翠峰山隧道衬砌设计
5.1 概述
隧道洞身的衬砌结构根据隧道围岩地质条件、施工条件和使用要求大致可以分为以下几种类型：喷锚衬砌、整体式衬砌和复合式衬砌。规范规定，高速公路的隧道应采用复合式衬砌。隧道衬砌设计应综合考虑地质条件、断面形状、支护结构、施工条件等，并应充分利用围岩的自承能力。衬砌应有足够的强度和稳定性，保证隧道长期安全使用。
注：1、隧道高度h=内轮廓线高度+衬砌厚度+预留变形量；
2、隧道跨度b=内轮廓线宽度+衬砌厚度+预留变形量。
5.2深埋衬砌内力计算
5.2.1深、浅埋的判断
隧道进、出口段埋深较浅，需按浅埋隧道进行设计。 由明洞计算可知：
h q =0. 45⨯2S -1[1+i (B -5)]
（5.1）
式中：s —围岩的级别，取s =4；
B —隧道宽度
i —以B =5.0m的垂直均布压力增减率，因B =11.8m>5m，所以i =0.1。
带入数据得：
h q =6.264
对于Ⅳ级围岩: H p =2.5h q =2.5⨯6.264=15.66 深埋：h ＞H p ； 浅埋：h q ＜h ≤H p ； 超浅埋：h ≤h q 。 5.2.2围岩压力计算
基本参数：围岩为Ⅳ级，容重γ=20kN /m 3，围岩的弹性抗力系数K =0.5⨯106
kN /m 3，衬砌材料为C25钢筋混凝土，弹性模量E h =2.95⨯107KPa 。 1、围岩垂直均布压力
根据《公路隧道设计规范》(JTG D70-2004) 的有关计算公式及已知的围岩参数，代入公式：
q =0.45⨯2S -1⨯γ⨯ω
（5.2）
式中： S —围岩的级别，取S=4；
γ—围岩容重，根据基本参数γ=23 KN/m3； ω—宽度影响系数，由式ω=1+i(B-5)=1.76计算； B —隧道宽度，B=2⨯（5.7+0.5+0.5）=12.4m；
i —以B=5.0m的垂直均布压力增减率。因B=12.6m>5m,所以i=0.1。 所以围岩竖向荷载： q =0.45⨯24-1⨯20⨯1.74=125.28KN /m 2 2、围岩水平均布压力
5 e =0. 2q （5.3）
式中：Ⅳ类围岩压力的均布水平力e =(0.15~0.3)q ，这里取值0.25 代入数据得：
2
5125. =28K 3N 1. 3m 2 0. 2⨯
/
5.2.3衬砌几何要素
计算图示如下
q
12
3
4
5
6
7
R 7
8
R 图5.1 衬砌结构计算图示
1、衬砌几何尺寸
内轮廓线半径:r 1=5. 70m , r 2=8. 20m ； 拱轴线半径：r 1' =5.95m ，r 2' =8.45m ；
拱顶截面厚度d 0=0.5m ,拱底截面厚度d n =0.5m。
外轮廓线半径：R 1=5.70+0.5=6.2m ，R 2=8.20+0.5=8.7m ； 拱轴线各段圆弧中心角：θ1=90︒，θ2=14.1169︒。
2、半拱轴线长度S 及分段轴长△S
90︒
πr =⨯3.14⨯5.95=9.3415m S 1=︒︒
180180
θ1
'
1
14.1169︒
πr 2=⨯3.14⨯8.45=2.081m S 2=︒︒
180180
θ2
'
半拱轴线长度
S =S 1+S 2=9.3415+2.081=11.4225m 将半拱轴长度等分为8段，则 ∆S =
S 11.4225==1.4278m 88
3、各分块截面中心几何要素 （1）与竖直轴的夹角αi
由于所要平均分配的弧长均在同一圆周上，因此，各弧段对应的圆心角也是相等的，即： α1=∆θ1=
∆S 180︒180︒
⨯=1.4278÷5.95⨯=13.75555︒ ()r 1' ππ
α2=α1+∆θ1=13.75555︒+13.75555︒=27.5111︒ α3=α2+∆θ1=41.26665︒ α4=α3+∆θ1=55.0222︒ α5=α4+∆θ1=68.77775︒ α6=α5+∆θ1=82.5333︒
s 1=7s -s 1=7⨯1.42775-9.3415=0.65275
7∆S -S 1180︒
α7=90+⨯=94.426︒ '
r 2π
︒
∆S 180︒1.42775180︒
θ2=' ⨯=⨯=9.6921︒
r 2π8.45π α8=θ2+α7=9.6921︒+94.426︒=104.1147︒ 角度闭合差∆≈0。 （2）接缝中心点坐标计算 计算时采用以下计算公式：
x i =r i ' sin αi （5.4）
y i =r i ' ⨯(1-cos αi ) （5.5） x 、y 的计算结果列入“5.2单位位移计算表”。 5.2.4计算位移
1、单位位移
用辛普生法近似计算，按计算列表进行。单位位移的计算见表5.4。
δ11=⎰
s
M 1∆s 1-8-6
≈=4.8398⨯10⨯864=41.8159⨯10∑E h E h I
S
δ12=δ21=⎰0 δ22=⎰0
s
M 1M 2∆s y
ds ≈=4.8398⨯10-8⨯2735.2113=132.3787⨯10-6 ∑E h I E h I
M 2∆s y 2
≈=4.8398⨯10-8⨯15200.4832=735.6730⨯10-6 ∑E h E h I
计算精度校核：
δ11+2δ12+δ22=(41.8159+2⨯132.3787+735.6730)⨯10-6=1042.2463⨯10-6
(1+y )=4.8398⨯10-8⨯21536.1370=1042.3059⨯10-6 ∆S
δss =∑
E h I
闭合差：∆≈0
2
注：1.I ——截面惯性矩，I =，b 取单位长度；2. 不考虑轴力的影响。
12
2、载位移——主动荷载在基本结构中引起的位移
竖向力：
Q i =qb i （5.6） 式中: q —围岩竖向压力；
b i —衬砌外缘相邻两截面之间的水平投影长度，可以由附图5.1量得。
b 1=1. 474m 4b 2, =b 5=0. 699m 3b 6, =
m 9≈∑b i =6. 173
1. 3m 89b 4=, 30. 3m 67b 7=, 7
B
=2
1. m 22=63, 4b 0. m 0266
m 0. 9902,
6. 2
水平压力：
E i =eh i
（5.7） 式中:e —围岩水平均布压力；
h i —为衬砌外缘相邻两截面之间的竖直投影长，可以由附图5.1量得。
h 1=0.1779m , h 2=0.5220m , h 3=0.8400m , h 4=1.1062m h 5=1.3094m , h 6=1.439m , h 7=1.4777m , h 8=1.4550m 2≈∑h =8. 327m
i
8. 31m 70
自重力：
G i =d ⨯∆s ⨯γh
（5.8）
式中:d —接缝的衬砌截面厚度；
r h —混凝土的重度。
代入数据得：0.5⨯1.4278⨯25=17.8475kpa
作用在各楔形块上的力均列入表5.5，各集中力均通过相应图形的形心。均由图5-5直接量得，其值见表5-5。各集中力均通过相应图形的形心。 （1）外荷载在基本结构中产生的内力
楔块上各集中力对下一接缝的力臂由图x.1量得，分别记为a q 、a e 、a g 。内力按下式计算： 弯矩：
M 0ip =M 0i -1, p -∆χi ∑(Q +G )-∆y i ∑E -Q aq -G ag -E ae
i -1
i -1
（5.9) 轴力：
（5.10)
式中： Q —各个楔块上竖向力； G —各个楔块上自重力； E —各个楔块上竖向力；
∆x i 、∆y i —相邻两接缝中心点的坐标增值，按下式计算：
-i 1 ∆x i =x i -x
-i 1 ∆y i =y i -y
N 0ip =sin αi ∑(Q +G )-cos αi ∑E
i
i
Q aq 、G ag 、E ae
—各个楔块上竖向力、自重力、竖向力对下一接缝的弯矩。
（5.11)
00
M ip 、N ip 的计算见表5.5及附表5.6
表5.6 载位移
N p
计算表
续上表
基本结构中，主动荷载产生弯矩的校核为： M 8q 0=-q
e 2
B ⎛B ⎫12.8⎛12.8⎫χ-=-125.28⨯5.7703- 8⎪ ⎪=-2074.1181 2⎝4⎭2⎝4⎭
31.32
⨯8.32722=-1085.8998 2
M 08e =-H 2=-
M 08g =-∑G i χ8-χi +a gi
()
=-G 1⨯(χ8-χ1+a g 1)-G 2⨯(χ8-χ2+a g 2)-G 3⨯(χ8-χ3+a g 3)
-G 4(χ8-χ4+a g 4)-G 5(χ8-χ4+a g 5)-G 6(χ8-χ4+a g 5) -G 7⨯(χ8-χ7+a gi )-G 8a g 8
78
⎛⎫
=-G ⨯ 7χ8-∑χi +∑a gi ⎪
i =1i =1⎝⎭
=-17.8475⨯(7⨯5.7703-30.341+3.0129)=-233.1597
M 8p 0=M 8q 0+M 08e +M 08g =-2074.1181-1085.8998-233.1597=-3393.1776
另一方面，从表
5.3中得到 M 8p =-3409.0197
闭合差 ∆=
3409.0197-3393.1776
⨯100%=0.46%
3393.1776
（2）主动荷载位移 计算过程见表5.7。
续上表
∆1p =⎰
s
M M 1M P ∆S
ds ≈∑I E h I E h
0p
=4.8398⨯10-8⨯(-1522420.87)=-0.0737
0p
∆2p =⎰
s
yM M 2M P ∆S
ds ≈∑I E h I E h
=4.8398⨯10-8⨯(-7782788.1)=-0.3767
计算精度校核：
∆1p +∆2p =-357217. 4829-6 另一方面，从表5.7中得到：
1+y )M P 0(∆S
∆sp ==4. 839⨯8-81⨯0(-∑E h I 闭合差∆≈0。
9295-059)=
0. 4498
3、载位移——单位弹性抗力及相应的摩擦力引起的位移
（1）各接缝处的抗力强度
抗力上零点假定在接缝3，α3=41.2665︒=αb ； 最大抗力值假定在接缝5，α5=68.7777︒=αh 。 最大抗力值以上各截面抗力强度按下式计算：
cos 2αb -cos 2αi
σi =σh 22
cos αb -cos αh
（5.12）
式中：
αi 、αb 、αh —分别为i 、b 、h 点所在截面与垂直对称轴的夹角。
查表5.2，算得：
σ3=0, σ4=0.545σh , σ5=σh 。
最大抗力值以下各截面抗力强度按下式计算：
' 2⎫⎛y
σi = 1-i 2⎪σh
y ' ⎪
h ⎭⎝
（5.13）
式中：y i '-所考察截面外缘点到最大抗力截面垂直距离；
'-墙脚外缘点到最大抗力截面垂直距离。 y h
' ' '
由附图5.1中量得：y 6=2.6836m ，y 8=1.4742m ，y 7=3.5862m 。
⎛1.47422⎫⎛2.68362⎫则有：σ8=0 σ6= 1-σ=0.831σh ，σ7= 1-σ=0.44σh ，2⎪h 2⎪h
3.58623.5862⎝⎭⎝⎭按比例将所求得的抗力绘在图5.1上。
（2）各楔块上抗力集中力R i '
按下式近似计算：
⎛σ+σi ⎫
R i ' = i -1⎪∆S i 外
2⎝⎭（5.14）
