．15 m D ．m 42
解：AB =x m，AD=b ，长方形的面积为y m
2
∵AD ∥BC ∴△MAD ∽△MBN
AD MA b 5-x 12
==(5-x ) ，即，b =BN MB 1255
1212
y =xb =x ⋅(5-x ) =-(x 2-5x ) , 当x =2. 5时，y 有最大值．
55
二、利用二次函数解决抛物线形建筑物问题
1、如图（1）是一个横断面为抛物线形状
的拱桥，当水面在l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m ，水面宽4m ．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是 .
∴
2
y =ax 解：设此函数解析式为：，（a ≠0）； 那么
（2，-2）应在此函数解析式上．
2、某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于
水面安装一个花形柱子OA ，O 恰在水面中心，安置在柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA 的任一平面上，抛物线形状如图（1）所示. 图（2）建立直角坐标系，水流喷出的高度y （米）与水平距离x （米）之间的
图（1） 图
(2)喷出的水流距水平面的最大高度是多少米？
(3)若不计其他因素，水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不至于落在池外？
解：（1）把x=0代入抛物线的解析式
55，即柱子OA 的高度是 44
29
=1时，y=, 即水流距水平面的最大高度 （2）由题意得：当x=-
2⨯（-1）4
得：y=
（3）把y=0代入抛物线
2
得：-x +2x +
551
=0，解得，x 1=-(舍去，不合题意)
，x 2= 422
3．一座桥如图，桥下水面宽度AB 是20米，高CD 是4米. 要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米.
（1）如图1，若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标
系
.
①求抛物线的解析式；
②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米? （2）如图2，若把桥看做是圆的一部分. ①求圆的半径；
②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米?
2
y =ax +c ， 解：（1）①设抛物线解析式为：
∵桥下水面宽度AB 是20米，高CD 是4米，
∴A （﹣10，0），B （10，0），D （0，4），
222
r =(r -4) +10 （2）①设圆半径r 米，圆心为W ，∵BW2=BC2+CW2，∴，解得：r =14.5；
②在RT △WGF 中，由题可知，WF=14.5，WG=14.5﹣1=13.5，根据勾股定理知：
4. 有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下面宽度为20米，拱顶距离水平面4米，如图建立直角坐标系，若正常水位时，桥下水深6米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18米，则当水深超过多少米时，就会影响过往船只的顺利航行（ ）
A ．2.76米 B ．6.76米
解：设该抛物线的解析式为y=ax2，在正常水位下x=10，y=-4，代入解析式得
-4=a×102 a=-1/25 所以此抛物线的解析式为：y=-x2/25
因为桥下水面宽度不得小于18米，所以令x=9时可得：y=-81/25=-3.24
此时水深6+4-3.24=6.76米
即桥下水深6.76米时正好通过，所以超过6.76米时则不能通过．故选B
5、有一座抛物线形拱桥, 正常水位时桥下水面宽度为20m, 拱顶距离水面4m ．
（1）在如图所示的直角坐标系中, 求出该抛物线的解析式；
（2）在正常水位的基础上, 当水位上升h （m ）时, 桥下水面的宽度为d （m ）, 求出将d 表示h 的函数解析式.
（3）设正常水位时桥下的水深为2m, 为保证过往船只顺利航行, 桥下水面的宽度不得小于18m, 求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行?
解：(1)设该抛物线的解析式为y=ax2，在正常水位下x=10，y=-4，代入解析式得
-4=a×102 a=-1/25 所以此抛
物线
的解析式为：y=-x2/25
(2)设水面上升hm ，水面与抛物线的交点为（d/2,h-4），带入抛物线得
h-4=-d2/4×1/25 化简得：d=10√4-h
(3)将d=18代入d=10√4-h 得：h=0.76 所求最大水深为：2+0.76=2.76(米)
点O 落在水平面上，对称轴是水平线OC ．点A 、B 在抛物线造型上，且点A 到水平面的距离AC=4米，点B 到水平面距离为2米，OC=8米．
（1）请建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式；
（2）为了安全美观，现需在水平线OC 上找一点P ，用质地、规格已确定的圆形钢管制作两根支柱PA 、PB 对抛物线造型进行支撑加固，那么怎样才能找到两根支柱用料最省（支柱与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑）时的点P ？（无需证明）
（3）为了施工方便，现需计算出点O 、P 之间的距离，那么
两根
支柱用料最省时点O 、P 之间的距离是多少？（请写出求解过程）
解：（1）以点O 为原点、射线OC 为y 轴的正半轴建立
直角坐标系，
设抛物线的函数解析式为y=ax，由题意知点A 的坐标
为（4，8）．
所以8=a×4
2式为：y=x/2 2 2a=1/2 ∴所求抛物线的函数解析
（2）找法：延长AC ，交建筑物造型所在抛物线于点D ，
则点A 、D 关于OC 对称．
连接BD 交OC 于点P ，则点P 即为所求．
（3）由题意知点B 的横坐标为2，
∵点B 在抛物线上，∴点B 的坐标为（2，2），又∵点A 的坐标为（4，8）， ∴点D 的坐标为（-4，8），
设直线BD 的函数解析式为y=kx+b，
2k +b ＝2.......... ①
−4k +b ＝8........ ②
解得：k=-1，b=4．
∴直线BD 的函数解析式为y=-x+4，
把x=0代入y=-x+4，得点P 的坐标为（0，4），
两根支柱用料最省时，点O 、P 之间的距离是4米．
10、兰州市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高，房子的价格y (元/平方米) 随楼层数x (楼) 的变化而变化(x =1，2，3，4，5，6，7，8) ；已知点(x ，y ) 都在一个二次函数的图像上，(如图所示) ，则6楼房子的价格为 元/平方米．（提示：利用对称性，答案：2080．）
11、自建平面坐标系求值：(2008四川内江) 如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一
个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为 0.5 米．
答案：如图所示建立直角坐标系
则：设y =ax 2+c 将点(-0. 5, 1) ，(1, 2. 5) 代入，
⎧1=a ⨯(-0. 5) 2+c ⎧a =2，解得⎨ ⎨c =0. 5⎩⎩2. 5=a +c
y =2x 2+0. 5 顶点(0, 0. 5) ，最低点距地面0.5米．
三、利用抛物线解决最大利润问题
1、某市政府大力扶
持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y(件) 与销售单价x(元) 之间的关系可近似的看做一次函数：y ＝－10x ＋500.
