数值计算方法与算法复习资料参考答案
一、概念
1. 相对误差：绝对误差与准确值之比称为相对误差。
2. 矩阵范数：对任意n 阶方阵A ，按一定的规则有一实数与之对应称为矩阵范数。
3. 算子范数：设A 为n 阶方阵，|| ·||是R n 中的向量范数，则||A ||=max ||Ax ||是一种矩阵x ≠θ||x ||范数，称算子范数。
4. 矩阵范数与向量范数的相容性：对任意的n 维向量在，都有||Ax||≦||A|| ||x||称为矩阵范数与向量范数的相容性。
n max max n
5. 1 1-范数：||A||1=||Ax||1=|x i |（向量） ∑|a ij |（矩阵） ||x ||1=∑1≤j ≤n i =1||x ||1=1i =1
max n max max |a |5.2 ∞-范数||A||∞=||Ax||∞=（矩阵） ||x ||={|x i |}（向量）∑ij ∞1≤i ≤n 1≤i ≤n ||x ||∞=1j =1
max 2225.3 2-范数||A||2=||Ax||2=λ1（矩阵） ||x ||2=x 1+x 2+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+x n （向量） ||x ||2=1
6. 误差：计算值与其真实值之差。
7. 有效数字：近似值的一种表示方法，既能表示近似值的大小，又能表示其精确程度。 8. 算法：解题方案的准确而完整的描述，是一系列解决问题的清晰指令，算法代表着用系统的方法描述解决问题的策略机制。也就是说，能够对一定规范的输入，在有限时间内获得所要求的输出。
9. 向量范数：设对任意向量x ∈R ，按一定的规则有一实数与之对应，则称||x||为向量x 的范数。
10. 插值法：是利用函数f (x)在某区间中插入若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。
二、简答题
11. 雅可比（Jacobi ）迭代法是：
12. 高斯消去法的计算量：乘法次数
n -1n ∑(n -k ) (n -k +1) =3(n k =1n -1n 2-1) ，
除法次数∑(n -k ) =
k =1n (n -1) 2
13. 迭代法的误差估计：
14. 高斯消元法的思想是 ：先逐次消去变量，讲方程组化成同解的上三角形方程组，然后按方程相反顺序求解上三角形方程组，得到原方程组的解。
15. 迭代法的基本思想是：构造一串收敛到解的序列，即建立一种从已有近似解计算新的近似解的规则，由不同的计算规则得到不同的迭代法。
16. 数值计算中应注意的问题是：1. 避免两个相近的数相减。2. 避免大数“吃”小数的现象。
3. 避免除数的绝对值远小于被除数的绝对值4. 要简化计算，减少运算次数，提高效率。5. 选用数值稳定性好的算法。
17. 迭代法的收敛条件：对任意初始向量x (0)和右端项g ，由迭代格式
x (k +1) =Mx (k ) +g (k =1, 2, 3⋅⋅⋅⋅⋅)产生的向量序列｛x (k ) ｝收敛的充要条件是ρ(M )
18. 雅可比（Jacobi ）迭代法的计算过程（算法）：1. 输入A =(a ij ), b =(b 1, ⋅⋅⋅, b n ) ，维数n ，
(0) (0) (0) ，ε，最大容许迭代数N 。2. 置k=1。3. 对x (0) =x 1, x 2, ⋅⋅⋅, x n ()
⎛⎫n ⎪(0) b i -∑a ij x j ⎪
j =1 ⎪
j ≠i i=1,2,...nx i =⎝ii 。4. 若||x-x||
(0) 若k
19. 插值多项式的误差估计：
20. 反幂法的基本思想：设A 为n ×n 阶非奇异矩阵，λ，μ为A 的特征值与相应的特征向量，
-1则A 的特征值是A 的特征值的倒数，而相应的特征向量不变，即A μ=-11
λμ，因此，若
对矩阵A 用幂法，即可计算出A 的按模最大的特征值，其倒数恰为A 的按模最小的特征值。 -1-1
