高中数学必修1函数及其表示题型总结

函数及其表示

考点一求定义域的几种情况

①若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R ；

②若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；

③若f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合； ④若f(x)是对数函数，真数应大于零。

⑤. 因为零的零次幂没有意义，所以底数和指数不能同时为零。

⑥若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合； ⑦若f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题考点二映射个数公式 Card(A)=m,card(B)=n, m,n∈方法技巧清单

方法一函数定义域的求法

, 则从A 到B 的映射个数为

。简单说成“前指后底”。

．（2009江西卷文）函数y =的定义域为（）

A ．[-4,1] B ．[-4, 0) C ．(0,1] D ．[-4, 0) (0,1]

x ≠0⎧

解析由⎨2得-4≤x

⎩-x -3x +4≥0

．（2009江西卷理）函数y =

的定义域为 ( )

A ．(-4, -1) B ．(-4,1) C ．(-1,1) D ．(-1,1]

⎧x +1>0⎧x >-1解析由⎨2⇒⎨⇒-1

-40⎩

3. （2009福建卷文）下列函数中，与函数y =

有相同定义域的是 ( )

A .f (x ) =ln x B.f (x ) = 解析由y =

1x C. f (x ) =|x | D.f (x ) =e

1可得定义域是x >0. f (x ) =ln x 的定义域x >0；f (x ) =的定义域是x ≠0；f (x ) =|x |的定义

x x

域是x ∈R ; f (x ) =e 定义域是x ∈R 。故选A. 4. （2007年上海）函数

y =

lg(4-x )

的定义域是答案 {x x

1. 下列各组函数中表示同一函数的是（）A.y=x

和y =

B.y=ln

和y =

ln x

C.y =

(x -1)(x +3)x -1和y =(x +3) D.y =x 0和y =1

2．函数y=f(x)的图像与直线x=2的公共点个数为

A. 0个B. 1个 C. 0个或1个 D. 不能确定 3．已知函数y=

-2定义域为{-1, 0. 1, 2}，则其值域为

2（2010天津文数）设函数g (x ) =x 2

-2(x ∈R ) f (x ) ={g (x ) +x +4, x

，g (x ) -x , x ≥g (x ). 则f (x ) 的值域是

（A ）⎢⎡-

9⎣4,0⎤⎥⎦⋃(1,+∞) （B ）[0,+∞) （C ）[-94, +∞) （D ）⎡⎢9⎤

⎣-4,0⎥⎦

⋃(2,+∞)

【解析】依题意知f (x ) ⎧⎪⎨x 2-2+(x +4), x

x 2+2, x 2⎪⎩x 2-2-x , x ≥x 2

-2，f (x ) ⎨⎪⎩x 2

-2-x , -1≤x ≤2

ⅱ求分段函数函数值

3．（2010湖北文数）3. 已知函数f (x ) =⎧⎨log 3x , x >01

x , x ≤0

，则f (f ()) =

⎩29A.4

C.-4 D-

【解析】根据分段函数可得f (19) =log 111

39=-2，则f (f (9)) =f (-2) =2-2=4

，所以B 正确.

ⅲ解分段函数不等式

4. （2009天津卷文）设函数f (x ) =⎧⎨x 2-4x +6, x ≥0

+6, x

则不等式f (x ) >f (1) 的解集是（）

⎩x A. (-3, 1) ⋃(3, +∞) B.(-3, 1) ⋃(2, +∞) C.(-1, 1) ⋃(3, +∞) D.(-∞, -3) ⋃(1, 3) 答案 A解析由已知，函数先增后减再增当x ≥0，f (x ) ≥2f (1) =3令f (x ) =3, 解得x =1, x =3。当x f (1) =3 ，解得-33

．（2009天津卷理）已知函数f (x ) =⎧⎨x 25+4x ,

x ≥02

a ), 则实数⎩4x -x ,

若f (2-a ) >f (a

的取值范围是 A (-∞, -1) ⋃(2,+∞) B (-1, 2) C (-2,1) D (-∞, -2) ⋃(1, +∞)

解析：由题知f (x ) 在R 上是增函数，由题得2-a 2

>a ，解得-2

⎧1

, x

6. （2009北京理）若函数f (x ) =⎨ 则不等式|f (x ) |≥的解集为____________.

