不等式的证明ppt
不等式的证明
1.比较法
作差作商后的式子变形，判断正负或与1比较大小
作差比较法-----要证明a>b,只要证明a-b>0。
作商比较法---已知a,b都是正数，要证明a>b,只要证明a/b>1
例1 求证：x2+3>3x
证明：∵(x2+3)-3x=x2-3x+( )2-( )2+3
= + ≥ >0
∴ x2+3>3x
例2 已知a,bÎR+，并且a≠b，求证
a5+b5>a3b2+a2b3
证明：(a5+b5)-(a3b2+a2b3)=(a5-a3b2)-(a2b3-b5)
=a3(a2-b2)-b3(a2-b2)=(a2-b2)(a3-b3)
=(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)
∵ a,bÎR+
∴ a+b>0, a2+ab+b2>0
又因为a≠b,所以(a-b)2>0
∴ (a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)>0
即 (a5+b5)-(a3b2+a2b3)>0
∴ a5+b5>a3b2+a2b3
例3 已知a,bÎR+，求证：aabb≥abba
证明： = ∵a,bÎR+,当a>b时， >1,a-b>0， >1;
当a≤b时, ≤1,a-b≤0, ≥1.
∴ ≥1, 即aabb≥abba
综合法
了解算术平均数和几何平均数的概念，能用平均不等式证明其它一些不等式
定理1 如果a,bÎR，那么a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时劝=”号）
证明：a2+b2-2ab=(a-b)2≥0
当且仅当a=b时取等号。所以
a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取等号)。
定理2 如果a,b,cÎR+，那么a3+b3+c3≥3abc（当且仅当a=b=c时劝=”号）
证明：∵a3+b3+c3-3abc
=(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc
=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ac)
=(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]≥0
∴ a3+b3+c3≥3abc,
很明显，当且仅当a=b=c时取等号。
例1 已知a,b,c是不全等的正数，求证
a(a2+b2)+b(a2+c2)+c(a2+b2)>6abc.
放缩法
这也是分析法的一种特殊情况，它的根据是不等式的传递性—
a≤b，b≤c，则a≤c，只要证明“大于或等于a的”b≤c就行了。
例,证明当k是大于1的整数时， ，
我们可以用放缩法的一支——“逐步放大-法”，证明如下：
分析法
从要证明的不等式出发，寻找使这个不等式成立的某一“充分的”条件，为此逐步往前追溯(执果索因)，一直追溯到已知条件或一些真命题为止。例如要证a2+b2≥2ab我们通过分析知道，使a2+b2≥2ab成立的某一“充分的”条件是a2-2ab+b2≥0，即(a-b)2≥0就行了。由于是真命题，所以a2+b2≥2ab成立。分析法的证明过程表现为一连串的“要证……，只要证……”，最后推至已知条件或真命题
例 求证： 证明:
构造图形证明不等式
例：已知a、b、c都是正数，求证：
+ > 分析与证明：观察原不等式中含有a2+ab+b2即a2+b2+ab的形式，联想到余弦定理：c2=a2+b2-2ab•CosC,为了得到a2+b2+ab的形式,只要C=120°，
这样： 可以看成a、b为邻边，夹角为120°的的三角形的第三边
可以看成b、c为邻边，夹角为120°的的三角形的第三边
120°
120°
120°
a
b
c
C
A
B
可以看成a、c为邻边，夹角为120°的的三角形的第三边
构造图形如下，
AB= ,
BC= ,
AC= 显然AB+BC>AC，故原不等式成立。
数形结合法
数形结合是指通过数与形之间的对应转化来解决问题。数量关系如果借助于图形性质，可以使许多抽象概念和关系直观而形象，有利于解题途径的探求，这通常为以形助数;而有些涉及图形的问题如能转化为数量关系的研究，又可获得简捷而一般化的解法，即所谓的以数解形。数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过对图形的认识、数形的转化，可以培养思维的灵活性、形象性。通过数形结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化。
例．证明,当x>5时, ≤x-2
解:令y1= , y2=x-2, 从而原不等式的解集就是使函数y1>y2的x的取值范围。在同一坐标系中分别作出两个函数的图象。设它们交点的横坐标是x0, 则 =x0-2>0。解之，得x0=5或x0=1(舍)。根据图形,很显然成立.