（1）设李明每月获得利润为w(元) ，当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（6分）
（2）如果李明想要每月获得2 000元的利润，那么销售单价应定为多少元？（3分）
（3）物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2 000元，那么他每月的成本最少需要多少元？(成本＝进价×销售量)
解：（1）由题意得出： ：w = (x－20)·y=(x－20)·(-10x+500)=-10x+700x-10000
∵a=-10＜0，x=-b/2a =35，，∴当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润．
（2）由题意，得：-10x +700x-10000=2000，
解这个方程得：x1=30，x2=40．
∴李明想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元．
（3）∵a=-10＜0，∴抛物线开口向下. ∴当30≤x ≤40时，W ≥2000.
∵x ≤32，∴当30≤x ≤32时，W ≥2000.
设成本为P （元），由题意，得：P =20(-10x+500)=-200x+10000，
∵k=200＜0，∴P 随x 的增大而减小．∴当x=32时，P 最小=3600．
答：想要每月获得的利润不低于2000元，每月的成本最少为3600元．
2. 我市某工艺厂设计了一款成本为20元∕件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据：（注：利润=销售总价-成本总价）
销售单价x （元∕„ 件）
每天销售量y （件„ 30 40 50 60 „ 22500 400 300 200 „
（1）把上表中x 、y 的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y 与x 的函数关系，并求出函数关系式；
（2）在（1）的条件下，设工艺厂试销该工艺品每天所得利润为P 元； ①当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润P 为8000元？ ②工艺厂自身发展要求试销单价不低于35元/件，同时，当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过55元，写出在此情况下每天获利P 的取值范围．
解：（1）如图所示是一次函数解析式，设一次函数解析式为：y=ax+b
30a +b ＝500......... ①
40a +b ＝400......... ②
解得： a ＝−10 b ＝800 ∴函数解析式为：y=-10x+800
（2）①由题意得出：P=（-10x+800）（x-20）=8000，解得：x 1=40，x 2=60，
∴当销售单价定为40元或60元时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润P 为8000元； ②∵P=（-10x+800）（x-20）=-10x+1000x-16000=-10（x-50）+9000，
∴当x=50时，P=9000元，
当x=35时，P=6750元，
∴P 的取值范围是：6750≤P ≤9000．
3. 某商家独家销售具有地方特色的某种商品，每件进价为40元．经过市场调查，一周的销售量y 件与销售单价x （x ≥50）元/件的关系如下表：
销售单价x （元/件„
一周的销售量y „ （件） 55 60 70 75 450 400 300 250 „ „ 22
（1）直接写出y 与x 的函数关系式：y=-10x+1000
（2）设一周的销售利润为S 元，请求出S 与x 的函数关系式，并确定当销售单价在什么范围内变化时，一周的销售利润随着销售单价的增大而增大？
（3）雅安地震牵动亿万人民的心，商家决定将商品一周的销售利润全部寄往灾区，在商家购进该商品的贷款不超过10000元情况下，请求出该商家最大捐款数额是多少元？
解：（1）设y=kx+b，
由题意得，
55k +b ＝450........... ①
60k +b ＝400........... ②
解得：k ＝−10 b ＝1000
则函数关系式为：y=-10x+1000；
（2）由题意得，S=（x-40）y=（x-40）（-10x+1000）
=-10x+1400x-40000=-10（x-70）+9000，
∵-10＜0，
∴函数图象开口向下，对称轴为x=70，
∴当50≤x ≤70时，销售利润随着销售单价的增大而增大；
（3）∵由40（-10x+1000）≤10000
解得x ≥75 ∴当x=75时，利润最大，为8750元．
4、某玩具批发商销售每只进价为40元的玩具，市场调查发现，若以每只50元的价格销售，平均每天销售90只，单价每提高1元，平均每天就少销售3只．
（1）平均每天的销售量y(只) 与销售价x(元／只) 之间的函数关系式为 ；
（2）求该批发商平均每天的销售利润W(元) 与销售只x(元／只) 之间的函数关系式；
（3）物价部门规定每只售价不得高于55元，当每只玩具的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少元
解：：( 1）y=90-3（x-50）即y=-3x+240；
（2）w=（x-40）y=（x-40）（-3x+240）=-3x2+360x-9600；
(3)当x ≤60，y 随x 的增大而减小， 当x=55时，w 最大=1125
所以定价为55元时，可以获得最大利润是1125元.