3⎪(1) x , x ≥0

⎪⎩3

⎧x ≥0⎧x ≥0⎧x

1⎪1⎪⎪

解析（1）由|f (x )|≥⇒⎨11⇒-1. 3≤x

≥3⎪ ⎪3⎪≥⎪ ⎪≥33x 3⎩⎩⎝3⎭3⎩⎝⎭

∴不等式|f (x ) |≥

的解集为{x |-3≤x ≤1}，∴应填[-3,1]. 3

⎧log 2x , x >0, ⎪

7。（2010天津理数）若函数f(x)=⎨log (-x ), x f(-a),则实数a 的取值范围是

⎪⎩2

（A ）（-1，0）∪（0，1）（B ）（-∞，-1）∪（1,+∞）（C ）（-1，0）∪（1,+∞）（D ）（-∞，-1）∪（0,1）【答案】C 由分段函数的表达式知，需要对a 的正负进行分类讨论。

⎧a >0⎧a 0a

或⎨1⇒a >1或-1f (-a ) ⇒⎨log a >log a 或⎨log (-a ) >log (-a ) ⇒⎨12112a >⎪⎪a

【温馨提示】分类函数不等式一般通过分类讨论的方式求解，解对数不等式既要注意真数大于0，同事要注意底数在（0，1）上时，不等号的方向不要写错。 ⅳ解分段函数方程

⎧3x , x ≤1,

8．（2009北京文）已知函数f (x ) =⎨若f (x ) =2，则x = .

⎩-x , x >1,

解析本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求x 的值. 属于基础知识、基本运算的考查. 由⎨

⎧x ≤1

⎩3=2

⇒x =log 32，⎨

⎧x >1

无解，故应填log 32.

⎩-x =2⇒x =-2

e x +e -x

1. (2009山东卷理) 函数y =x 的图像大致为 -x

e -e

( ).

解析函数有意义, 需使e -e

x -x

e x +e -x e 2x +12

≠0, 其定义域为{x |x ≠0}, 排除C,D, 又因为y =x -x =2x =1+2x ,

e -e e -1e -1

所以当x >0时函数为减函数, 故选A.

2. （2009广东卷理）已知甲、乙两车由同一起点同时出发, 并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙（如图2所示）．那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是（） A. 在t 1时刻，甲车在乙车前面 B. t 1时刻后，甲车在乙车后面 C. 在t 0时刻，两车的位置相同 D. t 0时刻后，乙车在甲车前面解析由图像可知，曲线v 甲比v 乙在0～t 0、0～t 1与x 轴所围成图形面积大，则在t 0、t 1时刻，甲车均在乙车前面，选A.

3. （2009江西卷文）如图所示，一质点P (x , y ) 在xOy 平面上沿曲线运动，速度大小不变，其在x 轴上的投影点Q (x ,0) 的运动速度V =V (t ) 的图象

大致为 ( )

解析由图可知，当质点P (x , y ) 在两个封闭曲线上运动时，投影点Q (x ,0) 的速度先由正到0、到负数，再到0，到正，故A 错误；质点P (x , y ) 在终点的速度是由大到小接近0，故D 错误；质点P (x , y ) 在开始时沿直线运动，故投影点Q (x ,0) 的速度为常数，因此C 是错误的，故选B . 4（2010山东理数）(11)

函数y =2-x 的图像大致是

【解析】因为当x=2或4时，2-x =0，所以排除B 、C ；当x=-2时，2-x =5（2010安徽文数）设abc >0, 二次函数f (x ) =ax 2+bx +c 的图像可能是

2x 2

-4

【解析】当a >0时，b 、c 同号，（C ）（D ）两图中c

>0，选项（D ）符合 2a

【方法技巧】根据二次函数图像开口向上或向下，分a >0或a

1. （2009全国卷Ⅰ理）函数f (x ) 的定义域为R ，若f (x +1) 与f (x -1) 都是奇函数，则( ) A. f (x ) 是偶函数 B.f (x ) 是奇函数

