夹角问题
(一) 异面直线所成的角： (1) 范围：(0︒, 90︒] (2)求法： 方法一：定义法。
步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。 步骤2：解三角形求出角。(常用到余弦定理) 余弦定理：
步骤2：解三角形，求出线面角。
方法二：向量法(为平面α的一个法向量) 。
sin θ
=cos
=
(三) 二面角及其平面角
(1)定义：在棱l 上取一点P ，两个半平
cos θ=
a +b -c
2ab
222
面内分别作l 的垂线（射线）m 、n ，则
射线m 和n 的夹角θ为二面角α—l —β的平面角。 (2)范围：[0︒, 180︒] (3)求法：
(计算结果可能是其补角)
方法二：向量法。转化为向量的夹角 (计算结果可能是其补角) ：
方法一：定义法。
步骤1：作出二面角的平面角(三垂线定理) ，并证明。 步骤2：解三角形，求出二面角的平面角。 方法二：截面法。
cos θ=
(二) 线面角
(1)定义：直线l 上任取一点P （交点除外），作PO ⊥
α于
步骤1：如图，若平面POA 同时垂直于平面α和β，则交线(射线)AP
O, 连结AO ，则AO 为斜线PA 在面α内的射影，∠PAO (图中θ) 为直线l 与面α所成的角。 (2)范围：[0︒, 90︒]
当θ=0︒时，l ⊂α或l //α 当θ=90︒时，l ⊥α (3)求法： 方法一：定义法。
步骤1：作出线面角，并证明。
和AO 的夹角就是二面角。 步骤2：解三角形，求出二面角。
方法三：坐标法(计算结果可能与二面角互补) 。 步骤一：计算cos =
n 1⋅n 2n 1⋅n 2
步骤二：判断θ与的关系，可能相等或者互补。
A N
1
练习:
ABCD -A 1BC 11D
1中，M 、N 分别是CD 、CC 1的中点，则异面直1、如图，在正方体
线
A 1M 与DN 所成角的大小是________90
2. 直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A
1C 1的中点，BC=CA=CC1，
则BM 与AN 所成的角的余弦值为（ ）
A. 1 B. 2
C.
105
D.
A N
1
3. 已知二面角α-l -β为60︒，AB ⊂α，AB ⊥l ，A 为垂足，CD ⊂β，C ∈l ，
∠ACD =135︒，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为 （ ） 11A ． B C D ．
42 M 、N 分别是CD 、CC 1的中点, 则异面直线A 1M 与DN 所成的角的大小4．如图, 在正方体ABCD -A 1BC 11D 1中,
是____________.
5．已知正方形ABCD -A 1B 1C 1D 1中, E , F 分别为BB 1, CC 1的中点, 那么异面直线AE 与D 1F 所成角的余弦值为____.
6 .如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=1，D 在棱BB1上，且BD=1，则AD 与平 面AA 1C 1C 所成角的正弦值为 ( ) A.
6367 D. 4422
7. 如图，在正方体ABCD -A 点O 为线段BD 的中点. 设点P 在1BC 11D 1中，
sin α的取值范围是线段CC 1上，直线OP 与平面A 1BD 所成的角为α，则
（ ）A ．
B ． C ． D ． 8. 如图，在三棱锥P -ABC 中，∠APB =90，∠PAB =60，AB =BC =CA ，平面PAB ⊥平面ABC 。 （Ⅰ）求直线PC 与平面ABC 所成角的大小； （Ⅱ）求二面角B -AP -C 的大小。
9. 如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，点A 1在平面ABC 内的射影D 在AC 上，∠ACB =900，BC =1, AC =CC 1=2. （I ）证明：AC 1⊥A 1B ；
（II ）设直线AA 1与平面BCC 1B
1A 1-AB -C 的大小.
10. 如图4，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，∠DPC =30，AF ⊥PC 于点F ，FE //CD ，交PD 于点E .
（1）证明：CF ⊥平面ADF ； （2）求二面角D -AF -E 的余弦值.
11. 如图6, 四棱柱ABCD -A 1BC 11D 1的所有棱长都相等, AC
BD =O , AC 11B 1D 1=O 1, 四边形ACC 1A 1和四边形
BDD 1B 1为矩形.
(1)证明:O 1O ⊥底面ABCD ;
(2)若∠CBA =60, 求二面角C 1-OB 1-D 的余弦值.
12. 如图，∆ABC 和∆BCD 所在平面互相垂直，且AB =BC =BD =2，∠ABC =∠DBC =1200，E 、F 分别为AC 、DC 的中点.