式中：∆S i 外——楔块i 外缘长度，可以通过量取夹角，用弧长公式求得，R i ' 的方向垂直于衬砌外缘，并通过楔块上抗力图形的形心。 （3）抗力集中力与摩擦力之合力R i 按近似计算:
R i =R i ' +μ2 （5.15）
式中： μ——围岩与衬砌间的摩擦系数。取μ=0.2, 则 R i =R i ' +0. 22=1. 0198R i '
其作用方向与抗力集中力的夹角为β=arctgμ=11.3099°。由于摩擦阻力的方向与衬砌位移方向相反，其方向朝上。画图时，也可取切向：径向=1：5的比例求出合力R i 的方向。R i 的作用点即为R i '与衬砌外缘的交点。
将R i 的方向线延长，使之交于竖直轴，量取夹角ψk (自竖直轴反时针方向量度) ，将R i 分解为水平与竖向两个分力： R V =R i cos ψk
R H =R i sin ψk
（5.16)
式中： R i —抗力集中力与摩擦力的合力； ψk —R i 的延长线与竖直轴的夹角；
R j
—抗力集中力与摩擦力的合力； —
R H 、R V R j
分解的水平与竖直两个分力。
以上计算例入表5.8中， 并参见图5.1。
（4）计算单位抗力图及其相应的摩擦力在基本结构中产生的内力
弯矩 M i 0=-∑R j r ji (5.17)
轴力 N I 0=sin α∑R V -cos α∑R H (5.18)
式中：r ji -力R j 至接缝中心点k i 的力臂，由图5-1上量得
计算见表5.9及表5.10。
0M 表5.9 计算表
表5.10
0N 计算表
续上表 （5）单位抗力及相应摩擦力产生的载位移，计算过程见表5.11。
s
∆1=⎰
M 1M σ0M 0σ∆S
≈=4.8398⨯10-8⨯(-3153.0624)=-0.0001526 ∑E h I E h I M 2M σ0yM 0σ∆S ≈=4.8398⨯10-8⨯(-21853.3163)=-0.001057 ∑E h I E h I
∆2=⎰
s
校核∆1+∆2=-0.0001526-0.001057=-0.0012096
∆s (1+y )M σ=-4.8398⨯10-8⨯24971.4146=-0.0012086 ∆S =∑I E h
闭合差∆≈0。
4、墙底（弹性地基上的刚性梁）位移 （1）单位弯矩作用下的转角：
196-6
==192⨯106
kI 80.5⨯10
a =
（2）主动荷载作用下的转角：
00-6
βα=-666051.7824⨯10-6 p =M 8p βa =-3409.0197⨯192⨯10
（3）单位抗力及相应摩擦力作用下的转角：
0-6-6
βa 0=M 8σβa =-16.1117⨯192⨯10=-3093.4464⨯10
5.2.5解力法方程
衬砌矢高： f =y 8=8.0109m
a 11=δ11+a =(41.8159+192)⨯10-6=233.8159⨯10-6
a 12=δ12+f a =(132.3787+8.0109⨯192)⨯10-6=1670.4715⨯10-6
2
a 22=δ22+f
a =(735.673+8.01092⨯192)⨯10-6=13057.1806⨯10-6
00a 10=∆1p +βap +∆1+βa ⨯σh ()
=-(739751.7824+3246.0464σh )⨯10-6
00
a 20=∆2p +f βap +∆2+f βa ⨯σh ()
=-(5712374.2236+25838.2898σh )⨯10-6
以上将单位抗力及相应摩擦力产生的位移乘以 求解方程为： X 1=
=
σh
，即为被动荷载的载位移。
a 22a 10-a 12a 20
2
a 12-a 11a 22
13057.1806⨯-739751.7824-3246.0464σh -1670.4715⨯(-5712374.2236-25838.2898σh )
1670.4715-233.8159⨯13057.1806
()
-532σ. h 9 =455. 00 6
式中：X 1p =445.0053，X 1=-2.9635 X 2=
=
a 11a 20-a 12a 10
2
a 12-a 11a 22
233.8159⨯-5712374.2236-25838.2898σh -1670.4715⨯-739751.7824-3246.0464σh
1670.4715-233.8159⨯13057.1806
()(
)
=380.6062+2.3580σh
式中：X 2p =380.6062，X 1=2.3580
5.2.6计算主动荷载和被动荷载分别产生的衬砌内力
计算公式为： M p =X 1p +yX 2p +M p
0 N p =X 2p ⨯cos φ+N P
(5.19) 式中：
X 1p 、X 2p
—多余未知力；
ϕi —i 点所在截面与垂直对称轴的夹角； y i —接缝中心点的坐标；
00
M ip 、N ip
—基本结构因外荷载作用在任一截面i 处产生的弯矩和剪力。
M 1=X 1+yX 2+M σ
0 N 1=X 2⨯cos φ+N σ
(5.20) 式中：
X 1、X 20
M i 0N i —多余未知力；
—单位抗力在基本结构中产生的弯矩和剪力。
计算过程列入表5.12和表5.13中。
5.2.7计算最大抗力值
由式： δhp ≅
∆s (y h -y ) M p
∑ E I ∆s (y h -y ) M σ
∑ E I
δh σ≅(5.21)
并考虑接缝5的径向位移与水平方向有一定的偏离，因此将其修正如下：
δhp =δ5p =
∆s (y 5-y i ) M p
∑s i n ϕ5 E I
δh σ=δ5σ=(5.22)
∆s (y 5-y i ) M σ
∑s i n ϕ5 E I
式中： ∆s —半拱轴线等分为8段，每段轴长；
M p 、M —主、被动荷载作用下衬砌弯矩；
I —截面惯性矩； E —混凝土弹性模量。
计算过程列入表5.14。
位移值为：
δhp =4.8398⨯10-8⨯254788.2958⨯0.9322=11495.1856⨯10-6
δh σ=-4.8398⨯10-8⨯1930.2959⨯0.9322=-87.0884⨯10-6
则可得最大抗力：
σh =
δhp
1
-δh σk
11495.1856⨯10-6
==129.0312
1-6
+87.0884⨯106
0.5⨯10
5.2.8计算衬砌总内力
按下式进行计算： M =M p +σh M
N =N p +σh N (5.23) 式中：
M ip 、N ip
—主动荷载作用下的衬砌内力；
σh —最大抗力；
计算过程列入表5.15。
M i N i —单位抗力作用下的衬砌内力。
根据拱顶切开点之相对转角和相对水平位移应为零的条件来检查。
(5.24)
式中：
∆S M
∑I +βa =0 E h
∆S M -8-6
=-4.8398⨯10⨯5394.0768=-201.0625⨯10∑E h I
βa =M 8a =1.0485⨯192⨯10-6=201.3120⨯10-6
201.3120-201.0625
⨯100%=0.12%
201.3120
闭合差： ∆=
∆S M
∑I +βa =0 E h
(5.25)
式中：
∆S M
=-4.8398⨯10-8⨯22823.9142=-1611.6318⨯10-6 ∑E h I
f βa =M 8a =8.0109⨯201.3120⨯10-6=1612.6903⨯10-6 闭合差： ∆=
-1611.6318
⨯100%=0.0656%
1612.6903
5.2.9内力图
将内力计算结果按比例尺绘制弯矩图M 及轴力图N ，如图5.2所示。
图5.2 衬砌结构内力图
5.3 深埋衬砌截面强度验算
衬砌截面（深埋）需要验算的截面有拱顶截面、最大负弯矩截面、最大正弯矩截面、拱脚截面、最大轴力截面。由于最大负弯矩出现在拱顶，最大正弯矩出现拱脚，因此本设计中明洞衬砌需要进行验算的截面有，拱顶截面、拱脚截面、最大轴力截面。
可用到公式有：
e =ηe 0+
h
-a （5.26） 2
h
-a ' （5.27） 2
e '=ηe 0+
x ⎫⎛
'e ')=R w bx e -h 0+⎪ R g (A g e +A g （5.28）
2⎝⎭
' A A
式中：e 、e —钢筋g 或g 的重心至轴向力作用点的距离（
m)
'
e 0—偏心距；
h —截面厚度； a 、a —自钢筋
'
A g
或
A g '
的重心分别至截面最近边缘的距离（m ）；
R w —混凝土弯曲抗压极限强度标准值；
R g
—钢筋的抗拉或抗压计算强度标准值；
x —混凝土受压区的高度（m ）； b —截面宽度。 5.3.1拱顶截面（0截面）强度验算
'，b =1m ，h =0.5m 其中：b 为截面宽度，h 为截面厚 1、根据构造配筋A g =A g
度。
2、偏心距计算
e 0=
M
=0.0914m
此构件为偏心受压构件，应考虑偏心距增大系数的影响，按偏心构件对其进行
验算。
3、假定为大偏心构件
对于隧道衬砌、明洞拱圈和墙背紧密回填的明洞边墙，可取偏心距增大系数
η=1。
4、在弯矩作用平面的强度验算
构件所受弯距为正弯距，下侧受拉，根据配筋图，纵向受力钢筋采用HRB335, 面积
A g =2463
mm2／m ，钢筋直径28 mm 。箍筋选10mm 。混凝土强度等级采用C25,
R g =335
混凝土保护层厚度取40mm ，经查规范抗拉强度标准值分别为MPa ，
R ＇R =18. 5MPa g =268 MPa。混凝土强度标准值为ω
a =40+
2828
=54mm ，a ＇=40+=54mm 。 22
由公式（5.19）可计算出e =1⨯91.4+250-54=287.4mm 由公式（5.20）可以算出e ＇=1⨯91.4-250+54=-104.6mm
N 作用于A g 和A ＇g 中心之间时由公式（5.21）得
x
335⨯(2463⨯287.4-2463⨯104.6) =18.5⨯1000x (287.4-446+)
2
解得 x =362.2168mm
而ξb h ︒=0.55h 0=245.3mm ，x ＞ξb h ︒。且2a '=108mm, x ＞2a '。则为小偏心受压构件，构件破坏为混凝土受压破坏，故K =2.0，截面承载力验算按下式计算：
2
'(h 0-a ') （5.29） KNe ≤0. 5R a bh 0+R g A g
左边=2.0⨯684.8618⨯0.2874=393.6586KN ⋅m
右边=0.5⨯14.8⨯1000⨯4462+335⨯2463⨯392=1795.4196KN ⋅m 左边＜右边
'重心之间，故还应满足下式： 由于N 作用在钢筋A g 与钢筋A g
KN e '≤0. 5R a bh 0+R g A g (h 0-a ) （5.30）
2
由于e ＞e ' ，a =a '，故上式满足 5、在垂直于弯距作用平面内的强度验算
l ︒=11.4697m ，H =0.5⨯l ︒=0.5⨯11.4697=5.7349m
长细比
H 5.73675
==11.4697，经查规范ϕ=0.9736。则： h 0.5
'A g ')≥KN N u =0. 9ϕ(R ωA +R g
=0.9⨯0.9736⨯(550000⨯18.5+268⨯2463)×10-3 =9143.077KN