5．为了落实国务院的指示精神，地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y(千克) 与销售价x(元/千克) 有如下关系：y=-2x+80. 设这种产品每天的销售利润为w 元.
（1）求w 与x 之间的函数关系式；
（2）该产品销售价定为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？
解：（1）由题意得：w=（x-20）∙y=（x-20）（-2x+80）=-2x2+120x-1600， ∴w 与x 的函数关系式为：w=-2x2+120x-1600；，
（2）w=-2x2+120x-1600=-2（x-30）2+200，
∵﹣2＜0，∴当x=30时，w 有最大值．w 最大值为200.
答：该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元.
（3）当w=150时，可得方程-2（x-30）2+200=150．
解得 x1=25，x2=35．
∵35＞28， ∴x2=35不符合题意，应舍去．
答：该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元．
6．某公司营销A 、B 两种产品，根据市场调研，发现如下信息：
信息1：销售A 种产品所获利润y(万元) 与所售产品x(吨) 之间存在二次函数关系 y=ax2-bx, 当x ＝1时，ｙ＝1.4；当x ＝3时，ｙ＝3.6。
信息2：销售B 种产品所获利润y (万元) 与所售产品x(吨) 之间存在正比例函数关系 y=0.3x．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)求二次函数解析式；
(2)该公司准备购进A 、B 两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售A 、B 两种22
产品获得的利润之和最大，最大利润是多少？
解：（1）因为当x=1时，y=1.4；当x=3时，y=3.6，
2代入y=ax-bx 得a=-0.1 b=1.5
所以，二次函数解析式为y=-0.1x2+1.5x；
（2）设购进A 产品m 吨，购进B 产品（10-m ）吨，销售A 、B 两种产品获得的利润之和为W 元，根据题意可列函数关系式为：
（3）W=-0.1m2+1.5m+0.3（10-m ）=-0.1m2+1.2m+3=-0.1（m-6) 2+6.6，
因为-0.1＜0，当m=6时，W 有最大值6.6，
∴购进A 产品6吨，购进B 产品4吨，销售A 、B 两种产品获得的利润之和最大，最大利润是6.6万元．
7．为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一
种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y （件）与销售单价x （元）之间的关系近似满足一次函数：y=﹣10x+500．
(1)李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？
（2）设李明获得的利润为w （元），当销售单价定为多少时，每月可获得最大利润？
（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？
解：：（1）当x=20时,y=﹣10x+500=﹣10×20+500=300,
300×（12﹣10）=300×2=600元, 即政府这个月为他承担的总差价为600元;
（2）依题意得,w=（x ﹣10）（﹣10x+500）=﹣10x2+600x﹣5000=﹣10（x ﹣30）2+4000 ∵a=﹣10＜0, ∴当x=30时,w 有最大值4000元．
即当销售单价定为30元时, 每月可获得最大利润4000元;
（3）由题意得：﹣10x2+600x﹣5000=3000, 解得：x1=20,x2=40．
∵a=﹣10＜0, 抛物线开口向下, ∴结合图象可知：当20≤x ≤40时,w ≥3000．
又∵x ≤25, ∴当20≤x ≤25时,w ≥3000．
设政府每个月为他承担的总差价为p 元,
∴p=（12﹣10）×（﹣10x+500）=﹣20x+1000．
∵k=﹣20＜0． ∴p 随x 的增大而减小,
∴当x=25时,p 有最小值500元．
即销售单价定为25元时, 政府每个月为他承担的总差价最少为500元．
8．某文具店销售一种进价为10元/个的签字笔，物价部门规定这
种签字笔的
售价不得高于14
元/个，
根据以往经验：以12元/个的价格销售，
平均每周销售签字笔100个；若每个签字笔的销售价格每提高1元，则平均每周少销售签字笔10个. 设销售价为x 元
/个.
（1）该文具店这种签字笔平均每周的销售量为 个（用含x 的式子表示）；
（2）求该文具店这种签字笔平均每周的销售利润w （元）与销售价x （元/个）之间的函数关系式；
（3）当x 取何值时，该文具店这种签字笔平均每周的销售利润最大？最大利润是多少元？ 解：（1）（220－10x ）；
∵抛物线
大而增大.
由题意可知， ∴当x=14时，最大为320.