（1）求证：EF ⊥BC ；
（2）求二面角E -BF -C 的正弦值.
13. 如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 为菱形，AB ⊥B 1C .
（Ⅰ）证明：AC =AB 1;
（Ⅱ）若AC ⊥AB 1，∠CBB 1=60︒, AB =BC , 求二面角A -A 1B 1-C 1的余弦值.
2. 【答案】B.
3.
q =
r =1, n =
)
．又p =(0,0,1)为平面ABC 的法向量，故cos n , p =
n ⋅p n ⋅p
=
1
4
，∴二面角A 11-AB -C 的大小为arccos 4
．
考点：1．空间线线垂直、线面垂直、面面垂直的证明；2．二面角的计算． 4.
【考点定位】本题考查直线与平面垂直的判定以及利用空间向量法求二面角，属于中等题.
5.
试题解析:(1)证明:
四棱柱ABCD -A 1BC 11D 1的所有棱长都相等
∴四边形ABCD 和四边形A 1B 1C 1D 1均为菱形
AC
BD =O , AC 11B 1D 1=O 1
∴O , O 1分别为BD , B 1D 1中点
四边形ACC 1A 1和四边形BDD 1B 1为矩形
∴OO 1//CC 1//BB 1且CC 1⊥AC , BB 1⊥BD
∴OO 1⊥BD , OO 1⊥AC
又
AC BD =O 且AC , BD ⊆底面ABCD
∴OO 1⊥底面ABCD
.
又
B 1O ⊥O 1H 且OC 11
O 1H =O 1, O 1C 1, O 1H ⊆面O 1HC
1
【考点定位】线面垂直 二面角 勾股定理 菱形
6. 易得
11E (0,F ,0) , 所以EF =BC =(0,2,0) ，因此EF ⋅BC =0, 从而得22
（方法二）由
题意，以B 为坐标原点，在平面DBC 内过B 左垂直BC 的直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴，在平面ABC 内过B 作垂直BC 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
易得B （0,0,0），A (0，-1
D
，C (0,2,0),
因而E (0,, 11F ,0) ,
所以2222
EF =BC =(0,2,0) ，因此EF ⋅BC =0,
从而
EF ⊥BC ，所以EF ⊥BC .
夹角问题
(一) 异面直线所成的角： (1) 范围：(0︒, 90︒] (2)求法： 方法一：定义法。
步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。 步骤2：解三角形求出角。(常用到余弦定理) 余弦定理：
步骤2：解三角形，求出线面角。
方法二：向量法(为平面α的一个法向量) 。
sin θ
=cos
=
(三) 二面角及其平面角
(1)定义：在棱l 上取一点P ，两个半平
cos θ=
a +b -c
2ab
222
面内分别作l 的垂线（射线）m 、n ，则
射线m 和n 的夹角θ为二面角α—l —β的平面角。 (2)范围：[0︒, 180︒] (3)求法：
(计算结果可能是其补角)
方法二：向量法。转化为向量的夹角 (计算结果可能是其补角) ：
方法一：定义法。
步骤1：作出二面角的平面角(三垂线定理) ，并证明。 步骤2：解三角形，求出二面角的平面角。 方法二：截面法。
cos θ=
(二) 线面角
(1)定义：直线l 上任取一点P （交点除外），作PO ⊥
α于
步骤1：如图，若平面POA 同时垂直于平面α和β，则交线(射线)AP
O, 连结AO ，则AO 为斜线PA 在面α内的射影，∠PAO (图中θ) 为直线l 与面α所成的角。 (2)范围：[0︒, 90︒]
当θ=0︒时，l ⊂α或l //α 当θ=90︒时，l ⊥α (3)求法： 方法一：定义法。
步骤1：作出线面角，并证明。
和AO 的夹角就是二面角。 步骤2：解三角形，求出二面角。
方法三：坐标法(计算结果可能与二面角互补) 。 步骤一：计算cos =
n 1⋅n 2n 1⋅n 2
步骤二：判断θ与的关系，可能相等或者互补。
A N
1
练习:
ABCD -A 1BC 11D
1中，M 、N 分别是CD 、CC 1的中点，则异面直1、如图，在正方体
线
A 1M 与DN 所成角的大小是________90
2. 直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A
1C 1的中点，BC=CA=CC1，
则BM 与AN 所成的角的余弦值为（ ）
A. 1 B. 2
C.
105
D.