C. f (x ) =f (x +2) D.f (x +3) 是奇函数答案 D解析 f (x +1) 与f (x -1) 都是奇函数，

∴f (-x +1) =-f (x +1), f (-x -1) =-f (x -1) ，

∴ 函数f (x ) 关于点(1, 0，) 及点(-1, 0对) 称，函数f (x ) 是周期T =2[1-(-1) =]的周期函

数. ∴f (-x -1+4) =-f (x -1+4) ，f (-x +3) =-f (x +3) ，即f (x +3) 是奇函数。故选D

2.(2009山东卷理) 定义在R 上的函数f(x) 满足f(x)= ⎨则f （2009）的值为 A.-1 B. 0 C.1 D. 2

⎧log 2(1-x ), x ≤0

，

⎩f (x -1) -f (x -2), x >0

( )

答案 C解析由已知得f (-1) =log 22=1, f (0)=0, f (1)=f (0)-f (-1) =-1,

f (2)=f (1)-f (0)=-1, f (3)=f (2)-f (1)=-1-(-1) =0,

f (4)=f (3)-f (2)=0-(-1) =1, f (5)=f (4)-f (3)=1, f (6)=f (5)-f (4)=0,

所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现., 所以f （2009）= f（5）=1,故选C.

=f (x ) ，且当x ∈[0,2) 3. （2009江西卷文）已知函数f (x ) 是(-∞, +∞) 上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x +2）

时，f (x ) =log 2(x +1，则f (-2008) +f (2009)的值为）（）

A ．-2 B．-1 C ．1 D ．2

答案 C解析 f (-2008) +f (2009)=f (0)+f (1) =log 12+log 2=1, 故选C.

方法九函数奇偶性和对称性考察 1. （2009全国卷Ⅱ文）函数y =log 2

2-x

的图像 2+x

（）

（A ）关于原点对称（B ）关于主线y =-x 对称（C ）关于y 轴对称（D ）关于直线y =x 对称

答案 A解析由于定义域为（-2，2）关于原点对称，又f(-x)=-f(x)，故函数为奇函数，图像关于原点对称，选A 。

4x +1

2．（2010重庆理数）(5) 函数f (x )=的图象

A. 关于原点对称 B. 关于直线y=x对称 C. 关于x 轴对称 D. 关于y 轴对称

4-x +11+4x

==f (x ) ∴f (x ) 是偶函数，图像关于y 轴对称解析：f (-x ) =-x x

方法十函数奇偶性和单调性的考察

1.(2009山东卷文) 已知定义在R 上的奇函数f (x ) ，满足f (x -4) =-f (x ) , 且在区间[0,2]上是增函数, 则

( ).

A. f (-25)

答案 D解析因为f (x ) 满足f (x -4) =-f (x ) , 所以f (x -8) =f (x ) , 所以函数是以8为周期的周期函数, 则

f (-25) =f (-1) , f (80) =f (0) , f (11) =f (3) , 又因为f (x ) 在R 上是奇函数， f (0)=0, 得f (80) =f (0) =0

f (-25) =f (-1) =-f (1)

, 而由

f (-x 4=) -得f x

f (11) =f (3) =-f (-3) =-f (1-4) =f (1) , 又因为f (x ) 在区间[0,2]上是增函数, 所以f (1) >f (0) =0, 所以-f (1)

2. （2009

全国卷Ⅱ文）设a =lg e , b =(lge ) 2, c =

（）

（A ）a >b >c （B ）a >c >b （C ）c >a >b （D ）c >b >a

lge, 作商比较知c>b,选B 。 2

3. （2009辽宁卷文）已知偶函数f (x ) 在区间[0, +∞) 单调增加，则满足f (2x -1) ＜f () 的x 取值范围是

答案 B解析本题考查对数函数的增减性，由1>lge>0,知a>b,又c=

( )

（A ）（

12121212

，） B.［，） C.（，） D.［，） 33332323

), 再根据f(x)的单调性得|2x－1|＜ 33

答案 A

解析由于f(x)是偶函数, 故f(x)＝f(|x|)∴得f(|2x－1|)＜f(解得

＜x ＜ 33

4. （2009陕西卷文）定义在R 上的偶函数f (x ) 满足：对任意的x 1, x 2∈[0,+∞)(x 1≠x 2) ，有则

( )

f (x 2) -f (x 1)

x 2-x 1

(A)f (3)0等价，于

f (x 2) -f (x 1)

>0则f (x ) 在

x 2-x 1

x 1, x 2∈(-∞,0](x 1≠x 2) 上单调递增, 又f (x ) 是偶函数, 故f (x ) 在

x 1, x 2∈(0,+∞](x 1≠x 2) 单调递减. 且满足n ∈N *时, f (-2) =f (2), 3>2>1>0, 得

f (3)