的开口向下，在对称轴直线x=16的左侧，随的增
解：（1）由表格数据可知y 与x 是一次函数关系，设其解析式为，
将（3000，100），（3200，96）代入得，解得： 。
∴。
将（3500，90），（4000，80）代入检验，适合。
∴y 与x 间的函数关系是
（2）填表如下：
。
（3）设租赁公司获得的月收益为W 元，依题意可得：
当x=4050时，Wmax=307050，
∴当每辆车的月租金为4050元时，公司获得最大月收益307050元
10、随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高．某园林专业户计划投资种植花卉及树木，
根据市场调查与预测，种植树木的利润与投资量成正比例关系，如图12-①所示；种植花卉的利润与投资量成二次函数关系，如图12-②所示(注：利润与投资量的单位：万元)
（1）分别求出利润与关于投资量的函数关系式；
（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？ 解：（1）设
故利润=, 由图12-①所示，函数==；
，由图12-②所示，函数y 2=的图像过（2，2），所以，的图像过（1，2），所以2=， 关于投资量的函数关系式是因为该抛物线的顶点是原点，所以设y 2=
故利润y 2关于投资量的函数关系式是y 2 12x ； 2
（2）设这位专业户投入种植花卉万元（
他获得的利润是万元，根据题意，得
=y
1+y
2=
=
∵a = += ），则投入种植树木(8-x ) 万元， 1>0∴当2时，的最小值是14；
∴他至少获得14万元的利润． 因为，所以在对称轴x =2的右侧，
z 随x 的增大而增大
所以，当x =8时，z 的最大值为32．
12x 平移得到抛物线m ，抛物线m 经过点A （-6，0）和原点O （0，0），它的顶点为P ，它2
1的对称轴与抛物线y=x 2交于点Q ，则图中阴影部分的面积为________________． 2如图7，把抛物线y=
解析：设平移后的抛物线m 的解析式为y=
b=3 c=o
12x +bx+c，它经过点A （-6,0）和原点O （0，0），代入求出解析式得： 2
29x +3x 所以顶点坐标是（－3，－）， 2
99x=－3时，y=x 2=，所以点Q 坐标是（－3，）， 222
91OA=6，PQ=2×=9，所以四边形APOQ 面积是×6×9=27,图中阴影部分的面积是 22
127四边形APOQ 面积的，所以面积是 22
y
m A O
x
点评：在图形面积计算问题中，巧妙运用轴对称性质解答问题，注意割补法灵活运用. 另外一般图形向特殊图形的
转化也十分关键.
二次函数的建模
知识归纳：求最值的问题的方法归纳起来有以下几点： 1．运用配方法求最值；
2．构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值； 3．建立函数模型求最值；
4．利用基本不等式或不等分析法求最值． 一、利用二次函数解决几何面积最大问题
1、如图1，用长为18米的篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗圃。
(1)设矩形的一边长为x （米），面积为y （平方米），求y 关于x 的函数关系式； (2)当x 为何值时，所围成的苗圃面积最大？最大面积是多少？
解：（1）设矩形的长为x （米），则宽为（18- x）（米）， 根据题意，得：
y =x (18-x ) =-x 2+18x ； 又∵⎧x ＞0, ∴0＜x＜18 ⎨
18-x ＞0⎩
（自变量x 的取值范围是关键，在几何类题型中，经常采用的办法是： 利用含有自变量的加减代数式的边长来确定自变量的取值范围，例如上式
中，18-x ，就是含有自变量的加减代数式，考虑到18-x 是边长，所以边长应该＞0，但边长最长不能超过18，于是有0＜18-x ＜18，0＜x ＜18）
（2）∵y =x (18-x ) =-x 2+18x 中，a= -1＜0，∴y 有最大值，
b 184ac -b 20-182
=-=9时， y
max =即当x =-==81 2a 2⨯(-1) 4a 4⨯(-1)
⎧x ＞0
⎪
又∵⎨50-x , ∴0＜x＜50
＞0⎪⎩2
∵y =x (
150-x 1
) =-x 2+25x 中，a=-＜0，∴y 有最大值，
222
b
即当x =-=-
2a
2512⨯(-)
2
=25时，y max
4ac -b 20-252625===
14a 24⨯(-)
2
解：∵四边形ABCD 是边长为a 米的正方形，
∴∠A=∠D=90°，AD= a米．
∵四边形EFGH 为正方形，∴∠FEH=90°，EF=EH． 在△AEF 与△DHE 中，
∵∠A=∠D ，∠AEF=∠DHE=90°-∠DEH ，EF=EH
解：设花圃的宽为x 米, 则花圃的长为（32-4x+3）=（35-4x ）米, 面积为S 从而S=x(35-4x)-x=-4x²+34x
∵ 0＜35-4x ≤10 ∴6.25≤x ＜8.75 S=-4x²+34x,对称轴x=4.25,开口朝下 ∴当x ≥6.25时S 随x 的增大而减小 故当x=6.25时, 35-4×6.25=10 S 取最大值56.25㎡.
答：可设计成宽6.25米，长10米的矩形花圃，这样的花圃面积最大．
变式1：小明的家门前有一块空地, 空地外有一面长10米的围墙, 为了美化生活环境, 小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃 , 他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏, 花圃的宽宽究竟应为多少米才能使花圃的面积最大?
