日Ⅱ
２０１２年８月
婚户
何求弧豳够亭，孽
＠湖北省广水市育才膏中
黄健
由于新课标降低了对双曲线的要求．双曲线中基本知识必然成为高考考查的热点。考查中常常涉及到双曲线基本量＜ｏ、６、ｃ、ｃ）之间的关系以及双曲线的渐近线，特别是双曲线的离心率．求双曲线离心率涉及到解析几何、平面几何、代效等多个知识点，综合性强．方法复活，解题关键是挖掘题中的隐古条件。能够体现双曲线解题的技巧与方法．下面通过具体饲子分类解析如何求解双曲线的离心率．
一
１
也可求出渐近线的方程，即土：、／；［丁．但要注意，当双曲线的
焦点所在的坐标轴不确定时上述两类问题都有两●ｌ
倒Ｉ（２０１２年湖北黄冈高三模拟）双曲线吾一吾＝ｌ（。如．
６＞０）的一条渐近线方程为ｙ＝：！；￡，则它的商心事ｅ＝一
用ｏ＾、ｃ的关系即可求出离心率的值
分析：本锺已知淅近线的方程．即可确定４、６的关系．然后利
觚依题意知告＝孚删ｅ＝詈＝、／孚＝孚．
４
‘
口
●
旷
‘
点评：鼠曲残的浙近Ｉｊｃ出晁旦形式．与—啦牟值相关．刺用
口．６．ｃ的关系转化为—！＿求得矗心丰．
一、利用渐近线与离心事的关系求解
双曲线的渐近线也是用来反映双曲线的开口大小的程度的，所以双曲线的离心率与渐近线之间有着密切的联系。二者之
．ｉ
倒２（浙江省慈溪市２０１２年高三５月模拟考试），是双曲线
吾一吾＝ｌ（ｎ＞０．６＞ｏ）的一个焦点．过踞与一条渐近线平行的直
线ｌ与双曲线交于点肼。与ｙ轴交于点Ⅳ．若两；喜莉．求双曲线
‘
．
间可以互求．已知渐近线的方程时，可得旦的值，于是ｅｋ之＝
旷
口
的离心取
垒华；Ｉ＋ｆ鱼）。，因此可求出离心率。的值；而已知离心事的值．
即得答案Ｃ
点评：鼻倒中需先求出反函敷．然后利用斗称生换和平移变
分析：先写出过脯的直线方程，根据两＝÷丽青的关系．求
特殊情形，如Ｃ．ｎ
若ｃ＝０．捌方程变巍以，）啦“ｔ）＝ｏ．＆口，“）叭，）＋６】＝ｎ
接下来该如何判断此方程的根的个数呢？因函数带绝对值，而且是两层绝对值符号，想到作图用函散田像来分析．即先作产ｌｇ训的图像。然后将此图像向右平移一个单位得产ｌｇｋ—ＩＩ的图像，再将此图像
换得瑚善蠢．要牢记圭蕞规捌．方可避免出瑰膏遗．
四、用圈
用图．是指善于用函数图像来分析与解决同曩．主要体现为
数形结合思想运用的意ｉｆＬ
饲４设定义域为Ｒ的函灯㈤《憋¨引’则关于
，的方程尸（，）＋６，（＃）＋ｃ＝０有７个不同的实效解的充要条件是（
Ｘ
位于瑚下方的部分按关于＊轴对称向上翻折４驴Ｉｌ出一ｌＩ｜的图
像（如图５）．
显然“＃）稍３个根ｏ．１．２，所以妥使方程扩（＊）【，ｂ）¨】＝ｏ
＾－６ｍ凰＞ｏ
Ｃ．６砸且ｃ旬
Ｒ６＞Ｏ且ｃ面
Ｄ．６≥０且ｃ＝ｏ
有７个根．，（＃）＋６：０必须有４个报，尉由图像直观可知６《０，故正确答案应为Ｃ●
■折：注意到“充要条件”具有双向可推性．因此不妨先考查
－＿＿＿◆‘７截，７高中版
万方数据
２０１２年８月