5.(2009陕西卷理) 定义在R 上的偶函数f (x ) 满足：对任意的x 1, x 2∈(-∞,0](x 1≠x 2) ，有(x 2-x 1)(f (x 2) -f (x 1)) >0. 则当n ∈N 时, 有*

( )

(A)f (-n )

6. （2009江苏卷）

已知a =

解析：x 1, x 2∈(-∞, 0](x 1≠x 2) ⇒(x 2-x 1)(f (x 2) -f (x 1)) >0⇔x 2>x 1时，f (x 2) >f (x 1) ⇔f (x ) 在(-∞, 0]为增函数f (x ) 为偶函数⇒f (x ) 在(0，+∞]为减函数

而n+1>n>n-1>0,∴f (n +1)

，函数f (x ) =a x ，若实数m 、则m 、n 满足f (m ) >f (n ) ，n 的大小关系为2

解析

a =

(0,1)，函数f (x ) =a x 在R 上递减。由f (m ) >f (n ) 得：m

7．（2010安徽文数）（7）设a =（）, b =（），c =（），则a ，b ，c 的大小关系是

555

（A ）a ＞c ＞b （B ）a ＞b ＞c （C ）c ＞a ＞b （D ）b ＞c ＞a

7.A 【解析】y =x 在x >0时是增函数，所以a >c ，y =() 在x >0时是减函数，所以c >b 。

方法十一抽象函数的解法

1. （2009四川卷理）已知函数f (x ) 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有

xf (x +1) =(1+x ) f (x ，则) f (f ()) 的值是( )

215

A.0 B. C.1 D.

答案 A解析令x =-

11111111

，则-f () =f (-) =f () ⇒f () =0；令x =0，则f (0) =0 22222222

x +1

f (x ) ，所以 x

由xf (x +1) =(1+x ) f (x ) 得f (x +1) =

535353515

f () =f () =f () =⋅f () =0⇒f (f ()) =f (0) =0，故选择A 。

[1**********]

2.(2009山东卷理) 已知定义在R 上的奇函数f (x ) ，满足f (x -4) =-f (x ) , 且在区间[0,2]上是增函数, 若方程f(x)=m(m>0)在区间[-8, 8]上有四个不同的根x 1, x 2, x 3, x 4, 则x 1+x 2+x 3+x 4=_________.

答案 -8解析因为定义在R 上的奇函数，满足f (x -4) =-f (x ) , 所以f (x -4) =f (-x ) , 所以, 由f (x ) 为

奇函数, 所以函数图象关于直线x =2对称且f (0)=0, 由f (x -4) =-f (x ) 知f (x -8) =f (x ) , 所以函数是以8为周期的周期函数, 又因为f (x ) 在区间[0,2]上是增函数, 所以f (x ) 在区间[-2,0]上也是增函数. 如图所示, 那么方程f(x)=m(m>0)在区间[-8, 8]上有四个不同的根x 1, x 2, x 3, x 4, 不妨设x 1

x 1+x 2=-12x 3+x 4=4所以x 1+x 2+x 3+x 4=-12+4=-8

方法十二对数函数的考察

3（2010全国卷1文数）(7)已知函数f (x ) =|lg x |. 若a ≠b 且，f (a ) =f (b ) ，则a +b 的取值范围是 (A)(1,+∞) (B)[1,+∞) (C) (2,+∞) (D) [2,+∞)

C 【命题意图】做本小题时极易忽视a 的取值范围，而利用均值不等式求得a+b=a +因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去) ，或b =

≥2, 从而错选D, 【解析1】a

，所以a+b=a +又0

f (a ) =a +

由“对勾”函数的性质知函数f (a ) 在a ∈(0,1)上为减函数，所以f(a)>f(1)=1+1=2,即a+b的取值范a

围是(2,+∞).