K ·N =2.0⨯684.8618=1369.7236KN
N u ＞K ·N
所以强度验算合格。 6、裂缝宽度验算
由于e =η⨯e 0=1⨯91.4=91.4mm ＜0.55h 0=223mm ，故可不进行裂缝宽度验算。 5.3.2拱脚截面（8截面）强度验算
'，b =1m ，h =0.5m 其中：b 为截面宽度，h 为截面 1、根据构造配筋A g =A g 厚度。
2、偏心距计算
e 0=
M
=0.0011m
此构件为偏心受压构件，应考虑偏心距增大系数的影响，按偏心构件对其进行
验算。
3、假定为大偏心构件
对于隧道衬砌、明洞拱圈和墙背紧密回填的明洞边墙，可取偏心距增大系数
η=1。
4、在弯矩作用平面的强度验算
构件所受弯距为正弯距，下侧受拉，根据配筋图，纵向受力钢筋采用HRB335, 面积A g =2463mm 2／m ，钢筋直径28 mm 。箍筋选10mm 。混凝土强度等级采用C25, 混凝土保护层厚度取40mm ，经查规范抗拉强度标准值分别为R g =335MPa ，
R ＇g =268 MPa 。混凝土强度标准值为混凝土强度标准值为R w =18. 5Mpa
a =40+
2828
=54mm ，a ＇=40+=54mm 。 22
由公式（5.19）可计算出e =1⨯1.1+250-54=197.1mm 由公式（5.20）可以算出e ＇=1⨯1.1-250+54=-194.9mm
N 作用于A g 和A ＇g 中心之间时由公式（5.21）得
x
335⨯(2463⨯197.1-2463⨯194.9) =18.5⨯1000x (197.1-446+)
2
解得x =548.9375mm
而ξb h ︒=0.55h 0=245.3mm , x ＞ξb h ︒。且2a '=108mm, x ＞2a '。则为小偏心受压构件，构件破坏为混凝土受压破坏，故K =2.0，截面承载力验算按下式计算：
'(h 0-a ') KNe ≤0. 5R a bh 02+R g A g （5.31） 式中：
R g
—钢筋的抗拉或抗压计算强度标准值；
b —截面宽度；
h —截面厚度；
A g —钢筋截面面积。
左边=2.0⨯956.2916⨯197.1=376.97KN ⋅m
右边=0.5⨯14.8⨯1000⨯4462+335⨯2463⨯392=1795.4196KN ⋅m 左边＜右边
'重心之间，故还应满足下式： 由于N 作用在钢筋A g 与钢筋A g
KN e '≤0. 5R a bh 0+R g A g (h 0-a )
2
由于e ＞e ' ，a =a '，故上式满足 5、在垂直于弯距作用平面内的强度验算
l ︒=11.4697m ，H =0.5⨯l ︒=0.5⨯11.4697=5.7349m
长细比
H 5.73675
==11.4697，经查规范ϕ=0.9736。则： h 0.55
'A g ')≥KN N u =0. 9ϕ(R ωA +R g
=0.9⨯0.9736⨯(550000⨯18.5+268⨯2463)×10-3
=9143.077KN K ·N =2.0⨯956.2916=1912.5832KN
N u ＞K ·N
所以强度验算合格。
6、裂缝宽度验算
由于e =η⨯e 0=1⨯1.1=1.1mm ＜0.55h 0=245.3mm ，故可不进行裂缝宽度验算。
5.4浅埋衬砌内力计算
5.4.1围岩压力计算 1、围岩竖向压力
根据《公路隧道设计规范》(JTG D70-2004)的有关计算公式及已知的围岩参数
代入公式： q 浅=（5.32）
式中：γ——围岩容重，取γ=20 KN/m3；
Q 浅⎛H ⎫
=rH 1-λtan θ⎪⎪B t ⎝B t ⎭
H ——隧道埋深取2.5hq ； Bt ——坑道宽度； λ——为侧压力系数 tan β=tan ϕc +（5.33）
式中：ϕc ——围岩计算摩擦角取60°；
θ取0.9ϕ代入上式得。
tan
ϕc +1tan ϕc
tan ϕc -tan θ
2
tan β=tan 60︒+
tan 60︒+1tan 60︒=4. 052
2
tan 60︒-tan 54︒
侧压力系数:
λ=
t a n β-t a n ϕc
t a n β1+t a n βt a n ϕc -t a n θ+t a n ϕc t a n θ4. 052-1. 7321
+1. 732⨯0. 62184. 0521+4. 0521. 732-0. 6128
=
=0.082
所以围岩竖向荷载：
⎛H ⎫Q
⎪ q i =i =rH 1-λtan θ ⎪B t ⎝B t ⎭
⎛2.5⨯3.264⎫
=20⨯2.5⨯6.264⨯ 1-⨯0.082⨯1.3764⎪
12.4⎝⎭
=268.5573Kpa 2、水平侧压力为：
e 1=γH λ=25.6824kpa ; e 2=γh λ=38.4744kpa ;
计算中为了安全考虑，都采用较大值
e 2。
5.4.2衬砌几何要素 计算图示如下
q
12
3
4
5
6
7
R 7
8
R 图5.3 衬砌结构计算图示
1、衬砌几何尺寸
内轮廓线半径:r 1=5. 70m , r 2=8. 20m ； 拱轴线半径：r 1' =5.95m ，r 2' =8.45m ；
拱顶截面厚度d 0=0.5m ,拱底截面厚度d n =0.5m。
外轮廓线半径：R 1=5.70+0.5=6.2m ，R 2=8.20+0.5=8.7m ； 拱轴线各段圆弧中心角：θ1=90︒，θ2=14.1169︒。 2、半拱轴线长度S 及分段轴长△S
90︒
πr =⨯π⨯5.95=9.3415m S 1=︒︒
180180
θ1
'
1
14.1169︒
πr 2=⨯π⨯8.45=2.0810m S 2=︒︒
180180
θ2
'
半拱轴线长度
S =S 1+S 2=9.3415+2.081=11.1422m 将半拱轴长度等分为8段，则
∆S =
S 11.1422==1.4278m 88
3、各分块截面中心几何要素 （1）与竖直轴的夹角αi
由于所要平均分配的弧长均在同一圆周上，因此，各弧段对应的圆心角也是相等的，即：
∆S 180︒180︒
α1=∆θ1=' ⨯=(1.4278÷5.95)⨯=13.75555︒
r 1ππ α2=α1+∆θ1=13.75555︒+13.75555︒=27.5111︒ α3=α2+∆θ1=41.26665︒ α4=α3+∆θ1=55.0222︒ α5=α4+∆θ1=68.77775︒ α6=α5+∆θ1=82.5333︒
s 1=7s -s 1=7⨯1.42775-9.3415=0.65275
7∆S -S 1180︒
α7=90+⨯=94.426︒ '
r 2π
︒
∆S 180︒1.42775180︒
θ2=' ⨯=⨯=9.6921︒
r 2π8.45π α8=θ2+α7=9.6921︒+94.426︒=104.1147︒ 角度闭合差∆≈0。 （2）接缝中心点坐标计算 计算时采用以下计算公式：
x i =r i ' sin αi y i =r i ' ⨯(1-cos αi )
x、y 的计算结果列入“5.2单位位移计算表”。 5.4.3计算位移 1、单位位移
用辛普生法近似计算，将计算列表进行。单位位移的计算见表5.16。
δ11=⎰
s
M 1∆s 1≈=4.8398⨯10-8⨯864=41.8159⨯10-6 ∑E h E h I
δ12=δ21=⎰0 δ22=⎰0
s
S
M 1M 2∆s y
ds ≈=4.8398⨯10-8⨯2735.2113=132.3787⨯10-6 ∑E h I E h I
M 2∆s y 2
≈=4.8398⨯10-8⨯15200.4832=735.6730⨯10-6 ∑E h E h I
注：1.I ——截面惯性矩，I =，b 取单位长度；2. 不考虑轴力的影响。
12
计算精度校核：
δ11+2δ12+δ22=(41.8159+2⨯132.3787+735.6730)⨯10-6=1042.2463⨯10-6
(1+y )=4.8398⨯10-8⨯21536.1370=1042.3059⨯10-6 ∆S
δss =∑
E h I
闭合差：∆≈0
2、载位移——主动荷载在基本结构中引起的位移
竖
向力
2
Q i =qb i
（5.34）
式中: q —围岩竖向压力；
b i
—衬砌外缘相邻两截面之间的水平投影长度。
由附图x.1量得。
b 1=1.4744m , b 2=1.3894m , b 3=1.2263m , b 4=0.9902m , b 5=0.6993m , b 6=0.3677m , b 7=0.0266m
m 9≈∑b i =6. 173
B
=2
6. 2
水平压力 E i =eh i （5.35） 式中: e —水平侧压力；
h i
—为衬砌外缘相邻两截面之间的竖直投影长，可以由附图x.1量得。
h 1=0.1779m , h 2=0.5220m , h 3=0.8400m , h 4=1.1062m h 5=1.3094m , h 6=1.439m , h 7=1.4777m , h 8=1.4550m
2≈∑h =8. 327m
i
8. 31m 7 0
自重力 G i =d ⨯∆s ⨯γh （5.36） 式中:d -接缝的衬砌截面厚度；
r h -混凝土的重度。 代入数据得：
0.5⨯1.4278⨯25=17.8475kpa
作用在各楔形块上的力均列入表x.1，各集中力均通过相应图形的形心。均由
图x.1直接量得，其值见表x.1。各集中力均通过相应图形的形心。 （1）外荷载在基本结构中产生的内力
楔块上各集中力对下一接缝的力臂由图x.1量得，分别记为a q 、a e 、a g 。内力按下式计算之： 弯矩：
M 0ip =M 0i -1, p -∆χi ∑(Q +G )-∆y i ∑E -Q aq -G ag -E ae
i -1
i -1
（5.37) 轴力：
N 0ip =sin αi ∑(Q +G )-cos αi ∑E
i
i
（5.38)
式中： Q —各个楔块上竖向力；
G —各个楔块上自重力； E —各个楔块上竖向力；
Q aq 、G ag 、E ae
—各个楔块上竖向力、自重力、竖向力对下一接缝的弯矩。
∆x i 、∆y i —相邻两接缝中心点的坐标增值，按下式计算：
∆x i =x i -x -i 1
∆y i =y i -y i -1
（5.39)
00
M ip 、N ip 的计算见表5.17及附表5.18
续上表
表5.18 载位移
N p
计算表
基本结构中，主动荷载产生弯矩的校核为：
B B ⎫12.4⎛12.4⎫
M 8q 0=-q ⎛χ-=-268.5573⨯5.7703- 8⎪ ⎪=-4446.1971
2⎝
4⎭
2⎝
4⎭
M 08e =-H 2=-
e 238.4744
⨯8.32722=-1333.9509 2
M 08g =-∑G i χ8-χi +a gi
()
=-G 1⨯(χ8-χ1+a g 1)-G 2⨯(χ8-χ2+a g 2)-G 3⨯(χ8-χ3+a g 3)
-G 4(χ8-χ4+a g 4)-G 5(χ8-χ4+a g 5)-G 6(χ8-χ4+a g 5) -G 7⨯(χ8-χ7+a gi )-G 8a g 8
78
⎛⎫
=-G ⨯ 7χ8-∑χi +∑a gi ⎪