得点肘的坐标，再代入双曲线方程即可得出口、ｃ的关系式，从而求出双曲线的离心率．
解析：设直线Ｚ与渐近线产旦并平行，则有ｆ：），：旦（戈一。）．
令茁＝ｏ得尸一等．又融丢莉，所以Ｍ（等，一笔）．
ｏ
二
＼Ｊ
Ｊ“，
因脚曲线上，故代人得筹一等＝１，且口ｅ毛吾＝３胆、／了．
点评：本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了学生综合
分析问题和解决问题的能力．圆锥曲线是高考的重点．每年必考．希望能够引起考生的重视．
二、构造口、ｃ的齐次式求离心率
例３设双曲线的—个焦点为Ｆ，虚轴的一个端点为日，如果直线船与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率
为（
）．
Ａ．竹Ｂ．订
ｃ．ｙ！±！
Ｄ．！！塑
２
２
分析：先设出双曲线方程，则可得Ｆ，曰的坐标，根据直线船
与渐近线＇，＝旦茗垂直，得出其斜率的乘积为一１，进而求得６和Ⅱ，ｃ的关系式，进而根据双曲线方程８，６和ｃ的关系进而求得。和ｃ的等式，则双曲线的离心率可得．
解析：设双曲线的方程为：等一等＝１，则渐近线ｙ＝±詈筇，又旷
Ｄ‘
Ｄ
丑（０，６），默ｃ，Ｏ），所以％萨旦，因为直线网与渐近线垂直。所以
旦×旦一ｌ，所以６２＋础：０，即ｃ２—孑＋钟：０，同时除以８２得：ｅ２＋ｅ一１：
点评：解决本题的关键是构造关于Ⅱ、ｃ的齐次关系式．再通
过方程思想求得离心率．
三、利用定义求解
Ｊ
Ｖ
例４如图ｌ，双曲线三一罢＝ｌ矿
Ｄ‘
（ｎ＞０，６＞０）的两焦点分别为Ｅ，Ｅ，以Ｘ聚。
离心率为一
５｝ｏ一
图１
分析：双曲线的离心率是焦距与
口
出关于Ｄ和ｃ的一个关系式，进而利用定义求出离心率．
解析：设双曲线的焦距为２ｃ，依题意，有ⅣＫ：二！三池ｃ：、／了ｃ，
而Ⅳ卧－ⅣＦ盈。，即（、／了一１）。：知，所以ｅ：三：—三一：、／了＋１．
万方数据
命题意图
试究
点评：只有双曲线菩一吾＝ｌ（ｎ＞ｏ，６＞０，焦距为２ｃ）的离心率
为ｅ＝三．其他形式的双曲线的离心率还要依据离心率的定义作出正确判断．不要误认为所有的双曲线的离心率都可用ｅ＝三来计
算
四、利用平面几何的性质求解
例５
如图２，ＡＢｃＤＥＦ为正六边
，
Ｃ
）．
Ａ．订一１
Ｂ．订＋１
ｃ．、／了一１
Ｄ．、／了＋１
分析：利用正六边形的性质结合双曲线的定义进行求解．
解析：设正六边形的边长为ｍ，则ＪＥｃＩ—Ｉ朋ｋ、／了ｍ—ｍ＝
、／３一ｌ
点评：本题把双曲线的问题放在正六边形中考查。情境新例６（２０１２年浙江杭州第二中学高三模拟）如图３，Ｒ为双
ｊ眄潞
）．
ｂ．／ｐ。足。
Ａ．２
Ｂ．、／３
’璇
夕・．．＼＼
℃
’・．：＼
Ｃ．、／２
Ｄ．垒生
图３
３
分析：先根据双曲线的几何性质可推断出直线ＡＤ的方程，
解析：根据双曲线得直线ＡＤ的方程为：＇，＝兰（聋＋口），即如一
ｚ、／冉６２
口