解：设花圃的宽为x 米, 则花圃的长为（32-2x ）米, 面积为S
设矩形面积为y 米², 得到： S=x（32-2x ）=-2x²+32x
∵ 0＜32-2x ≤10 ∴ 11≤x ＜16 由图象或增减性可知x=11米时, S 最大=110米²
7：某人定制了一批地砖，每块地砖（如图(1)所示）是边长为0.4米的正方形ABCD ，点E 、F 分别在边BC 和CD 上，△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 均由单一材料制成，制成△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，若将此种地砖按图(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH ．
(1)判断图(2)中四边形EFGH 是何形状，并说明理由； (2)E、F 在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？ 解：(1) 四边形EFGH 是正方形．
图(2)可以看作是由四块图(1)所示地砖绕C 点 按顺(逆) 时针方向旋转90°后得到的， 故CE=CF =CG．
∴△CEF 是等腰直角三角形
因此四边形EFGH 是正方形． (2)设CE=x, 则BE=0.4－x ，每块地砖的费用为y 元 那么：y=
x ×30+
×0.4×(0.4-x)×20+[0.16-x -×0.4×(0.4-x)×10]
2
=10(x -0. 2x +0. 24)
2=10(x -0. 1) +2. 3(0
当x=0.1时，y 有最小值，即费用为最省，此时CE=CF=0.1． 答：当CE=CF=0.1米时，总费用最省．
8、某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15m) 的空地上建一个矩形花园ABCD ，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围成．若设花园的宽为x(m) ，花园的面积为y(m²) ．
(1)求y 与x 之间的函数关系，并写出自变量的取值范围；
（2）根据（1）中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当x 取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？
2y =x (40-2x ) =-2(x -20x ) 解：
=-2(x -10) 2+200
∵0
∵二次函
数的顶点不在自变量x 的范围内，
而当12. 5≤x
y max =-2(12. 5-10) 2+200=187. 5(平方米)
答：当x =12. 5米时花园的面积最大，最大面积是187.5平方米．
9．如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x 米．
(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m ？
(2)如果中间有n(n是大于1的整数) 道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少米？比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？
（2）可设从而支柱（3）设
，于是的长度是是隔离带的宽，
米．
是三辆车的宽度和，则点坐标是．
过点作垂直交抛物线于，则．
根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车． 12、
12、(2006年南京市) 如图，在矩形ABCD 中，AB=2AD，线段EF=10．在EF 上取一点M ，•分别以EM 、MF 为
一边作矩形EMNH 、矩形MFGN ，使矩形MFGN ∽矩形ABCD ．令MN=x，当x 为何值时，矩形EMNH 的面积S 有最大值？最大值是多少？
解：∵矩形MFGN ∽矩形ABCD ∴MF=2MN =2x ∴ EM=10-2x ∴S=x（10-2x ）=-2x2+10x=-2(x-2.5)2+12.5 ∵0
当x=2.5时，S 有最大值12.5
13、已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE （如图），其中AF=2，BF=1．试在AB 上求一点P ，使矩形PNDM 有最大面积．
解：设矩形PNDM 的边DN=x，NP=y， 则矩形PNDM 的面积S=xy（2≤x≤4） 易知CN=4-x，EM=4-y． 过点B 作BH ⊥PN 于点H 则有△AFB ∽△BHP ∴
AF BH 24-x
=
，即=， BF PH 1y -3
∴y =-
1
x +5， 21
S =xy =-x 2+5x (2≤x ≤4) ，
2
此二次函数的图象开口向下，对称轴为x=5， ∴当x≤5时，函数值y 随x 的增大而增大， 对于2≤x ≤4来说，当x=4时，S 最大=-
1
⨯42+5⨯4=12． 2
【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力．同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间．
14．如图，矩形ABCD 的边AB=6 cm，BC=8cm，在BC 上取一点P ，在CD 边上取一点Q ，使∠APQ 成直角，设
BP=x cm，CQ=y cm，试以x 为自变量，写出y 与x 的函数关系式．
A D Q
B P
C
解：∵∠APQ=90°, ∴∠APB+∠QPC=90°. ∵∠APB+∠BAP=90°,
∴∠QPC=∠BAP ，∠B=∠C=90° . ∴△ABP ∽△PCQ.
AB BP 6x
=, =, PC CQ 8-x y
∴y =-
124x +x ． 63
15、如图所示，在一个直角△MBN 的内部作一个长方形ABCD ，其中AB 和BC 分别在两直角边上，设AB =x m ，
长方形的面积为y m2，要使长方形的面积最大，其边长x 应为( D )
A ．
245m B ．6 m C ．15 m D ．m 42
解：AB =x m，AD=b ，长方形的面积为y m
2
∵AD ∥BC ∴△MAD ∽△MBN
AD MA b 5-x 12
==(5-x ) ，即，b =BN MB 1255
1212
y =xb =x ⋅(5-x ) =-(x 2-5x ) , 当x =2. 5时，y 有最大值．
55
二、利用二次函数解决抛物线形建筑物问题
1、如图（1）是一个横断面为抛物线形状
的拱桥，当水面在l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m ，水面宽4m ．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是 .
∴
2
y =ax 解：设此函数解析式为：，（a ≠0）； 那么
（2，-2）应在此函数解析式上．
2、某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于
水面安装一个花形柱子OA ，O 恰在水面中心，安置在柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA 的任一平面上，抛物线形状如图（1）所示. 图（2）建立直角坐标系，水流喷出的高度y （米）与水平距离x （米）之间的
图（1） 图
(2)喷出的水流距水平面的最大高度是多少米？
(3)若不计其他因素，水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不至于落在池外？
解：（1）把x=0代入抛物线的解析式
55，即柱子OA 的高度是 44
29
=1时，y=, 即水流距水平面的最大高度 （2）由题意得：当x=-
2⨯（-1）4
得：y=
（3）把y=0代入抛物线
2
得：-x +2x +
551
=0，解得，x 1=-(舍去，不合题意)
，x 2= 422
3．一座桥如图，桥下水面宽度AB 是20米，高CD 是4米. 要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米.
（1）如图1，若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标
系
.
①求抛物线的解析式；
②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米? （2）如图2，若把桥看做是圆的一部分. ①求圆的半径；
②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米?
