一元一次方程的解法

一元一次方程的解法（基础）知识讲解

【要点梳理】

知识点一、解一元一次方程的一般步骤

变形名称

去分母 具体做法 在方程两边都乘以各分母的最小公倍

数 注意事项 (1)不要漏乘不含分母的项 (2)分子是一个整体的，去分母后应加

上括号

(1)不要漏乘括号里的项

(2)不要弄错符号 去括号

移项

合并同类

项

系数化成

1 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 把含有未知数的项都移到方程的一边，(1)移项要变号 其他项都移到方程的另一边(记住移项(2)不要丢项 要变号) 把方程化成ax＝b(a≠0)的形式 在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x字母及其指数不变 b． a不要把分子、分母写颠倒

要点诠释：

（1）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化．

(2) 去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行.

（3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆． 知识点二、解特殊的一元一次方程

1.含绝对值的一元一次方程

解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程，化去绝对值的依据是绝对值的意义．

要点诠释：此类问题一般先把方程化为axbc的形式，分类讨论：

(1)当c0时，无解；（2）当c0时，原方程化为：axb0；（3）当c0时，原方程可化为：axbc或axbc.

2.含字母的一元一次方程

此类方程一般先化为一元一次方程的最简形式ax＝b，再分三种情况分类讨论：

（1）当a≠0时，x

方程无解．

【典型例题】 b；（2）当a＝0，b＝0时，x为任意有理数；（3）当a＝0，b≠0时，a

类型一、解较简单的一元一次方程

1．解下列方程

(1)43mm (2)-5x+6+7x＝1+2x-3+8x 5

举一反三：

【变式】下列方程变形正确的是( )．

A．由2x-3＝-x-4，得2x+x＝-4-3

B．由x+3＝2-4x，得5x＝5

C．由23x，得x＝-1 32

D．由3＝x-2，得-x＝-2-3

类型二、去括号解一元一次方程

2．解方程：

122x110x7232x12x3

【思路点拨】方程中含有括号，应先去括号再移项、合并、系数化为1，从而解出方程．

【答案与解析】（1）去括号得：4x210x7

移项合并得：6x5

解得：x5 6

（2）去括号得：32x22x6

移项合并得：4x7 7解得：x 4

【点评】去括号时，要注意括号前面的符号，括号前面是“+”号，不变号；括号前面是“-”，各项均变号．

举一反三：

【变式】（四川乐山）解方程： 5(x-5)+2x＝-4．

【答案】解： 去括号得：5x-25+2x＝-4

移项合并得： 7x＝21

解得： x＝3．

类型三、解含分母的一元一次方程

3．解方程：4x34x34x31． 623

【答案与解析】

解法1：去分母，得(4x+3)+3(4x+3)+2(4x+3)＝6，

去括号，得4x+3+12x+9+8x+6＝6．

移项合并，得24x＝-12，

系数化为1，得x1． 2

解法2：将“4x+3”看作整体，直接合并，得6(4x+3)＝6，即4x+3＝1，

移项，得4x＝-2，

系数化为1，得x1． 2

【点评】对于解法l：(1)去分母时，“1”不要漏乘分母的最小公倍数“6”；(2)注意适时添括号3(4x+3)防止3×4x+3．对于解法2：先将“4x+3”看作一个整体来解，最后求x．

举一反三： 【变式】x22x5x11 346

【答案】解：去分母得：4(x2)3(2x5)2(x1)12

去括号得：4x86x152x212

合并同类项，得：4x9

9． 4

类型四、解较复杂的一元一次方程

系数化为1，得x

4．解方程：x0.170.2x1 0.70.03

10x1720x1． 73【思路点拨】先将方程中的小数化成整数，再去分母，这样可避免小数运算带来的失误． 【答案与解析】原方程可以化成：

去分母，得：30x-7(17-20x)＝21．

去括号、移项、合并同类项，得：170x＝140．

系数化成1，得：x14． 17

【点评】解此题的第一步是利用分数基本性质把分母、分子同时扩大相同的倍数，以使分母化整，与去分母方程两边都乘以分母的最小公倍数，要区分开．

5. 解方程：[x1

212(x1)](x1) 23

【答案与解析】

11122(xx)x 22233

11122 再去中括号得：xxx 24433

511x 移项，合并得：1212

11 系数化为1，得：x 5

14解法2：两边均乘以2，去中括号得：x(x1)(x1) 23

51111 去小括号，并移项合并得：x，解得：x 566

112解法3：原方程可化为：[(x1)1(x1)](x1) 223

1112 去中括号，得(x1)(x1)(x1) 2243解法1：先去小括号得：

移项、合并，得

解得x51(x1) 12211 5

【点评】解含有括号的一元一次方程时，一般方法是由里到外或由外到内逐层去括号，但有时根据方程的结构特点，灵活恰当地去括号，以使计算简便．例如本题的方法3：方程左、右两边都含(x-1)，因此将方程左边括号内的一项x变为(x-1)后，把(x-1)视为一个整体运算．

举一反三： 【变式】[(1)2]x2

【答案】 32x234

32x2 2

3去小括号，移项合并得：x6，解得x＝-8 4

类型五、解含绝对值的方程

解：去中括号得：(1)

6．解方程|x|-2＝0

【答案与解析】 解：原方程可化为：x2

当x≥0时，得x=2，

当x＜0时，得-x=2，即，x＝-2．

所以原方程的解是x＝2或x＝-2．

【点评】此类问题一般先把方程化为axb的形式，再根据ax的正负分类讨论，注意不要漏解． x4

一元一次方程的解法（基础）知识讲解

【要点梳理】

知识点一、解一元一次方程的一般步骤

变形名称

去分母 具体做法 在方程两边都乘以各分母的最小公倍

数 注意事项 (1)不要漏乘不含分母的项 (2)分子是一个整体的，去分母后应加

上括号

(1)不要漏乘括号里的项

(2)不要弄错符号 去括号

移项

合并同类

项

系数化成

1 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 把含有未知数的项都移到方程的一边，(1)移项要变号 其他项都移到方程的另一边(记住移项(2)不要丢项 要变号) 把方程化成ax＝b(a≠0)的形式 在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x字母及其指数不变 b． a不要把分子、分母写颠倒

要点诠释：

（1）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化．

(2) 去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行.