点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．涉及求双曲线的
通过以上各例可以看出，在解决“求双曲线的离心率的值”高中版中’？擞一？鼍—ＩＩ
形，则以Ｆ、ｃ为焦点，且经过Ａ、Ｅ、Ｄ、曰四点的双曲线的离心率为（
（、／了一１）ｍ＝２口，又Ｉ粥ｌ－２ｍ＝２ｃ，故ｅ＝——兰＿一＝、／了＋ｌ，故选Ｄ．
颖．综合考查多方面的能力．掌握正六边形的性质是解决本题的
基础．利用性质得出计算２８＝ＩＥＣｌ—Ｉ参翮的值是解题的关键．
曲线等一芸＝１（ｎ＞ｏ，６＞ｏ）的右焦点，Ｅ为。易中点，过双曲线左顶
点Ａ作两渐近线的平行线分别与ｙ轴交于ｃ，口两点，占为双曲线右顶
点，若四边形Ａ∞Ｄ的内切圆经过
点Ｅ，则双曲线的离心率为（
ｏ，解得ｅ＝里穹竺，因为ｅ＞ｏ，所以ｅ＝旦之蔓，所以选择Ｄ．
一Ｒ为边作等边三角形，若双曲线恰好平分三角形的另两边，则双曲线的
进而利用直线ＡＤ与四边形ＡＣ叻的内切圆相切，结合点到直线
的距离公式得到口，６关系，最后求得Ⅱ和ｃ的关系式，即双曲线的离心率．
研＋曲＝０，因为直线ＡＤ与四边形Ａ锄Ｄ的内切圆相切，故ｒ《，即
÷：—生，由此推出ｎ：６，所以双曲线的离心率为ｅ＝三：实轴长的比，对于本题，双曲线ｅ＝三，我们可根据已知条件先求
立竺：、／虿，所以选择ｃ．
离心率问题．解题的关键是找到口，６和ｃ的关系．
ＮＦ亭＝ｃ．
的问题，关键是根据题意建立关于ｏ、６、ｃ的关系式，即可转化为
关于ｅ的等式进行求解．一
日Ⅱ
２０１２年８月
婚户
何求弧豳够亭，孽
＠湖北省广水市育才膏中
黄健
由于新课标降低了对双曲线的要求．双曲线中基本知识必然成为高考考查的热点。考查中常常涉及到双曲线基本量＜ｏ、６、ｃ、ｃ）之间的关系以及双曲线的渐近线，特别是双曲线的离心率．求双曲线离心率涉及到解析几何、平面几何、代效等多个知识点，综合性强．方法复活，解题关键是挖掘题中的隐古条件。能够体现双曲线解题的技巧与方法．下面通过具体饲子分类解析如何求解双曲线的离心率．
一
１
也可求出渐近线的方程，即土：、／；［丁．但要注意，当双曲线的
焦点所在的坐标轴不确定时上述两类问题都有两●ｌ
倒Ｉ（２０１２年湖北黄冈高三模拟）双曲线吾一吾＝ｌ（。如．
６＞０）的一条渐近线方程为ｙ＝：！；￡，则它的商心事ｅ＝一
用ｏ＾、ｃ的关系即可求出离心率的值
分析：本锺已知淅近线的方程．即可确定４、６的关系．然后利
觚依题意知告＝孚删ｅ＝詈＝、／孚＝孚．
４
‘
口
●
旷
‘
点评：鼠曲残的浙近Ｉｊｃ出晁旦形式．与—啦牟值相关．刺用
口．６．ｃ的关系转化为—！＿求得矗心丰．
一、利用渐近线与离心事的关系求解
双曲线的渐近线也是用来反映双曲线的开口大小的程度的，所以双曲线的离心率与渐近线之间有着密切的联系。二者之
．ｉ
倒２（浙江省慈溪市２０１２年高三５月模拟考试），是双曲线
吾一吾＝ｌ（ｎ＞０．６＞ｏ）的一个焦点．过踞与一条渐近线平行的直
线ｌ与双曲线交于点肼。与ｙ轴交于点Ⅳ．若两；喜莉．求双曲线