A N
1
3. 已知二面角α-l -β为60︒，AB ⊂α，AB ⊥l ，A 为垂足，CD ⊂β，C ∈l ，
∠ACD =135︒，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为 （ ） 11A ． B C D ．
42 M 、N 分别是CD 、CC 1的中点, 则异面直线A 1M 与DN 所成的角的大小4．如图, 在正方体ABCD -A 1BC 11D 1中,
是____________.
5．已知正方形ABCD -A 1B 1C 1D 1中, E , F 分别为BB 1, CC 1的中点, 那么异面直线AE 与D 1F 所成角的余弦值为____.
6 .如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=1，D 在棱BB1上，且BD=1，则AD 与平 面AA 1C 1C 所成角的正弦值为 ( ) A.
6367 D. 4422
7. 如图，在正方体ABCD -A 点O 为线段BD 的中点. 设点P 在1BC 11D 1中，
sin α的取值范围是线段CC 1上，直线OP 与平面A 1BD 所成的角为α，则
（ ）A ．
B ． C ． D ． 8. 如图，在三棱锥P -ABC 中，∠APB =90，∠PAB =60，AB =BC =CA ，平面PAB ⊥平面ABC 。 （Ⅰ）求直线PC 与平面ABC 所成角的大小； （Ⅱ）求二面角B -AP -C 的大小。
9. 如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，点A 1在平面ABC 内的射影D 在AC 上，∠ACB =900，BC =1, AC =CC 1=2. （I ）证明：AC 1⊥A 1B ；
（II ）设直线AA 1与平面BCC 1B
1A 1-AB -C 的大小.
10. 如图4，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，∠DPC =30，AF ⊥PC 于点F ，FE //CD ，交PD 于点E .
（1）证明：CF ⊥平面ADF ； （2）求二面角D -AF -E 的余弦值.
11. 如图6, 四棱柱ABCD -A 1BC 11D 1的所有棱长都相等, AC
BD =O , AC 11B 1D 1=O 1, 四边形ACC 1A 1和四边形
BDD 1B 1为矩形.
(1)证明:O 1O ⊥底面ABCD ;
(2)若∠CBA =60, 求二面角C 1-OB 1-D 的余弦值.
12. 如图，∆ABC 和∆BCD 所在平面互相垂直，且AB =BC =BD =2，∠ABC =∠DBC =1200，E 、F 分别为AC 、DC 的中点.
（1）求证：EF ⊥BC ；
（2）求二面角E -BF -C 的正弦值.
13. 如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 为菱形，AB ⊥B 1C .
（Ⅰ）证明：AC =AB 1;
（Ⅱ）若AC ⊥AB 1，∠CBB 1=60︒, AB =BC , 求二面角A -A 1B 1-C 1的余弦值.
2. 【答案】B.
3.
q =
r =1, n =
)
．又p =(0,0,1)为平面ABC 的法向量，故cos n , p =
n ⋅p n ⋅p
=
1
4
，∴二面角A 11-AB -C 的大小为arccos 4
．
考点：1．空间线线垂直、线面垂直、面面垂直的证明；2．二面角的计算． 4.
【考点定位】本题考查直线与平面垂直的判定以及利用空间向量法求二面角，属于中等题.
5.
试题解析:(1)证明:
四棱柱ABCD -A 1BC 11D 1的所有棱长都相等
∴四边形ABCD 和四边形A 1B 1C 1D 1均为菱形
AC
BD =O , AC 11B 1D 1=O 1
∴O , O 1分别为BD , B 1D 1中点
四边形ACC 1A 1和四边形BDD 1B 1为矩形
∴OO 1//CC 1//BB 1且CC 1⊥AC , BB 1⊥BD
∴OO 1⊥BD , OO 1⊥AC
又
AC BD =O 且AC , BD ⊆底面ABCD
∴OO 1⊥底面ABCD
.
又
B 1O ⊥O 1H 且OC 11
O 1H =O 1, O 1C 1, O 1H ⊆面O 1HC
1
【考点定位】线面垂直 二面角 勾股定理 菱形
6. 易得
11E (0,F ,0) , 所以EF =BC =(0,2,0) ，因此EF ⋅BC =0, 从而得22
（方法二）由
题意，以B 为坐标原点，在平面DBC 内过B 左垂直BC 的直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴，在平面ABC 内过B 作垂直BC 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
易得B （0,0,0），A (0，-1
D
，C (0,2,0),
因而E (0,, 11F ,0) ,
所以2222
EF =BC =(0,2,0) ，因此EF ⋅BC =0,
从而
EF ⊥BC ，所以EF ⊥BC .