数值计算方法与算法复习资料参考答案
一、概念
1. 相对误差：绝对误差与准确值之比称为相对误差。
2. 矩阵范数：对任意n 阶方阵A ，按一定的规则有一实数与之对应称为矩阵范数。
3. 算子范数：设A 为n 阶方阵，|| ·||是R n 中的向量范数，则||A ||=max ||Ax ||是一种矩阵x ≠θ||x ||范数，称算子范数。
4. 矩阵范数与向量范数的相容性：对任意的n 维向量在，都有||Ax||≦||A|| ||x||称为矩阵范数与向量范数的相容性。
n max max n
5. 1 1-范数：||A||1=||Ax||1=|x i |（向量） ∑|a ij |（矩阵） ||x ||1=∑1≤j ≤n i =1||x ||1=1i =1
max n max max |a |5.2 ∞-范数||A||∞=||Ax||∞=（矩阵） ||x ||={|x i |}（向量）∑ij ∞1≤i ≤n 1≤i ≤n ||x ||∞=1j =1
max 2225.3 2-范数||A||2=||Ax||2=λ1（矩阵） ||x ||2=x 1+x 2+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+x n （向量） ||x ||2=1
6. 误差：计算值与其真实值之差。
7. 有效数字：近似值的一种表示方法，既能表示近似值的大小，又能表示其精确程度。 8. 算法：解题方案的准确而完整的描述，是一系列解决问题的清晰指令，算法代表着用系统的方法描述解决问题的策略机制。也就是说，能够对一定规范的输入，在有限时间内获得所要求的输出。
9. 向量范数：设对任意向量x ∈R ，按一定的规则有一实数与之对应，则称||x||为向量x 的范数。
10. 插值法：是利用函数f (x)在某区间中插入若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。
二、简答题
11. 雅可比（Jacobi ）迭代法是：
12. 高斯消去法的计算量：乘法次数
n -1n ∑(n -k ) (n -k +1) =3(n k =1n -1n 2-1) ，
除法次数∑(n -k ) =
k =1n (n -1) 2
13. 迭代法的误差估计：
14. 高斯消元法的思想是 ：先逐次消去变量，讲方程组化成同解的上三角形方程组，然后按方程相反顺序求解上三角形方程组，得到原方程组的解。
15. 迭代法的基本思想是：构造一串收敛到解的序列，即建立一种从已有近似解计算新的近似解的规则，由不同的计算规则得到不同的迭代法。
16. 数值计算中应注意的问题是：1. 避免两个相近的数相减。2. 避免大数“吃”小数的现象。
3. 避免除数的绝对值远小于被除数的绝对值4. 要简化计算，减少运算次数，提高效率。5. 选用数值稳定性好的算法。
17. 迭代法的收敛条件：对任意初始向量x (0)和右端项g ，由迭代格式
x (k +1) =Mx (k ) +g (k =1, 2, 3⋅⋅⋅⋅⋅)产生的向量序列｛x (k ) ｝收敛的充要条件是ρ(M )
18. 雅可比（Jacobi ）迭代法的计算过程（算法）：1. 输入A =(a ij ), b =(b 1, ⋅⋅⋅, b n ) ，维数n ，
(0) (0) (0) ，ε，最大容许迭代数N 。2. 置k=1。3. 对x (0) =x 1, x 2, ⋅⋅⋅, x n ()
⎛⎫n ⎪(0) b i -∑a ij x j ⎪
j =1 ⎪
j ≠i i=1,2,...nx i =⎝ii 。4. 若||x-x||
(0) 若k
19. 插值多项式的误差估计：
20. 反幂法的基本思想：设A 为n ×n 阶非奇异矩阵，λ，μ为A 的特征值与相应的特征向量，
-1则A 的特征值是A 的特征值的倒数，而相应的特征向量不变，即A μ=-11
λμ，因此，若
对矩阵A 用幂法，即可计算出A 的按模最大的特征值，其倒数恰为A 的按模最小的特征值。 -1-1