⎧0

【解析2】由0

⎪ab =1⎪xy =1⎩⎩

题，z =x +y ⇒y =-x +z ，y =

⇒y '=-2

4（2010全国卷1理数）（10）已知函数f (x )=|lgx |.若0

(A)+∞

) (B)+∞) (C)(3,+∞) (D)[3,+∞

)

方法十三函数创新题的解法

1.(2009浙江理）对于正实数α，记M α为满足下述条件的函数f (x ) 构成的集合：∀x 1, x 2∈R 且x 2>x 1，有

-α(x 2-x 1)

( )

A ．若f (x ) ∈M α1，g (x ) ∈M α2，则f (x ) ⋅g (x ) ∈M α1⋅α2 B ．若f (x ) ∈M α1，g (x ) ∈M α2，且g (x ) ≠0，则

f (x )

∈M α1 g (x ) α2

C ．若f (x ) ∈M α1，g (x ) ∈M α2，则f (x ) +g (x ) ∈M α1+α2 D ．若f (x ) ∈M α1，g (x ) ∈M α2，且α1>α2，则f (x ) -g (x ) ∈M α1-α2 答案 C 解析对于-α(x 2-x 1)

f (1x

f (x 2) -f (x 1)

x 2-x 1

f (x 2) -f (x 1)

=k ，有-α

x 2-x 1

此有-α1-α2

对称。据此可推测，对任意的非零实2a

数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程m [f (x ) ]+nf (x ) +p =0的解集都不可能是 ( ) A. {1,2} B {1,4} C {1,2,3,4} D {1,4,16,64}

答案 D解析对方程m [f (x )]2+nf (x ) +P =0中m , n , p 分别赋值求出f (x ) 代入f (x ) =0求出检验即得.

函数及其表示

考点一求定义域的几种情况

①若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R ；

②若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；

③若f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合； ④若f(x)是对数函数，真数应大于零。

⑤. 因为零的零次幂没有意义，所以底数和指数不能同时为零。

方法一函数定义域的求法

, 则从A 到B 的映射个数为

。简单说成“前指后底”。

．（2009江西卷文）函数y =的定义域为（）

A ．[-4,1] B ．[-4, 0) C ．(0,1] D ．[-4, 0) (0,1]

x ≠0⎧

解析由⎨2得-4≤x

⎩-x -3x +4≥0

．（2009江西卷理）函数y =

的定义域为 ( )

A ．(-4, -1) B ．(-4,1) C ．(-1,1) D ．(-1,1]

⎧x +1>0⎧x >-1解析由⎨2⇒⎨⇒-1

-40⎩

3. （2009福建卷文）下列函数中，与函数y =

有相同定义域的是 ( )

A .f (x ) =ln x B.f (x ) = 解析由y =

1x C. f (x ) =|x | D.f (x ) =e

1可得定义域是x >0. f (x ) =ln x 的定义域x >0；f (x ) =的定义域是x ≠0；f (x ) =|x |的定义

x x

域是x ∈R ; f (x ) =e 定义域是x ∈R 。故选A. 4. （2007年上海）函数

y =

lg(4-x )

的定义域是答案 {x x

1. 下列各组函数中表示同一函数的是（）A.y=x

和y =

B.y=ln

和y =

ln x

C.y =

(x -1)(x +3)x -1和y =(x +3) D.y =x 0和y =1

2．函数y=f(x)的图像与直线x=2的公共点个数为

A. 0个B. 1个 C. 0个或1个 D. 不能确定 3．已知函数y=

-2定义域为{-1, 0. 1, 2}，则其值域为

2（2010天津文数）设函数g (x ) =x 2

-2(x ∈R ) f (x ) ={g (x ) +x +4, x

，g (x ) -x , x ≥g (x ). 则f (x ) 的值域是

（A ）⎢⎡-

9⎣4,0⎤⎥⎦⋃(1,+∞) （B ）[0,+∞) （C ）[-94, +∞) （D ）⎡⎢9⎤

⎣-4,0⎥⎦

⋃(2,+∞)

【解析】依题意知f (x ) ⎧⎪⎨x 2-2+(x +4), x

x 2+2, x 2⎪⎩x 2-2-x , x ≥x 2

-2，f (x ) ⎨⎪⎩x 2

-2-x , -1≤x ≤2

ⅱ求分段函数函数值

3．（2010湖北文数）3. 已知函数f (x ) =⎧⎨log 3x , x >01

x , x ≤0

，则f (f ()) =

⎩29A.4

C.-4 D-

【解析】根据分段函数可得f (19) =log 111

39=-2，则f (f (9)) =f (-2) =2-2=4

，所以B 正确.