2
y =ax +c ， 解：（1）①设抛物线解析式为：
∵桥下水面宽度AB 是20米，高CD 是4米，
∴A （﹣10，0），B （10，0），D （0，4），
222
r =(r -4) +10 （2）①设圆半径r 米，圆心为W ，∵BW2=BC2+CW2，∴，解得：r =14.5；
②在RT △WGF 中，由题可知，WF=14.5，WG=14.5﹣1=13.5，根据勾股定理知：
4. 有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下面宽度为20米，拱顶距离水平面4米，如图建立直角坐标系，若正常水位时，桥下水深6米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18米，则当水深超过多少米时，就会影响过往船只的顺利航行（ ）
A ．2.76米 B ．6.76米
解：设该抛物线的解析式为y=ax2，在正常水位下x=10，y=-4，代入解析式得
-4=a×102 a=-1/25 所以此抛物线的解析式为：y=-x2/25
因为桥下水面宽度不得小于18米，所以令x=9时可得：y=-81/25=-3.24
此时水深6+4-3.24=6.76米
即桥下水深6.76米时正好通过，所以超过6.76米时则不能通过．故选B
5、有一座抛物线形拱桥, 正常水位时桥下水面宽度为20m, 拱顶距离水面4m ．
（1）在如图所示的直角坐标系中, 求出该抛物线的解析式；
（2）在正常水位的基础上, 当水位上升h （m ）时, 桥下水面的宽度为d （m ）, 求出将d 表示h 的函数解析式.
（3）设正常水位时桥下的水深为2m, 为保证过往船只顺利航行, 桥下水面的宽度不得小于18m, 求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行?
解：(1)设该抛物线的解析式为y=ax2，在正常水位下x=10，y=-4，代入解析式得
-4=a×102 a=-1/25 所以此抛
物线
的解析式为：y=-x2/25
(2)设水面上升hm ，水面与抛物线的交点为（d/2,h-4），带入抛物线得
h-4=-d2/4×1/25 化简得：d=10√4-h
(3)将d=18代入d=10√4-h 得：h=0.76 所求最大水深为：2+0.76=2.76(米)
点O 落在水平面上，对称轴是水平线OC ．点A 、B 在抛物线造型上，且点A 到水平面的距离AC=4米，点B 到水平面距离为2米，OC=8米．
（1）请建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式；
（2）为了安全美观，现需在水平线OC 上找一点P ，用质地、规格已确定的圆形钢管制作两根支柱PA 、PB 对抛物线造型进行支撑加固，那么怎样才能找到两根支柱用料最省（支柱与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑）时的点P ？（无需证明）
（3）为了施工方便，现需计算出点O 、P 之间的距离，那么
两根
支柱用料最省时点O 、P 之间的距离是多少？（请写出求解过程）
解：（1）以点O 为原点、射线OC 为y 轴的正半轴建立
直角坐标系，
设抛物线的函数解析式为y=ax，由题意知点A 的坐标
为（4，8）．
所以8=a×4
2式为：y=x/2 2 2a=1/2 ∴所求抛物线的函数解析
（2）找法：延长AC ，交建筑物造型所在抛物线于点D ，
则点A 、D 关于OC 对称．
连接BD 交OC 于点P ，则点P 即为所求．
（3）由题意知点B 的横坐标为2，
∵点B 在抛物线上，∴点B 的坐标为（2，2），又∵点A 的坐标为（4，8）， ∴点D 的坐标为（-4，8），
设直线BD 的函数解析式为y=kx+b，
2k +b ＝2.......... ①
−4k +b ＝8........ ②
解得：k=-1，b=4．
∴直线BD 的函数解析式为y=-x+4，
把x=0代入y=-x+4，得点P 的坐标为（0，4），
两根支柱用料最省时，点O 、P 之间的距离是4米．
10、兰州市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高，房子的价格y (元/平方米) 随楼层数x (楼) 的变化而变化(x =1，2，3，4，5，6，7，8) ；已知点(x ，y ) 都在一个二次函数的图像上，(如图所示) ，则6楼房子的价格为 元/平方米．（提示：利用对称性，答案：2080．）
11、自建平面坐标系求值：(2008四川内江) 如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一
个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为 0.5 米．
答案：如图所示建立直角坐标系
则：设y =ax 2+c 将点(-0. 5, 1) ，(1, 2. 5) 代入，
⎧1=a ⨯(-0. 5) 2+c ⎧a =2，解得⎨ ⎨c =0. 5⎩⎩2. 5=a +c
y =2x 2+0. 5 顶点(0, 0. 5) ，最低点距地面0.5米．
三、利用抛物线解决最大利润问题
1、某市政府大力扶
持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y(件) 与销售单价x(元) 之间的关系可近似的看做一次函数：y ＝－10x ＋500.
（1）设李明每月获得利润为w(元) ，当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（6分）
（2）如果李明想要每月获得2 000元的利润，那么销售单价应定为多少元？（3分）
（3）物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2 000元，那么他每月的成本最少需要多少元？(成本＝进价×销售量)
解：（1）由题意得出： ：w = (x－20)·y=(x－20)·(-10x+500)=-10x+700x-10000
∵a=-10＜0，x=-b/2a =35，，∴当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润．
（2）由题意，得：-10x +700x-10000=2000，
解这个方程得：x1=30，x2=40．
∴李明想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元．
（3）∵a=-10＜0，∴抛物线开口向下. ∴当30≤x ≤40时，W ≥2000.