i =1i =1⎝⎭
=-233.1597
M 8p 0=M 8q 0+M 08e +M 08g =-4446.1971-1333.9509-233.1597=-6013.3077
另一方面，从表
5.17中得到 M 8p =-6015.2578
闭合差：
∆=
6013.3077-6015.2578
⨯100%=0.31%
6013.3077
（2）主动荷载位移
计算过程见表5.19
0p
8
=4. 839⨯8-1⨯0(-
∆1p =⎰
s
M M 1M P ∆S
≈∑I E h I E h
2895629. -664 0. 1401)=
∆2p =⎰
s
yM M 2M P ∆S
≈∑I E h I E h
0p
=-0. 7021
计算精度校核：
∆1p +∆2p =-0.1401-0.7021=-0.8622
另一方面，从表5.19中得到：
(1+y )M P =4.8398⨯10-8⨯-17402516.4722=-0.8422 ∆S ∆sp =()∑I
E h
闭合差∆≈0。
3、载位移——单位弹性抗力及相应的摩擦力引起的位移 （1）各接缝处的抗力强度
抗力上零点假定在接缝3，α3=41.2665︒=αb ；
最大抗力值假定在接缝5，α5=68.7777︒=αh 。 最大抗力值以上各截面抗力强度按下式计算：
cos 2αb -cos 2αi
σh σi =
cos 2αb -cos 2αh
（5.40）
查附表5.2，算得：
σ3=0, σ4=0.545σh , σ5=σh 。
最大抗力值以下各截面抗力强度按下式计算：
' 2⎫⎛y
σi = 1-i 2⎪σh
y ' ⎪
h ⎭⎝
（5.41）
式中：y i '-所考察截面外缘点到最大抗力截面垂直距离；
'-墙脚外缘点到最大抗力截面垂直距离。 y h
' ' '
=1.4742m ，y 7由附图5-1中量得：y 6=2.6836m ，y 8=3.5862m 。
⎛1.47422⎫⎛2.68362⎫
则有：σ6= 1-σ=0.8310σh ，σ7= 1-σ=0.44σh ，2⎪h 2⎪h
3.58623.5862⎝⎭⎝⎭
σ8=0
按比例将所求得的抗力绘在图5.1上。
（2）各楔块上抗力集中力R i '
按下式近似计算：
⎛σ+σi ⎫
R i ' = i -1⎪∆S i 外
2⎝⎭（5.42）
式中： ∆S i 外—楔块i 外缘长度，可以通过量取夹角，用弧长公式求得，R i ' 的方向垂直于衬砌外缘，并通过楔块上抗力图形的形心。
σi 、σi -1—最大抗力值以上各截面抗力强度。
（3）抗力集中力与摩擦力之合力R i
按近似计算: R i =R i ' +μ2 （5.43）
式中： μ——围岩与衬砌间的摩擦系数, 取μ=0.2。 则 R i =R i ' +0. 22=1. 0198R i '
其作用方向与抗力集中力的夹角为β=arctgμ=11.3099°。由于摩擦阻力的方向与衬砌位移方向相反，其方向朝上。画图时，也可取切向：径向=1：5的比例求出合力R i 的方向。R i 的作用点即为R i '与衬砌外缘的交点。
将R i 的方向线延长，使之交于竖直轴，量取夹角ψk (自竖直轴反时针方向量度) ，将R i 分解为水平与竖向两个分力： R V =R i cos ψk
R H =R i sin ψk
（5.44)
式中：R i —抗力集中力与摩擦力的合力； ψk —R i 的延长线与竖直轴的夹角。
R j
—抗力集中力与摩擦力的合力； —
R H 、R V R j
分解的水平与竖直两个分力。
以上计算例入表5.20中， 并参见图5.1。
（4）计算单位抗力图及其相应的摩擦力在基本结构中产生的内力
弯矩 M i
0=-∑R j r ji (5.55) 轴力 (5.56)
式中：r ji -力R j 至接缝中心点k i 的力臂，有图上量得
计算见表5.21及表5.22。
M 表5.21 计算表
N I 0=sin α∑R V -cos α∑R H
表5.22
0N 计算表
（5）单位抗力及相应摩擦力产生的载位移，计算过程见表5.23。
校核∆1s
∆1=⎰
M 1M σ0M 0σ∆S
≈=4.8398⨯10-8⨯(-3153.0624)=-0.0001526 ∑E h I E h I M 2M σ0yM 0σ∆S ≈=4.8398⨯10-8⨯(-21853.3163)=-0.001057 ∑E h I E h I
∆2=⎰
s
+∆2=-0.0001526-0.001057=-0.0012096
∆s 0
1+y )M σ(∆S
==-4.8398⨯10-8⨯24971.4146=-0.0012086 ∑E h I
闭合差∆≈0。
4. 墙底（弹性地基上的刚性梁）位移 （1）单位弯矩作用下的转角： a =
196-6
==192⨯106
kI 80.5⨯10
（2）主动荷载作用下的转角：
00-6
βα=-1191409.4976⨯10-6 p =M 8p a =-6205.2578⨯192⨯10
（3）单位抗力及相应摩擦力作用下的转角：
0-6-6 βa 0=M 8 =-16.1117⨯192⨯10=-3093.4464⨯10σa
5.4.4解力法方程
衬砌矢高： f =y 8=8.0109m
a 11=δ11+βa =(41.8159+192)⨯10-6=233.8159⨯10-6
a 12=δ12+f a =(132.3787+8.0109⨯192)⨯10-6=1670.4715⨯10-6
2
a 22=δ22+f
a =(735.673+8.01092⨯192)⨯10-6=13057.1806⨯10-6
00
a 10=∆1p +βap +∆+βa ⨯σh ()
=-(1331552.1821+3246.0464σh )⨯10-6
00a 20=∆2p +f βap +∆2+f βa ⨯σh ()
=-(10246366.652+25838.2898σh )⨯10-6
以上将单位抗力及相应摩擦力产生的位移乘以 求解方程为： X 1=
=
σh
，即为被动荷载的载位移。
a 22a 10-a 12a 20
2
a 12-a 11a 22
13057.1806⨯-1331552.1821-3246.0464σh -1670.4715⨯(-10246366.652-2538.2898σh )
1670.4715-233.8159⨯13057.1806
()
=1028.7711-2.9635σh
式中：X 1p =1028.7711，X 1=-2.9635 X 2=
=
a 11a 20-a 12a 10
2
a 12-a 11a 22
233.8159⨯-10246366.652-25838.2898σh -1670.4715⨯-1331552.1821-3246.0464σh
1670.4715-233.8159⨯13057.1806
()(
)
=653.1145+2.3580σh
式中：X 2p =653.1145，X =2.3580
5.4.5计算主动荷载和被动荷载分别产生的衬砌内力
计算公式为： M p =X 1p +yX 2p +M p
N p =X 2p ⨯cos φ+N P
(5.57)
0 M 1=X 1+yX 2+M σ
0 N 1=X 2⨯cos φ+N σ
(5.58)
计算过程列入表5.24和表5.25中。
5.4.6计算最大抗力值
参照王毅才主编的《隧道工程》第七章—隧道结构计算：
由式： δhp ≅
∆s (y h -y ) M p
∑ E I
δh σ≅
（5.59）
∆s (y h -y ) M σ
∑E I
并考虑接缝5的径向位移与水平方向有一定的偏离，因此将其修正如下：
δhp =δ5p =
∆s (y 5-y i ) M p
∑sin ϕ5 E I
∆s (y 5-y i ) M σ
∑sin ϕ5 E I
δh σ=δ5σ=
（5.60）
计算过程列入表5.26。
位移值为： δhp =4.8398⨯10-8⨯592120.508⨯0.9322=26714.4733⨯10-6
δh σ=4.8398⨯10-8⨯1930.2959⨯0.9322=-87.0884⨯10-6
δhp
-δh σk
26714.4733⨯10-6
==299.8648
-6
+87.0884⨯100.5⨯10
则可得最大抗力：σh =
计算过程列入表5.27。
续上表
根据拱顶切开点之相对转角和相对水平位移应为零的条件来检查。
(5.61) 式中：
∆S M
∑I +βa =0 E h
∆S M
=-4.8398⨯10-8⨯5587.8240=-270.4395⨯10-6 ∑E h I
βa =M 8a =1.4105⨯192⨯10-6=270.8213⨯10-6
270.8213-270.4395
⨯100%=0.14% 闭合差： ∆=
270.8213
(5.62)
∆S M
+f βa =0
∑E h I
∆S yM
=-4.8398⨯10-8⨯24256.0777=-2165.9283⨯10-6 ∑E h I
f βa =8.0109⨯270.8213⨯10-6=2169.5223⨯10-6
闭合差： ∆=
5.4.7内力图
2169.5223-2165.9283
⨯100%=0.1656%
2169.5223
将内力计算结果按比例尺绘制弯矩图M 及轴力图N ，如图5.4所示。
图5.4 衬砌结构内力图
5.5浅埋衬砌截面强度验算
衬砌截面（浅埋）需要验算的截面有拱顶截面、最大负弯矩截面、最大正弯矩
截面、拱脚截面、最大轴力截面。由于最大负弯矩出现在拱顶，最大正弯矩出现拱脚，因此本设计中明洞衬砌需要进行验算的截面有，拱顶截面、拱脚截面、最大轴力截面。 可用到公式有：
h
e =ηe 0+-a （5.63）
2
e '=ηe 0+
h
-a ' （5.64） 2
x ⎫⎛
'e ')=R w bx e -h 0+⎪ （5.65） R g (A g e +A g
2⎭⎝
5.5.1拱顶截面（0截面）强度验算
'，b =1m ，h =0.5m 其中：b 为截面宽度，h 为截面厚 1、根据构造配筋A g =A g 度。
2、偏心距计算
M
=0.103m ＜0.45h =0.45⨯0.5=0.225m N
此构件为偏心受压构件，应考虑偏心距增大系数的影响，按偏心构件对其进行
e 0=
验算。
3、假定为大偏心构件
对于隧道衬砌、明洞拱圈和墙背紧密回填的明洞边墙，可取偏心距增大系数
η=1
4、在弯矩作用平面的强度验算
构件所受弯距为正弯距，下侧受拉，根据配筋图，纵向受力钢筋采用HRB335,
面积A g =2463mm
2
，钢筋直径28 mm 。箍筋选10mm 。混凝土强度等级采用
C25, 混凝土保护层厚度取40mm ，经查规范抗拉强度标准值分别为R g =335MPa ， MPa ，混凝土强度标准值为R ω=18.5MPa R ＇g =268
2828
=54mm ，a ＇=40+=54mm 。 22
由公式（5.43）可计算出e =1⨯103+250-54=299mm
a =40+
由公式（5.44）可以算出e =1⨯103-250+54=-93mm
＇
N 作用于A g 和A ＇g 中心之间时由公式（5.44）得
x
335⨯(2463⨯299-2463⨯93) =18.5⨯1000x (299-446+)