ⅲ解分段函数不等式

4. （2009天津卷文）设函数f (x ) =⎧⎨x 2-4x +6, x ≥0

+6, x

则不等式f (x ) >f (1) 的解集是（）

．（2009天津卷理）已知函数f (x ) =⎧⎨x 25+4x ,

x ≥02

a ), 则实数⎩4x -x ,

若f (2-a ) >f (a

的取值范围是 A (-∞, -1) ⋃(2,+∞) B (-1, 2) C (-2,1) D (-∞, -2) ⋃(1, +∞)

解析：由题知f (x ) 在R 上是增函数，由题得2-a 2

>a ，解得-2

⎧1

, x

6. （2009北京理）若函数f (x ) =⎨ 则不等式|f (x ) |≥的解集为____________.

3⎪(1) x , x ≥0

⎪⎩3

⎧x ≥0⎧x ≥0⎧x

1⎪1⎪⎪

解析（1）由|f (x )|≥⇒⎨11⇒-1. 3≤x

≥3⎪ ⎪3⎪≥⎪ ⎪≥33x 3⎩⎩⎝3⎭3⎩⎝⎭

∴不等式|f (x ) |≥

的解集为{x |-3≤x ≤1}，∴应填[-3,1]. 3

⎧log 2x , x >0, ⎪

7。（2010天津理数）若函数f(x)=⎨log (-x ), x f(-a),则实数a 的取值范围是

⎪⎩2

⎧a >0⎧a 0a

或⎨1⇒a >1或-1f (-a ) ⇒⎨log a >log a 或⎨log (-a ) >log (-a ) ⇒⎨12112a >⎪⎪a

⎧3x , x ≤1,

8．（2009北京文）已知函数f (x ) =⎨若f (x ) =2，则x = .

⎩-x , x >1,

解析本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求x 的值. 属于基础知识、基本运算的考查. 由⎨

⎧x ≤1

⎩3=2

⇒x =log 32，⎨

⎧x >1

无解，故应填log 32.

⎩-x =2⇒x =-2

e x +e -x

1. (2009山东卷理) 函数y =x 的图像大致为 -x

e -e

( ).

解析函数有意义, 需使e -e

x -x

e x +e -x e 2x +12

≠0, 其定义域为{x |x ≠0}, 排除C,D, 又因为y =x -x =2x =1+2x ,

e -e e -1e -1

所以当x >0时函数为减函数, 故选A.

3. （2009江西卷文）如图所示，一质点P (x , y ) 在xOy 平面上沿曲线运动，速度大小不变，其在x 轴上的投影点Q (x ,0) 的运动速度V =V (t ) 的图象

大致为 ( )

函数y =2-x 的图像大致是

【解析】因为当x=2或4时，2-x =0，所以排除B 、C ；当x=-2时，2-x =5（2010安徽文数）设abc >0, 二次函数f (x ) =ax 2+bx +c 的图像可能是

2x 2

-4

【解析】当a >0时，b 、c 同号，（C ）（D ）两图中c

>0，选项（D ）符合 2a

【方法技巧】根据二次函数图像开口向上或向下，分a >0或a

1. （2009全国卷Ⅰ理）函数f (x ) 的定义域为R ，若f (x +1) 与f (x -1) 都是奇函数，则( ) A. f (x ) 是偶函数 B.f (x ) 是奇函数

C. f (x ) =f (x +2) D.f (x +3) 是奇函数答案 D解析 f (x +1) 与f (x -1) 都是奇函数，

∴f (-x +1) =-f (x +1), f (-x -1) =-f (x -1) ，

∴ 函数f (x ) 关于点(1, 0，) 及点(-1, 0对) 称，函数f (x ) 是周期T =2[1-(-1) =]的周期函

数. ∴f (-x -1+4) =-f (x -1+4) ，f (-x +3) =-f (x +3) ，即f (x +3) 是奇函数。故选D

2.(2009山东卷理) 定义在R 上的函数f(x) 满足f(x)= ⎨则f （2009）的值为 A.-1 B. 0 C.1 D. 2

⎧log 2(1-x ), x ≤0

，

⎩f (x -1) -f (x -2), x >0

( )

答案 C解析由已知得f (-1) =log 22=1, f (0)=0, f (1)=f (0)-f (-1) =-1,

f (2)=f (1)-f (0)=-1, f (3)=f (2)-f (1)=-1-(-1) =0,

f (4)=f (3)-f (2)=0-(-1) =1, f (5)=f (4)-f (3)=1, f (6)=f (5)-f (4)=0,

所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现., 所以f （2009）= f（5）=1,故选C.