反证法
先假定要证不等式的反面成立，然后推出与已知条件(或已知真命题)和矛盾的结论，从而断定反证假定错误，因而要证不等式成立。
穷举法
对要证不等式按已知条件分成各种情况，加以证明(防止重复或遗漏某一可能情况)。
注意：在证明不等式时，应灵活运用上述方法，并可通过运用多种方法来提高自己的思维能力。
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不等式的证明
1.比较法
作差作商后的式子变形，判断正负或与1比较大小
作差比较法-----要证明a>b,只要证明a-b>0。
作商比较法---已知a,b都是正数，要证明a>b,只要证明a/b>1
例1 求证：x2+3>3x
证明：∵(x2+3)-3x=x2-3x+( )2-( )2+3
= + ≥ >0
∴ x2+3>3x
例2 已知a,bÎR+，并且a≠b，求证
a5+b5>a3b2+a2b3
证明：(a5+b5)-(a3b2+a2b3)=(a5-a3b2)-(a2b3-b5)
=a3(a2-b2)-b3(a2-b2)=(a2-b2)(a3-b3)
=(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)
∵ a,bÎR+
∴ a+b>0, a2+ab+b2>0
又因为a≠b,所以(a-b)2>0
∴ (a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)>0
即 (a5+b5)-(a3b2+a2b3)>0
∴ a5+b5>a3b2+a2b3
例3 已知a,bÎR+，求证：aabb≥abba
证明： = ∵a,bÎR+,当a>b时， >1,a-b>0， >1;
当a≤b时, ≤1,a-b≤0, ≥1.
∴ ≥1, 即aabb≥abba
综合法
了解算术平均数和几何平均数的概念，能用平均不等式证明其它一些不等式
定理1 如果a,bÎR，那么a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时劝=”号）
证明：a2+b2-2ab=(a-b)2≥0
当且仅当a=b时取等号。所以
a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取等号)。
定理2 如果a,b,cÎR+，那么a3+b3+c3≥3abc（当且仅当a=b=c时劝=”号）
证明：∵a3+b3+c3-3abc
=(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc
=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ac)
=(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]≥0
∴ a3+b3+c3≥3abc,
很明显，当且仅当a=b=c时取等号。
例1 已知a,b,c是不全等的正数，求证
a(a2+b2)+b(a2+c2)+c(a2+b2)>6abc.
放缩法
这也是分析法的一种特殊情况，它的根据是不等式的传递性—
a≤b，b≤c，则a≤c，只要证明“大于或等于a的”b≤c就行了。
例,证明当k是大于1的整数时， ，
我们可以用放缩法的一支——“逐步放大-法”，证明如下：
分析法
从要证明的不等式出发，寻找使这个不等式成立的某一“充分的”条件，为此逐步往前追溯(执果索因)，一直追溯到已知条件或一些真命题为止。例如要证a2+b2≥2ab我们通过分析知道，使a2+b2≥2ab成立的某一“充分的”条件是a2-2ab+b2≥0，即(a-b)2≥0就行了。由于是真命题，所以a2+b2≥2ab成立。分析法的证明过程表现为一连串的“要证……，只要证……”，最后推至已知条件或真命题
例 求证： 证明:
构造图形证明不等式
例：已知a、b、c都是正数，求证：
+ > 分析与证明：观察原不等式中含有a2+ab+b2即a2+b2+ab的形式，联想到余弦定理：c2=a2+b2-2ab•CosC,为了得到a2+b2+ab的形式,只要C=120°，
这样： 可以看成a、b为邻边，夹角为120°的的三角形的第三边
可以看成b、c为邻边，夹角为120°的的三角形的第三边
120°
120°
120°
a
b
c
C
A
B
可以看成a、c为邻边，夹角为120°的的三角形的第三边
构造图形如下，
AB= ,
BC= ,
AC= 显然AB+BC>AC，故原不等式成立。
数形结合法
数形结合是指通过数与形之间的对应转化来解决问题。数量关系如果借助于图形性质，可以使许多抽象概念和关系直观而形象，有利于解题途径的探求，这通常为以形助数;而有些涉及图形的问题如能转化为数量关系的研究，又可获得简捷而一般化的解法，即所谓的以数解形。数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过对图形的认识、数形的转化，可以培养思维的灵活性、形象性。通过数形结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化。
例．证明,当x>5时, ≤x-2
解:令y1= , y2=x-2, 从而原不等式的解集就是使函数y1>y2的x的取值范围。在同一坐标系中分别作出两个函数的图象。设它们交点的横坐标是x0, 则 =x0-2>0。解之，得x0=5或x0=1(舍)。根据图形,很显然成立.
反证法
先假定要证不等式的反面成立，然后推出与已知条件(或已知真命题)和矛盾的结论，从而断定反证假定错误，因而要证不等式成立。
穷举法
对要证不等式按已知条件分成各种情况，加以证明(防止重复或遗漏某一可能情况)。
注意：在证明不等式时，应灵活运用上述方法，并可通过运用多种方法来提高自己的思维能力。