2
0m 8 解得 x =346. 96m
而ξb h ︒=0.55h 0=245.3mm ，x ＞ξb h ︒。且2a '=108mm , x ＞2a '。则为小偏心受压构件，构件破坏为混凝土受压破坏，故K =2.0，截面承载力验算按下式计算：
'(h 0-a ') KNe ≤0. 5R a bh 02+R g A g （5.66）
左边=2.0⨯1360.1957⨯0.299=813.3970KN ⋅m
右边=0.5⨯14.8⨯1000⨯4462+335⨯2463⨯392=1795.4196KN ⋅m 左边＜右边
'重心之间，故还应满足下式： 由于N 作用在钢筋A g 与钢筋A g
KN e '≤0. 5R a bh 02+R g A g (h 0-a )
（5.67）
由于e ＞e ' ，a =a '，故上式满足 5、在垂直于弯距作用平面内的强度验算
l ︒=11.4697m ，H =0.5⨯l ︒=0.5⨯11.4697=5.7349m 长细比
l 05.7342
==11.4697，经查规范ϕ=0.9736。 h 0.5
'A g ')≥KN 则： N u =0. 9ϕ(R ωA +R g
=0.9⨯0.9736⨯(550000⨯18.5+268⨯2463)×10-3
=9143.0770KN
K ·N =2.0⨯1360.1957=2720.3914KN
N u ＞K ·N
所以强度验算合格。 6、裂缝宽度验算
由于e =η⨯e 0=1⨯103=103mm ＜0.5h 0=223mm ，故可不进行裂缝宽度验算。 5.5.2拱脚截面(8截面) 强度验算
'，b =1m ，h =0.5m 其中：b 为截面宽度，h 为截面 1、根据构造配筋A g =A g 厚度。
2、偏心距计算
e 0=
M
=0.0007m
此构件为偏心受压构件，应考虑偏心距增大系数的影响，按偏心构件对其进行验算。
3、假定为大偏心构件
对于隧道衬砌、明洞拱圈和墙背紧密回填的明洞边墙，可取偏心距增大系数
η=1。
4、在弯矩作用平面的强度验算
构件所受弯距为正弯距，下侧受拉，根据配筋图，纵向受力钢筋采用HRB335, 面积A g =2463mm2／m ，钢筋直径28 mm。箍筋选10mm 。混凝土强度等级采用C25, 混凝土保护层厚度取40mm ，经查规范抗拉强度标准值分别为R g =335MPa ，
R ＇g =268 MPa ，混凝土强度标准值为R ω=18.5MPa 。
2828
=54mm ，a ＇=40+=54mm 。 22
由公式（5.43）可计算出e =1⨯0.7+250-54=196.7mm
a =40+
由公式（5.44）可以算出e =1⨯0.7-250+54=-195.3mm
＇
N 作用于A g 和A ＇g 中心之间时由公式（5.44）得
x
335⨯(2463⨯196.7-2463⨯195.3) =18.5⨯1000x (196.7-446+)
2
0m 3 解得 x =498. 85m
而ξb h ︒=0.55h 0=245.3mm ，x ＞ξb h ︒。且2a '=108mm , x ＞2a '。则为小偏心受压构件，构件破坏为混凝土受压破坏，故K =2.0，截面承载力验算按下式计算：
'(h 0-a ') KNe ≤0. 5R a bh 02+R g A g
（5.68）
左边=2.0⨯1892.2749⨯196.7=744.42KN ⋅m
右边=0.5⨯14.8⨯1000⨯4462+335⨯2463⨯392=1795.4196KN ⋅m 左边＜右边
'重心之间，故还应满足下式： 由于N 作用在钢筋A g 与钢筋A g
KN e '≤0. 5R a bh 02+R g A g (h 0-a )
（5.69）
由于e ＞e ' ，a =a '，故上式满足 5、在垂直于弯距作用平面内的强度验算
l ︒=11.4697m ，H =0.5⨯l ︒=0.5⨯11.4697=5.7349m 长细比
H 5.7349==11.4697，经查规范ϕ=0.9736。 h 0.5
'A g ')≥KN 则：N u =0. 9ϕ(R ωA +R g
=0.9⨯0.9736⨯(550000⨯18.5+268⨯2463)×10-3 =9143.077KN
N =2.0⨯1892.2749=3784.5498KN K ·
N u ＞K ·N 所以强度验算合格。 6、裂缝宽度验算
由于e =η⨯e 0=1⨯0.7=0.7mm ＜0.55h 0=245.3mm ，故可不进行裂缝宽度验算。
5.6本章小结
本章系统的进行了衬砌计算，包括荷载的计算、衬砌内力计算、衬砌验算。分别分了超浅埋、浅埋、深埋进行计算和验算，并都符合了要求。分别绘制了内力图等，更直观更具体。计算量再次加大，并进行闭合验算，使结果更加准确。特别要注意细心，欲速则不达。
翠峰山隧道衬砌设计
5.1 概述
隧道洞身的衬砌结构根据隧道围岩地质条件、施工条件和使用要求大致可以分为以下几种类型：喷锚衬砌、整体式衬砌和复合式衬砌。规范规定，高速公路的隧道应采用复合式衬砌。隧道衬砌设计应综合考虑地质条件、断面形状、支护结构、施工条件等，并应充分利用围岩的自承能力。衬砌应有足够的强度和稳定性，保证隧道长期安全使用。
注：1、隧道高度h=内轮廓线高度+衬砌厚度+预留变形量；
2、隧道跨度b=内轮廓线宽度+衬砌厚度+预留变形量。
5.2深埋衬砌内力计算
5.2.1深、浅埋的判断
隧道进、出口段埋深较浅，需按浅埋隧道进行设计。 由明洞计算可知：
h q =0. 45⨯2S -1[1+i (B -5)]
（5.1）
式中：s —围岩的级别，取s =4；
B —隧道宽度
i —以B =5.0m的垂直均布压力增减率，因B =11.8m>5m，所以i =0.1。
带入数据得：
h q =6.264
对于Ⅳ级围岩: H p =2.5h q =2.5⨯6.264=15.66 深埋：h ＞H p ； 浅埋：h q ＜h ≤H p ； 超浅埋：h ≤h q 。 5.2.2围岩压力计算
基本参数：围岩为Ⅳ级，容重γ=20kN /m 3，围岩的弹性抗力系数K =0.5⨯106
kN /m 3，衬砌材料为C25钢筋混凝土，弹性模量E h =2.95⨯107KPa 。 1、围岩垂直均布压力
根据《公路隧道设计规范》(JTG D70-2004) 的有关计算公式及已知的围岩参数，代入公式：
q =0.45⨯2S -1⨯γ⨯ω
（5.2）
式中： S —围岩的级别，取S=4；
γ—围岩容重，根据基本参数γ=23 KN/m3； ω—宽度影响系数，由式ω=1+i(B-5)=1.76计算； B —隧道宽度，B=2⨯（5.7+0.5+0.5）=12.4m；
i —以B=5.0m的垂直均布压力增减率。因B=12.6m>5m,所以i=0.1。 所以围岩竖向荷载： q =0.45⨯24-1⨯20⨯1.74=125.28KN /m 2 2、围岩水平均布压力
5 e =0. 2q （5.3）
式中：Ⅳ类围岩压力的均布水平力e =(0.15~0.3)q ，这里取值0.25 代入数据得：
2
5125. =28K 3N 1. 3m 2 0. 2⨯
/
5.2.3衬砌几何要素
计算图示如下
q
12
3
4
5
6
7
R 7
8
R 图5.1 衬砌结构计算图示
1、衬砌几何尺寸
内轮廓线半径:r 1=5. 70m , r 2=8. 20m ； 拱轴线半径：r 1' =5.95m ，r 2' =8.45m ；
拱顶截面厚度d 0=0.5m ,拱底截面厚度d n =0.5m。
外轮廓线半径：R 1=5.70+0.5=6.2m ，R 2=8.20+0.5=8.7m ； 拱轴线各段圆弧中心角：θ1=90︒，θ2=14.1169︒。
2、半拱轴线长度S 及分段轴长△S
90︒
πr =⨯3.14⨯5.95=9.3415m S 1=︒︒
180180
θ1
'
1
14.1169︒
πr 2=⨯3.14⨯8.45=2.081m S 2=︒︒
180180
θ2
'
半拱轴线长度
S =S 1+S 2=9.3415+2.081=11.4225m 将半拱轴长度等分为8段，则 ∆S =
S 11.4225==1.4278m 88
3、各分块截面中心几何要素 （1）与竖直轴的夹角αi
由于所要平均分配的弧长均在同一圆周上，因此，各弧段对应的圆心角也是相等的，即： α1=∆θ1=
∆S 180︒180︒
⨯=1.4278÷5.95⨯=13.75555︒ ()r 1' ππ
α2=α1+∆θ1=13.75555︒+13.75555︒=27.5111︒ α3=α2+∆θ1=41.26665︒ α4=α3+∆θ1=55.0222︒ α5=α4+∆θ1=68.77775︒ α6=α5+∆θ1=82.5333︒
s 1=7s -s 1=7⨯1.42775-9.3415=0.65275
7∆S -S 1180︒
α7=90+⨯=94.426︒ '
r 2π
︒
∆S 180︒1.42775180︒
θ2=' ⨯=⨯=9.6921︒
r 2π8.45π α8=θ2+α7=9.6921︒+94.426︒=104.1147︒ 角度闭合差∆≈0。 （2）接缝中心点坐标计算 计算时采用以下计算公式：
x i =r i ' sin αi （5.4）
y i =r i ' ⨯(1-cos αi ) （5.5） x 、y 的计算结果列入“5.2单位位移计算表”。 5.2.4计算位移
1、单位位移
用辛普生法近似计算，按计算列表进行。单位位移的计算见表5.4。
δ11=⎰
s
M 1∆s 1-8-6
≈=4.8398⨯10⨯864=41.8159⨯10∑E h E h I
S
δ12=δ21=⎰0 δ22=⎰0
s
M 1M 2∆s y
ds ≈=4.8398⨯10-8⨯2735.2113=132.3787⨯10-6 ∑E h I E h I
M 2∆s y 2
≈=4.8398⨯10-8⨯15200.4832=735.6730⨯10-6 ∑E h E h I
计算精度校核：
δ11+2δ12+δ22=(41.8159+2⨯132.3787+735.6730)⨯10-6=1042.2463⨯10-6
(1+y )=4.8398⨯10-8⨯21536.1370=1042.3059⨯10-6 ∆S
δss =∑
E h I
闭合差：∆≈0
2
注：1.I ——截面惯性矩，I =，b 取单位长度；2. 不考虑轴力的影响。
12
2、载位移——主动荷载在基本结构中引起的位移
竖向力：
Q i =qb i （5.6） 式中: q —围岩竖向压力；
b i —衬砌外缘相邻两截面之间的水平投影长度，可以由附图5.1量得。
b 1=1. 474m 4b 2, =b 5=0. 699m 3b 6, =
m 9≈∑b i =6. 173
1. 3m 89b 4=, 30. 3m 67b 7=, 7
B
=2
1. m 22=63, 4b 0. m 0266
m 0. 9902,
6. 2
水平压力：
E i =eh i
（5.7） 式中:e —围岩水平均布压力；
h i —为衬砌外缘相邻两截面之间的竖直投影长，可以由附图5.1量得。
h 1=0.1779m , h 2=0.5220m , h 3=0.8400m , h 4=1.1062m h 5=1.3094m , h 6=1.439m , h 7=1.4777m , h 8=1.4550m 2≈∑h =8. 327m