=f (x ) ，且当x ∈[0,2) 3. （2009江西卷文）已知函数f (x ) 是(-∞, +∞) 上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x +2）

时，f (x ) =log 2(x +1，则f (-2008) +f (2009)的值为）（）

A ．-2 B．-1 C ．1 D ．2

答案 C解析 f (-2008) +f (2009)=f (0)+f (1) =log 12+log 2=1, 故选C.

方法九函数奇偶性和对称性考察 1. （2009全国卷Ⅱ文）函数y =log 2

2-x

的图像 2+x

（）

（A ）关于原点对称（B ）关于主线y =-x 对称（C ）关于y 轴对称（D ）关于直线y =x 对称

答案 A解析由于定义域为（-2，2）关于原点对称，又f(-x)=-f(x)，故函数为奇函数，图像关于原点对称，选A 。

4x +1

2．（2010重庆理数）(5) 函数f (x )=的图象

A. 关于原点对称 B. 关于直线y=x对称 C. 关于x 轴对称 D. 关于y 轴对称

4-x +11+4x

==f (x ) ∴f (x ) 是偶函数，图像关于y 轴对称解析：f (-x ) =-x x

方法十函数奇偶性和单调性的考察

1.(2009山东卷文) 已知定义在R 上的奇函数f (x ) ，满足f (x -4) =-f (x ) , 且在区间[0,2]上是增函数, 则

( ).

A. f (-25)

答案 D解析因为f (x ) 满足f (x -4) =-f (x ) , 所以f (x -8) =f (x ) , 所以函数是以8为周期的周期函数, 则

f (-25) =f (-1) , f (80) =f (0) , f (11) =f (3) , 又因为f (x ) 在R 上是奇函数， f (0)=0, 得f (80) =f (0) =0

f (-25) =f (-1) =-f (1)

, 而由

f (-x 4=) -得f x

f (11) =f (3) =-f (-3) =-f (1-4) =f (1) , 又因为f (x ) 在区间[0,2]上是增函数, 所以f (1) >f (0) =0, 所以-f (1)

2. （2009

全国卷Ⅱ文）设a =lg e , b =(lge ) 2, c =

（）

（A ）a >b >c （B ）a >c >b （C ）c >a >b （D ）c >b >a

lge, 作商比较知c>b,选B 。 2

3. （2009辽宁卷文）已知偶函数f (x ) 在区间[0, +∞) 单调增加，则满足f (2x -1) ＜f () 的x 取值范围是

答案 B解析本题考查对数函数的增减性，由1>lge>0,知a>b,又c=

( )

（A ）（

12121212

，） B.［，） C.（，） D.［，） 33332323

), 再根据f(x)的单调性得|2x－1|＜ 33

答案 A

解析由于f(x)是偶函数, 故f(x)＝f(|x|)∴得f(|2x－1|)＜f(解得

＜x ＜ 33

4. （2009陕西卷文）定义在R 上的偶函数f (x ) 满足：对任意的x 1, x 2∈[0,+∞)(x 1≠x 2) ，有则

( )

f (x 2) -f (x 1)

x 2-x 1

(A)f (3)0等价，于

f (x 2) -f (x 1)

>0则f (x ) 在

x 2-x 1

x 1, x 2∈(-∞,0](x 1≠x 2) 上单调递增, 又f (x ) 是偶函数, 故f (x ) 在

x 1, x 2∈(0,+∞](x 1≠x 2) 单调递减. 且满足n ∈N *时, f (-2) =f (2), 3>2>1>0, 得

f (3)

5.(2009陕西卷理) 定义在R 上的偶函数f (x ) 满足：对任意的x 1, x 2∈(-∞,0](x 1≠x 2) ，有(x 2-x 1)(f (x 2) -f (x 1)) >0. 则当n ∈N 时, 有*

( )

(A)f (-n )