∵x ≤32，∴当30≤x ≤32时，W ≥2000.
设成本为P （元），由题意，得：P =20(-10x+500)=-200x+10000，
∵k=200＜0，∴P 随x 的增大而减小．∴当x=32时，P 最小=3600．
答：想要每月获得的利润不低于2000元，每月的成本最少为3600元．
2. 我市某工艺厂设计了一款成本为20元∕件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据：（注：利润=销售总价-成本总价）
销售单价x （元∕„ 件）
每天销售量y （件„ 30 40 50 60 „ 22500 400 300 200 „
（1）把上表中x 、y 的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y 与x 的函数关系，并求出函数关系式；
（2）在（1）的条件下，设工艺厂试销该工艺品每天所得利润为P 元； ①当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润P 为8000元？ ②工艺厂自身发展要求试销单价不低于35元/件，同时，当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过55元，写出在此情况下每天获利P 的取值范围．
解：（1）如图所示是一次函数解析式，设一次函数解析式为：y=ax+b
30a +b ＝500......... ①
40a +b ＝400......... ②
解得： a ＝−10 b ＝800 ∴函数解析式为：y=-10x+800
（2）①由题意得出：P=（-10x+800）（x-20）=8000，解得：x 1=40，x 2=60，
∴当销售单价定为40元或60元时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润P 为8000元； ②∵P=（-10x+800）（x-20）=-10x+1000x-16000=-10（x-50）+9000，
∴当x=50时，P=9000元，
当x=35时，P=6750元，
∴P 的取值范围是：6750≤P ≤9000．
3. 某商家独家销售具有地方特色的某种商品，每件进价为40元．经过市场调查，一周的销售量y 件与销售单价x （x ≥50）元/件的关系如下表：
销售单价x （元/件„
一周的销售量y „ （件） 55 60 70 75 450 400 300 250 „ „ 22
（1）直接写出y 与x 的函数关系式：y=-10x+1000
（2）设一周的销售利润为S 元，请求出S 与x 的函数关系式，并确定当销售单价在什么范围内变化时，一周的销售利润随着销售单价的增大而增大？
（3）雅安地震牵动亿万人民的心，商家决定将商品一周的销售利润全部寄往灾区，在商家购进该商品的贷款不超过10000元情况下，请求出该商家最大捐款数额是多少元？
解：（1）设y=kx+b，
由题意得，
55k +b ＝450........... ①
60k +b ＝400........... ②
解得：k ＝−10 b ＝1000
则函数关系式为：y=-10x+1000；
（2）由题意得，S=（x-40）y=（x-40）（-10x+1000）
=-10x+1400x-40000=-10（x-70）+9000，
∵-10＜0，
∴函数图象开口向下，对称轴为x=70，
∴当50≤x ≤70时，销售利润随着销售单价的增大而增大；
（3）∵由40（-10x+1000）≤10000
解得x ≥75 ∴当x=75时，利润最大，为8750元．
4、某玩具批发商销售每只进价为40元的玩具，市场调查发现，若以每只50元的价格销售，平均每天销售90只，单价每提高1元，平均每天就少销售3只．
（1）平均每天的销售量y(只) 与销售价x(元／只) 之间的函数关系式为 ；
（2）求该批发商平均每天的销售利润W(元) 与销售只x(元／只) 之间的函数关系式；
（3）物价部门规定每只售价不得高于55元，当每只玩具的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少元
解：：( 1）y=90-3（x-50）即y=-3x+240；
（2）w=（x-40）y=（x-40）（-3x+240）=-3x2+360x-9600；
(3)当x ≤60，y 随x 的增大而减小， 当x=55时，w 最大=1125
所以定价为55元时，可以获得最大利润是1125元.
5．为了落实国务院的指示精神，地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y(千克) 与销售价x(元/千克) 有如下关系：y=-2x+80. 设这种产品每天的销售利润为w 元.
（1）求w 与x 之间的函数关系式；
（2）该产品销售价定为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？
解：（1）由题意得：w=（x-20）∙y=（x-20）（-2x+80）=-2x2+120x-1600， ∴w 与x 的函数关系式为：w=-2x2+120x-1600；，
（2）w=-2x2+120x-1600=-2（x-30）2+200，
∵﹣2＜0，∴当x=30时，w 有最大值．w 最大值为200.
答：该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元.