i
8. 31m 70
自重力：
G i =d ⨯∆s ⨯γh
（5.8）
式中:d —接缝的衬砌截面厚度；
r h —混凝土的重度。
代入数据得：0.5⨯1.4278⨯25=17.8475kpa
作用在各楔形块上的力均列入表5.5，各集中力均通过相应图形的形心。均由图5-5直接量得，其值见表5-5。各集中力均通过相应图形的形心。 （1）外荷载在基本结构中产生的内力
楔块上各集中力对下一接缝的力臂由图x.1量得，分别记为a q 、a e 、a g 。内力按下式计算： 弯矩：
M 0ip =M 0i -1, p -∆χi ∑(Q +G )-∆y i ∑E -Q aq -G ag -E ae
i -1
i -1
（5.9) 轴力：
（5.10)
式中： Q —各个楔块上竖向力； G —各个楔块上自重力； E —各个楔块上竖向力；
∆x i 、∆y i —相邻两接缝中心点的坐标增值，按下式计算：
-i 1 ∆x i =x i -x
-i 1 ∆y i =y i -y
N 0ip =sin αi ∑(Q +G )-cos αi ∑E
i
i
Q aq 、G ag 、E ae
—各个楔块上竖向力、自重力、竖向力对下一接缝的弯矩。
（5.11)
00
M ip 、N ip 的计算见表5.5及附表5.6
表5.6 载位移
N p
计算表
续上表
基本结构中，主动荷载产生弯矩的校核为： M 8q 0=-q
e 2
B ⎛B ⎫12.8⎛12.8⎫χ-=-125.28⨯5.7703- 8⎪ ⎪=-2074.1181 2⎝4⎭2⎝4⎭
31.32
⨯8.32722=-1085.8998 2
M 08e =-H 2=-
M 08g =-∑G i χ8-χi +a gi
()
=-G 1⨯(χ8-χ1+a g 1)-G 2⨯(χ8-χ2+a g 2)-G 3⨯(χ8-χ3+a g 3)
-G 4(χ8-χ4+a g 4)-G 5(χ8-χ4+a g 5)-G 6(χ8-χ4+a g 5) -G 7⨯(χ8-χ7+a gi )-G 8a g 8
78
⎛⎫
=-G ⨯ 7χ8-∑χi +∑a gi ⎪
i =1i =1⎝⎭
=-17.8475⨯(7⨯5.7703-30.341+3.0129)=-233.1597
M 8p 0=M 8q 0+M 08e +M 08g =-2074.1181-1085.8998-233.1597=-3393.1776
另一方面，从表
5.3中得到 M 8p =-3409.0197
闭合差 ∆=
3409.0197-3393.1776
⨯100%=0.46%
3393.1776
（2）主动荷载位移 计算过程见表5.7。
续上表
∆1p =⎰
s
M M 1M P ∆S
ds ≈∑I E h I E h
0p
=4.8398⨯10-8⨯(-1522420.87)=-0.0737
0p
∆2p =⎰
s
yM M 2M P ∆S
ds ≈∑I E h I E h
=4.8398⨯10-8⨯(-7782788.1)=-0.3767
计算精度校核：
∆1p +∆2p =-357217. 4829-6 另一方面，从表5.7中得到：
1+y )M P 0(∆S
∆sp ==4. 839⨯8-81⨯0(-∑E h I 闭合差∆≈0。
9295-059)=
0. 4498
3、载位移——单位弹性抗力及相应的摩擦力引起的位移
（1）各接缝处的抗力强度
抗力上零点假定在接缝3，α3=41.2665︒=αb ； 最大抗力值假定在接缝5，α5=68.7777︒=αh 。 最大抗力值以上各截面抗力强度按下式计算：
cos 2αb -cos 2αi
σi =σh 22
cos αb -cos αh
（5.12）
式中：
αi 、αb 、αh —分别为i 、b 、h 点所在截面与垂直对称轴的夹角。
查表5.2，算得：
σ3=0, σ4=0.545σh , σ5=σh 。
最大抗力值以下各截面抗力强度按下式计算：
' 2⎫⎛y
σi = 1-i 2⎪σh
y ' ⎪
h ⎭⎝
（5.13）
式中：y i '-所考察截面外缘点到最大抗力截面垂直距离；
'-墙脚外缘点到最大抗力截面垂直距离。 y h
' ' '
由附图5.1中量得：y 6=2.6836m ，y 8=1.4742m ，y 7=3.5862m 。
⎛1.47422⎫⎛2.68362⎫则有：σ8=0 σ6= 1-σ=0.831σh ，σ7= 1-σ=0.44σh ，2⎪h 2⎪h
3.58623.5862⎝⎭⎝⎭按比例将所求得的抗力绘在图5.1上。
（2）各楔块上抗力集中力R i '
按下式近似计算：
⎛σ+σi ⎫
R i ' = i -1⎪∆S i 外
2⎝⎭（5.14）
式中：∆S i 外——楔块i 外缘长度，可以通过量取夹角，用弧长公式求得，R i ' 的方向垂直于衬砌外缘，并通过楔块上抗力图形的形心。 （3）抗力集中力与摩擦力之合力R i 按近似计算:
R i =R i ' +μ2 （5.15）
式中： μ——围岩与衬砌间的摩擦系数。取μ=0.2, 则 R i =R i ' +0. 22=1. 0198R i '
其作用方向与抗力集中力的夹角为β=arctgμ=11.3099°。由于摩擦阻力的方向与衬砌位移方向相反，其方向朝上。画图时，也可取切向：径向=1：5的比例求出合力R i 的方向。R i 的作用点即为R i '与衬砌外缘的交点。
将R i 的方向线延长，使之交于竖直轴，量取夹角ψk (自竖直轴反时针方向量度) ，将R i 分解为水平与竖向两个分力： R V =R i cos ψk
R H =R i sin ψk
（5.16)
式中： R i —抗力集中力与摩擦力的合力； ψk —R i 的延长线与竖直轴的夹角；
R j
—抗力集中力与摩擦力的合力； —
R H 、R V R j
分解的水平与竖直两个分力。
以上计算例入表5.8中， 并参见图5.1。
（4）计算单位抗力图及其相应的摩擦力在基本结构中产生的内力
弯矩 M i 0=-∑R j r ji (5.17)
轴力 N I 0=sin α∑R V -cos α∑R H (5.18)
式中：r ji -力R j 至接缝中心点k i 的力臂，由图5-1上量得
计算见表5.9及表5.10。
0M 表5.9 计算表
表5.10
0N 计算表
续上表 （5）单位抗力及相应摩擦力产生的载位移，计算过程见表5.11。
s
∆1=⎰
M 1M σ0M 0σ∆S
≈=4.8398⨯10-8⨯(-3153.0624)=-0.0001526 ∑E h I E h I M 2M σ0yM 0σ∆S ≈=4.8398⨯10-8⨯(-21853.3163)=-0.001057 ∑E h I E h I
∆2=⎰
s
校核∆1+∆2=-0.0001526-0.001057=-0.0012096
∆s (1+y )M σ=-4.8398⨯10-8⨯24971.4146=-0.0012086 ∆S =∑I E h
闭合差∆≈0。
4、墙底（弹性地基上的刚性梁）位移 （1）单位弯矩作用下的转角：
196-6
==192⨯106
kI 80.5⨯10
a =
（2）主动荷载作用下的转角：
00-6
βα=-666051.7824⨯10-6 p =M 8p βa =-3409.0197⨯192⨯10
（3）单位抗力及相应摩擦力作用下的转角：
0-6-6
βa 0=M 8σβa =-16.1117⨯192⨯10=-3093.4464⨯10
5.2.5解力法方程
衬砌矢高： f =y 8=8.0109m
a 11=δ11+a =(41.8159+192)⨯10-6=233.8159⨯10-6
a 12=δ12+f a =(132.3787+8.0109⨯192)⨯10-6=1670.4715⨯10-6
2
a 22=δ22+f
a =(735.673+8.01092⨯192)⨯10-6=13057.1806⨯10-6
00a 10=∆1p +βap +∆1+βa ⨯σh ()
=-(739751.7824+3246.0464σh )⨯10-6
00
a 20=∆2p +f βap +∆2+f βa ⨯σh ()
=-(5712374.2236+25838.2898σh )⨯10-6
以上将单位抗力及相应摩擦力产生的位移乘以 求解方程为： X 1=
=
σh
，即为被动荷载的载位移。
a 22a 10-a 12a 20
2
a 12-a 11a 22
13057.1806⨯-739751.7824-3246.0464σh -1670.4715⨯(-5712374.2236-25838.2898σh )
1670.4715-233.8159⨯13057.1806
()
-532σ. h 9 =455. 00 6
式中：X 1p =445.0053，X 1=-2.9635 X 2=
=
a 11a 20-a 12a 10
2
a 12-a 11a 22
233.8159⨯-5712374.2236-25838.2898σh -1670.4715⨯-739751.7824-3246.0464σh
1670.4715-233.8159⨯13057.1806
()(
)
=380.6062+2.3580σh
式中：X 2p =380.6062，X 1=2.3580
5.2.6计算主动荷载和被动荷载分别产生的衬砌内力
计算公式为： M p =X 1p +yX 2p +M p
0 N p =X 2p ⨯cos φ+N P
(5.19) 式中：
X 1p 、X 2p
—多余未知力；
ϕi —i 点所在截面与垂直对称轴的夹角； y i —接缝中心点的坐标；
00
M ip 、N ip
—基本结构因外荷载作用在任一截面i 处产生的弯矩和剪力。
M 1=X 1+yX 2+M σ
0 N 1=X 2⨯cos φ+N σ
(5.20) 式中：
X 1、X 20
M i 0N i —多余未知力；
—单位抗力在基本结构中产生的弯矩和剪力。
计算过程列入表5.12和表5.13中。
5.2.7计算最大抗力值
由式： δhp ≅
∆s (y h -y ) M p
∑ E I ∆s (y h -y ) M σ
∑ E I
δh σ≅(5.21)
并考虑接缝5的径向位移与水平方向有一定的偏离，因此将其修正如下：
δhp =δ5p =
∆s (y 5-y i ) M p
∑s i n ϕ5 E I
δh σ=δ5σ=(5.22)
∆s (y 5-y i ) M σ
∑s i n ϕ5 E I
式中： ∆s —半拱轴线等分为8段，每段轴长；
M p 、M —主、被动荷载作用下衬砌弯矩；
I —截面惯性矩； E —混凝土弹性模量。
计算过程列入表5.14。
位移值为：
δhp =4.8398⨯10-8⨯254788.2958⨯0.9322=11495.1856⨯10-6
δh σ=-4.8398⨯10-8⨯1930.2959⨯0.9322=-87.0884⨯10-6
则可得最大抗力：
σh =
δhp
1
-δh σk
11495.1856⨯10-6
==129.0312
1-6
+87.0884⨯106
0.5⨯10
5.2.8计算衬砌总内力
按下式进行计算： M =M p +σh M