‘
．
间可以互求．已知渐近线的方程时，可得旦的值，于是ｅｋ之＝
旷
口
的离心取
垒华；Ｉ＋ｆ鱼）。，因此可求出离心率。的值；而已知离心事的值．
即得答案Ｃ
点评：鼻倒中需先求出反函敷．然后利用斗称生换和平移变
分析：先写出过脯的直线方程，根据两＝÷丽青的关系．求
特殊情形，如Ｃ．ｎ
若ｃ＝０．捌方程变巍以，）啦“ｔ）＝ｏ．＆口，“）叭，）＋６】＝ｎ
接下来该如何判断此方程的根的个数呢？因函数带绝对值，而且是两层绝对值符号，想到作图用函散田像来分析．即先作产ｌｇ训的图像。然后将此图像向右平移一个单位得产ｌｇｋ—ＩＩ的图像，再将此图像
换得瑚善蠢．要牢记圭蕞规捌．方可避免出瑰膏遗．
四、用圈
用图．是指善于用函数图像来分析与解决同曩．主要体现为
数形结合思想运用的意ｉｆＬ
饲４设定义域为Ｒ的函灯㈤《憋¨引’则关于
，的方程尸（，）＋６，（＃）＋ｃ＝０有７个不同的实效解的充要条件是（
Ｘ
位于瑚下方的部分按关于＊轴对称向上翻折４驴Ｉｌ出一ｌＩ｜的图
像（如图５）．
显然“＃）稍３个根ｏ．１．２，所以妥使方程扩（＊）【，ｂ）¨】＝ｏ
＾－６ｍ凰＞ｏ
Ｃ．６砸且ｃ旬
Ｒ６＞Ｏ且ｃ面
Ｄ．６≥０且ｃ＝ｏ
有７个根．，（＃）＋６：０必须有４个报，尉由图像直观可知６《０，故正确答案应为Ｃ●
■折：注意到“充要条件”具有双向可推性．因此不妨先考查
－＿＿＿◆‘７截，７高中版
万方数据
２０１２年８月
得点肘的坐标，再代入双曲线方程即可得出口、ｃ的关系式，从而求出双曲线的离心率．
解析：设直线Ｚ与渐近线产旦并平行，则有ｆ：），：旦（戈一。）．
令茁＝ｏ得尸一等．又融丢莉，所以Ｍ（等，一笔）．
ｏ
二
＼Ｊ
Ｊ“，
因脚曲线上，故代人得筹一等＝１，且口ｅ毛吾＝３胆、／了．
点评：本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了学生综合
分析问题和解决问题的能力．圆锥曲线是高考的重点．每年必考．希望能够引起考生的重视．
二、构造口、ｃ的齐次式求离心率
例３设双曲线的—个焦点为Ｆ，虚轴的一个端点为日，如果直线船与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率
为（
）．
Ａ．竹Ｂ．订
ｃ．ｙ！±！
Ｄ．！！塑
２
２
分析：先设出双曲线方程，则可得Ｆ，曰的坐标，根据直线船
与渐近线＇，＝旦茗垂直，得出其斜率的乘积为一１，进而求得６和Ⅱ，ｃ的关系式，进而根据双曲线方程８，６和ｃ的关系进而求得。和ｃ的等式，则双曲线的离心率可得．
解析：设双曲线的方程为：等一等＝１，则渐近线ｙ＝±詈筇，又旷
Ｄ‘
Ｄ
丑（０，６），默ｃ，Ｏ），所以％萨旦，因为直线网与渐近线垂直。所以
旦×旦一ｌ，所以６２＋础：０，即ｃ２—孑＋钟：０，同时除以８２得：ｅ２＋ｅ一１：
点评：解决本题的关键是构造关于Ⅱ、ｃ的齐次关系式．再通
过方程思想求得离心率．