（3）当w=150时，可得方程-2（x-30）2+200=150．
解得 x1=25，x2=35．
∵35＞28， ∴x2=35不符合题意，应舍去．
答：该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元．
6．某公司营销A 、B 两种产品，根据市场调研，发现如下信息：
信息1：销售A 种产品所获利润y(万元) 与所售产品x(吨) 之间存在二次函数关系 y=ax2-bx, 当x ＝1时，ｙ＝1.4；当x ＝3时，ｙ＝3.6。
信息2：销售B 种产品所获利润y (万元) 与所售产品x(吨) 之间存在正比例函数关系 y=0.3x．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)求二次函数解析式；
(2)该公司准备购进A 、B 两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售A 、B 两种22
产品获得的利润之和最大，最大利润是多少？
解：（1）因为当x=1时，y=1.4；当x=3时，y=3.6，
2代入y=ax-bx 得a=-0.1 b=1.5
所以，二次函数解析式为y=-0.1x2+1.5x；
（2）设购进A 产品m 吨，购进B 产品（10-m ）吨，销售A 、B 两种产品获得的利润之和为W 元，根据题意可列函数关系式为：
（3）W=-0.1m2+1.5m+0.3（10-m ）=-0.1m2+1.2m+3=-0.1（m-6) 2+6.6，
因为-0.1＜0，当m=6时，W 有最大值6.6，
∴购进A 产品6吨，购进B 产品4吨，销售A 、B 两种产品获得的利润之和最大，最大利润是6.6万元．
7．为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一
种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y （件）与销售单价x （元）之间的关系近似满足一次函数：y=﹣10x+500．
(1)李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？
（2）设李明获得的利润为w （元），当销售单价定为多少时，每月可获得最大利润？
（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？
解：：（1）当x=20时,y=﹣10x+500=﹣10×20+500=300,
300×（12﹣10）=300×2=600元, 即政府这个月为他承担的总差价为600元;
（2）依题意得,w=（x ﹣10）（﹣10x+500）=﹣10x2+600x﹣5000=﹣10（x ﹣30）2+4000 ∵a=﹣10＜0, ∴当x=30时,w 有最大值4000元．
即当销售单价定为30元时, 每月可获得最大利润4000元;
（3）由题意得：﹣10x2+600x﹣5000=3000, 解得：x1=20,x2=40．
∵a=﹣10＜0, 抛物线开口向下, ∴结合图象可知：当20≤x ≤40时,w ≥3000．
又∵x ≤25, ∴当20≤x ≤25时,w ≥3000．
设政府每个月为他承担的总差价为p 元,
∴p=（12﹣10）×（﹣10x+500）=﹣20x+1000．
∵k=﹣20＜0． ∴p 随x 的增大而减小,
∴当x=25时,p 有最小值500元．
即销售单价定为25元时, 政府每个月为他承担的总差价最少为500元．
8．某文具店销售一种进价为10元/个的签字笔，物价部门规定这
种签字笔的
售价不得高于14
元/个，
根据以往经验：以12元/个的价格销售，
平均每周销售签字笔100个；若每个签字笔的销售价格每提高1元，则平均每周少销售签字笔10个. 设销售价为x 元
/个.
（1）该文具店这种签字笔平均每周的销售量为 个（用含x 的式子表示）；
（2）求该文具店这种签字笔平均每周的销售利润w （元）与销售价x （元/个）之间的函数关系式；
（3）当x 取何值时，该文具店这种签字笔平均每周的销售利润最大？最大利润是多少元？ 解：（1）（220－10x ）；
∵抛物线
大而增大.
由题意可知， ∴当x=14时，最大为320.
的开口向下，在对称轴直线x=16的左侧，随的增
解：（1）由表格数据可知y 与x 是一次函数关系，设其解析式为，
将（3000，100），（3200，96）代入得，解得： 。
∴。
将（3500，90），（4000，80）代入检验，适合。
∴y 与x 间的函数关系是
（2）填表如下：
。
（3）设租赁公司获得的月收益为W 元，依题意可得：
当x=4050时，Wmax=307050，
∴当每辆车的月租金为4050元时，公司获得最大月收益307050元
10、随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高．某园林专业户计划投资种植花卉及树木，
根据市场调查与预测，种植树木的利润与投资量成正比例关系，如图12-①所示；种植花卉的利润与投资量成二次函数关系，如图12-②所示(注：利润与投资量的单位：万元)
（1）分别求出利润与关于投资量的函数关系式；
（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？ 解：（1）设
故利润=, 由图12-①所示，函数==；
，由图12-②所示，函数y 2=的图像过（2，2），所以，的图像过（1，2），所以2=， 关于投资量的函数关系式是因为该抛物线的顶点是原点，所以设y 2=
故利润y 2关于投资量的函数关系式是y 2 12x ； 2
（2）设这位专业户投入种植花卉万元（
他获得的利润是万元，根据题意，得
=y
1+y
2=
=
∵a = += ），则投入种植树木(8-x ) 万元， 1>0∴当2时，的最小值是14；
∴他至少获得14万元的利润． 因为，所以在对称轴x =2的右侧，
z 随x 的增大而增大
所以，当x =8时，z 的最大值为32．
12x 平移得到抛物线m ，抛物线m 经过点A （-6，0）和原点O （0，0），它的顶点为P ，它2
1的对称轴与抛物线y=x 2交于点Q ，则图中阴影部分的面积为________________． 2如图7，把抛物线y=
解析：设平移后的抛物线m 的解析式为y=
b=3 c=o
12x +bx+c，它经过点A （-6,0）和原点O （0，0），代入求出解析式得： 2
29x +3x 所以顶点坐标是（－3，－）， 2
99x=－3时，y=x 2=，所以点Q 坐标是（－3，）， 222
91OA=6，PQ=2×=9，所以四边形APOQ 面积是×6×9=27,图中阴影部分的面积是 22
127四边形APOQ 面积的，所以面积是 22
y
m A O
x
点评：在图形面积计算问题中，巧妙运用轴对称性质解答问题，注意割补法灵活运用. 另外一般图形向特殊图形的
转化也十分关键.