N =N p +σh N (5.23) 式中：
M ip 、N ip
—主动荷载作用下的衬砌内力；
σh —最大抗力；
计算过程列入表5.15。
M i N i —单位抗力作用下的衬砌内力。
根据拱顶切开点之相对转角和相对水平位移应为零的条件来检查。
(5.24)
式中：
∆S M
∑I +βa =0 E h
∆S M -8-6
=-4.8398⨯10⨯5394.0768=-201.0625⨯10∑E h I
βa =M 8a =1.0485⨯192⨯10-6=201.3120⨯10-6
201.3120-201.0625
⨯100%=0.12%
201.3120
闭合差： ∆=
∆S M
∑I +βa =0 E h
(5.25)
式中：
∆S M
=-4.8398⨯10-8⨯22823.9142=-1611.6318⨯10-6 ∑E h I
f βa =M 8a =8.0109⨯201.3120⨯10-6=1612.6903⨯10-6 闭合差： ∆=
-1611.6318
⨯100%=0.0656%
1612.6903
5.2.9内力图
将内力计算结果按比例尺绘制弯矩图M 及轴力图N ，如图5.2所示。
图5.2 衬砌结构内力图
5.3 深埋衬砌截面强度验算
衬砌截面（深埋）需要验算的截面有拱顶截面、最大负弯矩截面、最大正弯矩截面、拱脚截面、最大轴力截面。由于最大负弯矩出现在拱顶，最大正弯矩出现拱脚，因此本设计中明洞衬砌需要进行验算的截面有，拱顶截面、拱脚截面、最大轴力截面。
可用到公式有：
e =ηe 0+
h
-a （5.26） 2
h
-a ' （5.27） 2
e '=ηe 0+
x ⎫⎛
'e ')=R w bx e -h 0+⎪ R g (A g e +A g （5.28）
2⎝⎭
' A A
式中：e 、e —钢筋g 或g 的重心至轴向力作用点的距离（
m)
'
e 0—偏心距；
h —截面厚度； a 、a —自钢筋
'
A g
或
A g '
的重心分别至截面最近边缘的距离（m ）；
R w —混凝土弯曲抗压极限强度标准值；
R g
—钢筋的抗拉或抗压计算强度标准值；
x —混凝土受压区的高度（m ）； b —截面宽度。 5.3.1拱顶截面（0截面）强度验算
'，b =1m ，h =0.5m 其中：b 为截面宽度，h 为截面厚 1、根据构造配筋A g =A g
度。
2、偏心距计算
e 0=
M
=0.0914m
此构件为偏心受压构件，应考虑偏心距增大系数的影响，按偏心构件对其进行
验算。
3、假定为大偏心构件
对于隧道衬砌、明洞拱圈和墙背紧密回填的明洞边墙，可取偏心距增大系数
η=1。
4、在弯矩作用平面的强度验算
构件所受弯距为正弯距，下侧受拉，根据配筋图，纵向受力钢筋采用HRB335, 面积
A g =2463
mm2／m ，钢筋直径28 mm 。箍筋选10mm 。混凝土强度等级采用C25,
R g =335
混凝土保护层厚度取40mm ，经查规范抗拉强度标准值分别为MPa ，
R ＇R =18. 5MPa g =268 MPa。混凝土强度标准值为ω
a =40+
2828
=54mm ，a ＇=40+=54mm 。 22
由公式（5.19）可计算出e =1⨯91.4+250-54=287.4mm 由公式（5.20）可以算出e ＇=1⨯91.4-250+54=-104.6mm
N 作用于A g 和A ＇g 中心之间时由公式（5.21）得
x
335⨯(2463⨯287.4-2463⨯104.6) =18.5⨯1000x (287.4-446+)
2
解得 x =362.2168mm
而ξb h ︒=0.55h 0=245.3mm ，x ＞ξb h ︒。且2a '=108mm, x ＞2a '。则为小偏心受压构件，构件破坏为混凝土受压破坏，故K =2.0，截面承载力验算按下式计算：
2
'(h 0-a ') （5.29） KNe ≤0. 5R a bh 0+R g A g
左边=2.0⨯684.8618⨯0.2874=393.6586KN ⋅m
右边=0.5⨯14.8⨯1000⨯4462+335⨯2463⨯392=1795.4196KN ⋅m 左边＜右边
'重心之间，故还应满足下式： 由于N 作用在钢筋A g 与钢筋A g
KN e '≤0. 5R a bh 0+R g A g (h 0-a ) （5.30）
2
由于e ＞e ' ，a =a '，故上式满足 5、在垂直于弯距作用平面内的强度验算
l ︒=11.4697m ，H =0.5⨯l ︒=0.5⨯11.4697=5.7349m
长细比
H 5.73675
==11.4697，经查规范ϕ=0.9736。则： h 0.5
'A g ')≥KN N u =0. 9ϕ(R ωA +R g
=0.9⨯0.9736⨯(550000⨯18.5+268⨯2463)×10-3 =9143.077KN
K ·N =2.0⨯684.8618=1369.7236KN
N u ＞K ·N
所以强度验算合格。 6、裂缝宽度验算
由于e =η⨯e 0=1⨯91.4=91.4mm ＜0.55h 0=223mm ，故可不进行裂缝宽度验算。 5.3.2拱脚截面（8截面）强度验算
'，b =1m ，h =0.5m 其中：b 为截面宽度，h 为截面 1、根据构造配筋A g =A g 厚度。
2、偏心距计算
e 0=
M
=0.0011m
此构件为偏心受压构件，应考虑偏心距增大系数的影响，按偏心构件对其进行
验算。
3、假定为大偏心构件
对于隧道衬砌、明洞拱圈和墙背紧密回填的明洞边墙，可取偏心距增大系数
η=1。
4、在弯矩作用平面的强度验算
构件所受弯距为正弯距，下侧受拉，根据配筋图，纵向受力钢筋采用HRB335, 面积A g =2463mm 2／m ，钢筋直径28 mm 。箍筋选10mm 。混凝土强度等级采用C25, 混凝土保护层厚度取40mm ，经查规范抗拉强度标准值分别为R g =335MPa ，
R ＇g =268 MPa 。混凝土强度标准值为混凝土强度标准值为R w =18. 5Mpa
a =40+
2828
=54mm ，a ＇=40+=54mm 。 22
由公式（5.19）可计算出e =1⨯1.1+250-54=197.1mm 由公式（5.20）可以算出e ＇=1⨯1.1-250+54=-194.9mm
N 作用于A g 和A ＇g 中心之间时由公式（5.21）得
x
335⨯(2463⨯197.1-2463⨯194.9) =18.5⨯1000x (197.1-446+)
2
解得x =548.9375mm
而ξb h ︒=0.55h 0=245.3mm , x ＞ξb h ︒。且2a '=108mm, x ＞2a '。则为小偏心受压构件，构件破坏为混凝土受压破坏，故K =2.0，截面承载力验算按下式计算：
'(h 0-a ') KNe ≤0. 5R a bh 02+R g A g （5.31） 式中：
R g
—钢筋的抗拉或抗压计算强度标准值；
b —截面宽度；
h —截面厚度；
A g —钢筋截面面积。
左边=2.0⨯956.2916⨯197.1=376.97KN ⋅m
右边=0.5⨯14.8⨯1000⨯4462+335⨯2463⨯392=1795.4196KN ⋅m 左边＜右边
'重心之间，故还应满足下式： 由于N 作用在钢筋A g 与钢筋A g
KN e '≤0. 5R a bh 0+R g A g (h 0-a )
2
由于e ＞e ' ，a =a '，故上式满足 5、在垂直于弯距作用平面内的强度验算
l ︒=11.4697m ，H =0.5⨯l ︒=0.5⨯11.4697=5.7349m
长细比
H 5.73675
==11.4697，经查规范ϕ=0.9736。则： h 0.55
'A g ')≥KN N u =0. 9ϕ(R ωA +R g
=0.9⨯0.9736⨯(550000⨯18.5+268⨯2463)×10-3
=9143.077KN K ·N =2.0⨯956.2916=1912.5832KN
N u ＞K ·N
所以强度验算合格。
6、裂缝宽度验算
由于e =η⨯e 0=1⨯1.1=1.1mm ＜0.55h 0=245.3mm ，故可不进行裂缝宽度验算。
5.4浅埋衬砌内力计算
5.4.1围岩压力计算 1、围岩竖向压力
根据《公路隧道设计规范》(JTG D70-2004)的有关计算公式及已知的围岩参数
代入公式： q 浅=（5.32）
式中：γ——围岩容重，取γ=20 KN/m3；
Q 浅⎛H ⎫
=rH 1-λtan θ⎪⎪B t ⎝B t ⎭
H ——隧道埋深取2.5hq ； Bt ——坑道宽度； λ——为侧压力系数 tan β=tan ϕc +（5.33）
式中：ϕc ——围岩计算摩擦角取60°；
θ取0.9ϕ代入上式得。
tan
ϕc +1tan ϕc
tan ϕc -tan θ
2
tan β=tan 60︒+
tan 60︒+1tan 60︒=4. 052
2
tan 60︒-tan 54︒
侧压力系数:
λ=
t a n β-t a n ϕc
t a n β1+t a n βt a n ϕc -t a n θ+t a n ϕc t a n θ4. 052-1. 7321
+1. 732⨯0. 62184. 0521+4. 0521. 732-0. 6128
=
=0.082
所以围岩竖向荷载：
⎛H ⎫Q
⎪ q i =i =rH 1-λtan θ ⎪B t ⎝B t ⎭
⎛2.5⨯3.264⎫
=20⨯2.5⨯6.264⨯ 1-⨯0.082⨯1.3764⎪
12.4⎝⎭
=268.5573Kpa 2、水平侧压力为：
e 1=γH λ=25.6824kpa ; e 2=γh λ=38.4744kpa ;
计算中为了安全考虑，都采用较大值
e 2。
5.4.2衬砌几何要素 计算图示如下
q
12
3
4
5
6
7
R 7
8
R 图5.3 衬砌结构计算图示
1、衬砌几何尺寸
内轮廓线半径:r 1=5. 70m , r 2=8. 20m ； 拱轴线半径：r 1' =5.95m ，r 2' =8.45m ；
拱顶截面厚度d 0=0.5m ,拱底截面厚度d n =0.5m。
外轮廓线半径：R 1=5.70+0.5=6.2m ，R 2=8.20+0.5=8.7m ； 拱轴线各段圆弧中心角：θ1=90︒，θ2=14.1169︒。 2、半拱轴线长度S 及分段轴长△S
90︒
πr =⨯π⨯5.95=9.3415m S 1=︒︒
180180
θ1
'
1
14.1169︒
πr 2=⨯π⨯8.45=2.0810m S 2=︒︒
180180
θ2
'
半拱轴线长度
S =S 1+S 2=9.3415+2.081=11.1422m 将半拱轴长度等分为8段，则
∆S =
S 11.1422==1.4278m 88
3、各分块截面中心几何要素 （1）与竖直轴的夹角αi
由于所要平均分配的弧长均在同一圆周上，因此，各弧段对应的圆心角也是相等的，即：
∆S 180︒180︒
α1=∆θ1=' ⨯=(1.4278÷5.95)⨯=13.75555︒
r 1ππ α2=α1+∆θ1=13.75555︒+13.75555︒=27.5111︒ α3=α2+∆θ1=41.26665︒ α4=α3+∆θ1=55.0222︒ α5=α4+∆θ1=68.77775︒ α6=α5+∆θ1=82.5333︒