三、利用定义求解
Ｊ
Ｖ
例４如图ｌ，双曲线三一罢＝ｌ矿
Ｄ‘
（ｎ＞０，６＞０）的两焦点分别为Ｅ，Ｅ，以Ｘ聚。
离心率为一
５｝ｏ一
图１
分析：双曲线的离心率是焦距与
口
出关于Ｄ和ｃ的一个关系式，进而利用定义求出离心率．
解析：设双曲线的焦距为２ｃ，依题意，有ⅣＫ：二！三池ｃ：、／了ｃ，
而Ⅳ卧－ⅣＦ盈。，即（、／了一１）。：知，所以ｅ：三：—三一：、／了＋１．
万方数据
命题意图
试究
点评：只有双曲线菩一吾＝ｌ（ｎ＞ｏ，６＞０，焦距为２ｃ）的离心率
为ｅ＝三．其他形式的双曲线的离心率还要依据离心率的定义作出正确判断．不要误认为所有的双曲线的离心率都可用ｅ＝三来计
算
四、利用平面几何的性质求解
例５
如图２，ＡＢｃＤＥＦ为正六边
，
Ｃ
）．
Ａ．订一１
Ｂ．订＋１
ｃ．、／了一１
Ｄ．、／了＋１
分析：利用正六边形的性质结合双曲线的定义进行求解．
解析：设正六边形的边长为ｍ，则ＪＥｃＩ—Ｉ朋ｋ、／了ｍ—ｍ＝
、／３一ｌ
点评：本题把双曲线的问题放在正六边形中考查。情境新例６（２０１２年浙江杭州第二中学高三模拟）如图３，Ｒ为双
ｊ眄潞
）．
ｂ．／ｐ。足。
Ａ．２
Ｂ．、／３
’璇
夕・．．＼＼
℃
’・．：＼
Ｃ．、／２
Ｄ．垒生
图３
３
分析：先根据双曲线的几何性质可推断出直线ＡＤ的方程，
解析：根据双曲线得直线ＡＤ的方程为：＇，＝兰（聋＋口），即如一
ｚ、／冉６２
口
点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．涉及求双曲线的
通过以上各例可以看出，在解决“求双曲线的离心率的值”高中版中’？擞一？鼍—ＩＩ
形，则以Ｆ、ｃ为焦点，且经过Ａ、Ｅ、Ｄ、曰四点的双曲线的离心率为（
（、／了一１）ｍ＝２口，又Ｉ粥ｌ－２ｍ＝２ｃ，故ｅ＝——兰＿一＝、／了＋ｌ，故选Ｄ．
颖．综合考查多方面的能力．掌握正六边形的性质是解决本题的
基础．利用性质得出计算２８＝ＩＥＣｌ—Ｉ参翮的值是解题的关键．
曲线等一芸＝１（ｎ＞ｏ，６＞ｏ）的右焦点，Ｅ为。易中点，过双曲线左顶
点Ａ作两渐近线的平行线分别与ｙ轴交于ｃ，口两点，占为双曲线右顶
点，若四边形Ａ∞Ｄ的内切圆经过
点Ｅ，则双曲线的离心率为（
ｏ，解得ｅ＝里穹竺，因为ｅ＞ｏ，所以ｅ＝旦之蔓，所以选择Ｄ．
一Ｒ为边作等边三角形，若双曲线恰好平分三角形的另两边，则双曲线的
进而利用直线ＡＤ与四边形ＡＣ叻的内切圆相切，结合点到直线
的距离公式得到口，６关系，最后求得Ⅱ和ｃ的关系式，即双曲线的离心率．
研＋曲＝０，因为直线ＡＤ与四边形Ａ锄Ｄ的内切圆相切，故ｒ《，即
÷：—生，由此推出ｎ：６，所以双曲线的离心率为ｅ＝三：实轴长的比，对于本题，双曲线ｅ＝三，我们可根据已知条件先求
立竺：、／虿，所以选择ｃ．
离心率问题．解题的关键是找到口，６和ｃ的关系．
ＮＦ亭＝ｃ．
的问题，关键是根据题意建立关于ｏ、６、ｃ的关系式，即可转化为
关于ｅ的等式进行求解．一