（3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆． 知识点二、解特殊的一元一次方程

1.含绝对值的一元一次方程

解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程，化去绝对值的依据是绝对值的意义．

要点诠释：此类问题一般先把方程化为axbc的形式，分类讨论：

(1)当c0时，无解；（2）当c0时，原方程化为：axb0；（3）当c0时，原方程可化为：axbc或axbc.

2.含字母的一元一次方程

此类方程一般先化为一元一次方程的最简形式ax＝b，再分三种情况分类讨论：

（1）当a≠0时，x

方程无解．

【典型例题】 b；（2）当a＝0，b＝0时，x为任意有理数；（3）当a＝0，b≠0时，a

类型一、解较简单的一元一次方程

1．解下列方程

(1)43mm (2)-5x+6+7x＝1+2x-3+8x 5

举一反三：

【变式】下列方程变形正确的是( )．

A．由2x-3＝-x-4，得2x+x＝-4-3

B．由x+3＝2-4x，得5x＝5

C．由23x，得x＝-1 32

D．由3＝x-2，得-x＝-2-3

类型二、去括号解一元一次方程

2．解方程：

122x110x7232x12x3

【思路点拨】方程中含有括号，应先去括号再移项、合并、系数化为1，从而解出方程．

【答案与解析】（1）去括号得：4x210x7

移项合并得：6x5

解得：x5 6

（2）去括号得：32x22x6

移项合并得：4x7 7解得：x 4

【点评】去括号时，要注意括号前面的符号，括号前面是“+”号，不变号；括号前面是“-”，各项均变号．

举一反三：

【变式】（四川乐山）解方程： 5(x-5)+2x＝-4．

【答案】解： 去括号得：5x-25+2x＝-4

移项合并得： 7x＝21

解得： x＝3．

类型三、解含分母的一元一次方程

3．解方程：4x34x34x31． 623

【答案与解析】

解法1：去分母，得(4x+3)+3(4x+3)+2(4x+3)＝6，

去括号，得4x+3+12x+9+8x+6＝6．

移项合并，得24x＝-12，

系数化为1，得x1． 2

解法2：将“4x+3”看作整体，直接合并，得6(4x+3)＝6，即4x+3＝1，

移项，得4x＝-2，

系数化为1，得x1． 2

【点评】对于解法l：(1)去分母时，“1”不要漏乘分母的最小公倍数“6”；(2)注意适时添括号3(4x+3)防止3×4x+3．对于解法2：先将“4x+3”看作一个整体来解，最后求x．

举一反三： 【变式】x22x5x11 346

【答案】解：去分母得：4(x2)3(2x5)2(x1)12

去括号得：4x86x152x212

合并同类项，得：4x9

9． 4

类型四、解较复杂的一元一次方程

系数化为1，得x

4．解方程：x0.170.2x1 0.70.03

10x1720x1． 73【思路点拨】先将方程中的小数化成整数，再去分母，这样可避免小数运算带来的失误． 【答案与解析】原方程可以化成：

去分母，得：30x-7(17-20x)＝21．

去括号、移项、合并同类项，得：170x＝140．

系数化成1，得：x14． 17

【点评】解此题的第一步是利用分数基本性质把分母、分子同时扩大相同的倍数，以使分母化整，与去分母方程两边都乘以分母的最小公倍数，要区分开．

5. 解方程：[x1

212(x1)](x1) 23

【答案与解析】

11122(xx)x 22233

11122 再去中括号得：xxx 24433

511x 移项，合并得：1212

11 系数化为1，得：x 5

14解法2：两边均乘以2，去中括号得：x(x1)(x1) 23

51111 去小括号，并移项合并得：x，解得：x 566

112解法3：原方程可化为：[(x1)1(x1)](x1) 223

1112 去中括号，得(x1)(x1)(x1) 2243解法1：先去小括号得：

移项、合并，得

解得x51(x1) 12211 5

【点评】解含有括号的一元一次方程时，一般方法是由里到外或由外到内逐层去括号，但有时根据方程的结构特点，灵活恰当地去括号，以使计算简便．例如本题的方法3：方程左、右两边都含(x-1)，因此将方程左边括号内的一项x变为(x-1)后，把(x-1)视为一个整体运算．

举一反三： 【变式】[(1)2]x2

【答案】 32x234

32x2 2

3去小括号，移项合并得：x6，解得x＝-8 4

类型五、解含绝对值的方程

解：去中括号得：(1)

6．解方程|x|-2＝0

【答案与解析】 解：原方程可化为：x2

当x≥0时，得x=2，

当x＜0时，得-x=2，即，x＝-2．

所以原方程的解是x＝2或x＝-2．

【点评】此类问题一般先把方程化为axb的形式，再根据ax的正负分类讨论，注意不要漏解． x4