6. （2009江苏卷）

已知a =

解析：x 1, x 2∈(-∞, 0](x 1≠x 2) ⇒(x 2-x 1)(f (x 2) -f (x 1)) >0⇔x 2>x 1时，f (x 2) >f (x 1) ⇔f (x ) 在(-∞, 0]为增函数f (x ) 为偶函数⇒f (x ) 在(0，+∞]为减函数

而n+1>n>n-1>0,∴f (n +1)

，函数f (x ) =a x ，若实数m 、则m 、n 满足f (m ) >f (n ) ，n 的大小关系为2

解析

a =

(0,1)，函数f (x ) =a x 在R 上递减。由f (m ) >f (n ) 得：m

7．（2010安徽文数）（7）设a =（）, b =（），c =（），则a ，b ，c 的大小关系是

555

（A ）a ＞c ＞b （B ）a ＞b ＞c （C ）c ＞a ＞b （D ）b ＞c ＞a

7.A 【解析】y =x 在x >0时是增函数，所以a >c ，y =() 在x >0时是减函数，所以c >b 。

方法十一抽象函数的解法

1. （2009四川卷理）已知函数f (x ) 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有

xf (x +1) =(1+x ) f (x ，则) f (f ()) 的值是( )

215

A.0 B. C.1 D.

答案 A解析令x =-

11111111

，则-f () =f (-) =f () ⇒f () =0；令x =0，则f (0) =0 22222222

x +1

f (x ) ，所以 x

由xf (x +1) =(1+x ) f (x ) 得f (x +1) =

535353515

f () =f () =f () =⋅f () =0⇒f (f ()) =f (0) =0，故选择A 。

[1**********]

答案 -8解析因为定义在R 上的奇函数，满足f (x -4) =-f (x ) , 所以f (x -4) =f (-x ) , 所以, 由f (x ) 为

x 1+x 2=-12x 3+x 4=4所以x 1+x 2+x 3+x 4=-12+4=-8

方法十二对数函数的考察

3（2010全国卷1文数）(7)已知函数f (x ) =|lg x |. 若a ≠b 且，f (a ) =f (b ) ，则a +b 的取值范围是 (A)(1,+∞) (B)[1,+∞) (C) (2,+∞) (D) [2,+∞)

C 【命题意图】做本小题时极易忽视a 的取值范围，而利用均值不等式求得a+b=a +因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去) ，或b =

≥2, 从而错选D, 【解析1】a

，所以a+b=a +又0

f (a ) =a +

由“对勾”函数的性质知函数f (a ) 在a ∈(0,1)上为减函数，所以f(a)>f(1)=1+1=2,即a+b的取值范a

围是(2,+∞).

⎧0

【解析2】由0

⎪ab =1⎪xy =1⎩⎩

题，z =x +y ⇒y =-x +z ，y =

⇒y '=-2

4（2010全国卷1理数）（10）已知函数f (x )=|lgx |.若0

(A)+∞

) (B)+∞) (C)(3,+∞) (D)[3,+∞

)

方法十三函数创新题的解法

1.(2009浙江理）对于正实数α，记M α为满足下述条件的函数f (x ) 构成的集合：∀x 1, x 2∈R 且x 2>x 1，有

-α(x 2-x 1)

( )

A ．若f (x ) ∈M α1，g (x ) ∈M α2，则f (x ) ⋅g (x ) ∈M α1⋅α2 B ．若f (x ) ∈M α1，g (x ) ∈M α2，且g (x ) ≠0，则

f (x )

∈M α1 g (x ) α2

C ．若f (x ) ∈M α1，g (x ) ∈M α2，则f (x ) +g (x ) ∈M α1+α2 D ．若f (x ) ∈M α1，g (x ) ∈M α2，且α1>α2，则f (x ) -g (x ) ∈M α1-α2 答案 C 解析对于-α(x 2-x 1)

f (1x

f (x 2) -f (x 1)

x 2-x 1

f (x 2) -f (x 1)

=k ，有-α

x 2-x 1

此有-α1-α2

对称。据此可推测，对任意的非零实2a

数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程m [f (x ) ]+nf (x ) +p =0的解集都不可能是 ( ) A. {1,2} B {1,4} C {1,2,3,4} D {1,4,16,64}

答案 D解析对方程m [f (x )]2+nf (x ) +P =0中m , n , p 分别赋值求出f (x ) 代入f (x ) =0求出检验即得.

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