s 1=7s -s 1=7⨯1.42775-9.3415=0.65275
7∆S -S 1180︒
α7=90+⨯=94.426︒ '
r 2π
︒
∆S 180︒1.42775180︒
θ2=' ⨯=⨯=9.6921︒
r 2π8.45π α8=θ2+α7=9.6921︒+94.426︒=104.1147︒ 角度闭合差∆≈0。 （2）接缝中心点坐标计算 计算时采用以下计算公式：
x i =r i ' sin αi y i =r i ' ⨯(1-cos αi )
x、y 的计算结果列入“5.2单位位移计算表”。 5.4.3计算位移 1、单位位移
用辛普生法近似计算，将计算列表进行。单位位移的计算见表5.16。
δ11=⎰
s
M 1∆s 1≈=4.8398⨯10-8⨯864=41.8159⨯10-6 ∑E h E h I
δ12=δ21=⎰0 δ22=⎰0
s
S
M 1M 2∆s y
ds ≈=4.8398⨯10-8⨯2735.2113=132.3787⨯10-6 ∑E h I E h I
M 2∆s y 2
≈=4.8398⨯10-8⨯15200.4832=735.6730⨯10-6 ∑E h E h I
注：1.I ——截面惯性矩，I =，b 取单位长度；2. 不考虑轴力的影响。
12
计算精度校核：
δ11+2δ12+δ22=(41.8159+2⨯132.3787+735.6730)⨯10-6=1042.2463⨯10-6
(1+y )=4.8398⨯10-8⨯21536.1370=1042.3059⨯10-6 ∆S
δss =∑
E h I
闭合差：∆≈0
2、载位移——主动荷载在基本结构中引起的位移
竖
向力
2
Q i =qb i
（5.34）
式中: q —围岩竖向压力；
b i
—衬砌外缘相邻两截面之间的水平投影长度。
由附图x.1量得。
b 1=1.4744m , b 2=1.3894m , b 3=1.2263m , b 4=0.9902m , b 5=0.6993m , b 6=0.3677m , b 7=0.0266m
m 9≈∑b i =6. 173
B
=2
6. 2
水平压力 E i =eh i （5.35） 式中: e —水平侧压力；
h i
—为衬砌外缘相邻两截面之间的竖直投影长，可以由附图x.1量得。
h 1=0.1779m , h 2=0.5220m , h 3=0.8400m , h 4=1.1062m h 5=1.3094m , h 6=1.439m , h 7=1.4777m , h 8=1.4550m
2≈∑h =8. 327m
i
8. 31m 7 0
自重力 G i =d ⨯∆s ⨯γh （5.36） 式中:d -接缝的衬砌截面厚度；
r h -混凝土的重度。 代入数据得：
0.5⨯1.4278⨯25=17.8475kpa
作用在各楔形块上的力均列入表x.1，各集中力均通过相应图形的形心。均由
图x.1直接量得，其值见表x.1。各集中力均通过相应图形的形心。 （1）外荷载在基本结构中产生的内力
楔块上各集中力对下一接缝的力臂由图x.1量得，分别记为a q 、a e 、a g 。内力按下式计算之： 弯矩：
M 0ip =M 0i -1, p -∆χi ∑(Q +G )-∆y i ∑E -Q aq -G ag -E ae
i -1
i -1
（5.37) 轴力：
N 0ip =sin αi ∑(Q +G )-cos αi ∑E
i
i
（5.38)
式中： Q —各个楔块上竖向力；
G —各个楔块上自重力； E —各个楔块上竖向力；
Q aq 、G ag 、E ae
—各个楔块上竖向力、自重力、竖向力对下一接缝的弯矩。
∆x i 、∆y i —相邻两接缝中心点的坐标增值，按下式计算：
∆x i =x i -x -i 1
∆y i =y i -y i -1
（5.39)
00
M ip 、N ip 的计算见表5.17及附表5.18
续上表
表5.18 载位移
N p
计算表
基本结构中，主动荷载产生弯矩的校核为：
B B ⎫12.4⎛12.4⎫
M 8q 0=-q ⎛χ-=-268.5573⨯5.7703- 8⎪ ⎪=-4446.1971
2⎝
4⎭
2⎝
4⎭
M 08e =-H 2=-
e 238.4744
⨯8.32722=-1333.9509 2
M 08g =-∑G i χ8-χi +a gi
()
=-G 1⨯(χ8-χ1+a g 1)-G 2⨯(χ8-χ2+a g 2)-G 3⨯(χ8-χ3+a g 3)
-G 4(χ8-χ4+a g 4)-G 5(χ8-χ4+a g 5)-G 6(χ8-χ4+a g 5) -G 7⨯(χ8-χ7+a gi )-G 8a g 8
78
⎛⎫
=-G ⨯ 7χ8-∑χi +∑a gi ⎪
i =1i =1⎝⎭
=-233.1597
M 8p 0=M 8q 0+M 08e +M 08g =-4446.1971-1333.9509-233.1597=-6013.3077
另一方面，从表
5.17中得到 M 8p =-6015.2578
闭合差：
∆=
6013.3077-6015.2578
⨯100%=0.31%
6013.3077
（2）主动荷载位移
计算过程见表5.19
0p
8
=4. 839⨯8-1⨯0(-
∆1p =⎰
s
M M 1M P ∆S
≈∑I E h I E h
2895629. -664 0. 1401)=
∆2p =⎰
s
yM M 2M P ∆S
≈∑I E h I E h
0p
=-0. 7021
计算精度校核：
∆1p +∆2p =-0.1401-0.7021=-0.8622
另一方面，从表5.19中得到：
(1+y )M P =4.8398⨯10-8⨯-17402516.4722=-0.8422 ∆S ∆sp =()∑I
E h
闭合差∆≈0。
3、载位移——单位弹性抗力及相应的摩擦力引起的位移 （1）各接缝处的抗力强度
抗力上零点假定在接缝3，α3=41.2665︒=αb ；
最大抗力值假定在接缝5，α5=68.7777︒=αh 。 最大抗力值以上各截面抗力强度按下式计算：
cos 2αb -cos 2αi
σh σi =
cos 2αb -cos 2αh
（5.40）
查附表5.2，算得：
σ3=0, σ4=0.545σh , σ5=σh 。
最大抗力值以下各截面抗力强度按下式计算：
' 2⎫⎛y
σi = 1-i 2⎪σh
y ' ⎪
h ⎭⎝
（5.41）
式中：y i '-所考察截面外缘点到最大抗力截面垂直距离；
'-墙脚外缘点到最大抗力截面垂直距离。 y h
' ' '
=1.4742m ，y 7由附图5-1中量得：y 6=2.6836m ，y 8=3.5862m 。
⎛1.47422⎫⎛2.68362⎫
则有：σ6= 1-σ=0.8310σh ，σ7= 1-σ=0.44σh ，2⎪h 2⎪h
3.58623.5862⎝⎭⎝⎭
σ8=0
按比例将所求得的抗力绘在图5.1上。
（2）各楔块上抗力集中力R i '
按下式近似计算：
⎛σ+σi ⎫
R i ' = i -1⎪∆S i 外
2⎝⎭（5.42）
式中： ∆S i 外—楔块i 外缘长度，可以通过量取夹角，用弧长公式求得，R i ' 的方向垂直于衬砌外缘，并通过楔块上抗力图形的形心。
σi 、σi -1—最大抗力值以上各截面抗力强度。
（3）抗力集中力与摩擦力之合力R i
按近似计算: R i =R i ' +μ2 （5.43）
式中： μ——围岩与衬砌间的摩擦系数, 取μ=0.2。 则 R i =R i ' +0. 22=1. 0198R i '
其作用方向与抗力集中力的夹角为β=arctgμ=11.3099°。由于摩擦阻力的方向与衬砌位移方向相反，其方向朝上。画图时，也可取切向：径向=1：5的比例求出合力R i 的方向。R i 的作用点即为R i '与衬砌外缘的交点。
将R i 的方向线延长，使之交于竖直轴，量取夹角ψk (自竖直轴反时针方向量度) ，将R i 分解为水平与竖向两个分力： R V =R i cos ψk
R H =R i sin ψk
（5.44)
式中：R i —抗力集中力与摩擦力的合力； ψk —R i 的延长线与竖直轴的夹角。
R j
—抗力集中力与摩擦力的合力； —
R H 、R V R j
分解的水平与竖直两个分力。
以上计算例入表5.20中， 并参见图5.1。
（4）计算单位抗力图及其相应的摩擦力在基本结构中产生的内力
弯矩 M i
0=-∑R j r ji (5.55) 轴力 (5.56)
式中：r ji -力R j 至接缝中心点k i 的力臂，有图上量得
计算见表5.21及表5.22。
M 表5.21 计算表
N I 0=sin α∑R V -cos α∑R H
表5.22
0N 计算表
（5）单位抗力及相应摩擦力产生的载位移，计算过程见表5.23。
校核∆1s
∆1=⎰
M 1M σ0M 0σ∆S
≈=4.8398⨯10-8⨯(-3153.0624)=-0.0001526 ∑E h I E h I M 2M σ0yM 0σ∆S ≈=4.8398⨯10-8⨯(-21853.3163)=-0.001057 ∑E h I E h I
∆2=⎰
s
+∆2=-0.0001526-0.001057=-0.0012096
∆s 0
1+y )M σ(∆S
==-4.8398⨯10-8⨯24971.4146=-0.0012086 ∑E h I
闭合差∆≈0。
4. 墙底（弹性地基上的刚性梁）位移 （1）单位弯矩作用下的转角： a =
196-6
==192⨯106
kI 80.5⨯10
（2）主动荷载作用下的转角：
00-6
βα=-1191409.4976⨯10-6 p =M 8p a =-6205.2578⨯192⨯10
（3）单位抗力及相应摩擦力作用下的转角：
0-6-6 βa 0=M 8 =-16.1117⨯192⨯10=-3093.4464⨯10σa
5.4.4解力法方程
衬砌矢高： f =y 8=8.0109m
a 11=δ11+βa =(41.8159+192)⨯10-6=233.8159⨯10-6
a 12=δ12+f a =(132.3787+8.0109⨯192)⨯10-6=1670.4715⨯10-6
2
a 22=δ22+f
a =(735.673+8.01092⨯192)⨯10-6=13057.1806⨯10-6
00
a 10=∆1p +βap +∆+βa ⨯σh ()
=-(1331552.1821+3246.0464σh )⨯10-6
00a 20=∆2p +f βap +∆2+f βa ⨯σh ()
=-(10246366.652+25838.2898σh )⨯10-6
以上将单位抗力及相应摩擦力产生的位移乘以 求解方程为： X 1=
=
σh
，即为被动荷载的载位移。
a 22a 10-a 12a 20
2
a 12-a 11a 22
13057.1806⨯-1331552.1821-3246.0464σh -1670.4715⨯(-10246366.652-2538.2898σh )
1670.4715-233.8159⨯13057.1806
()
=1028.7711-2.9635σh
式中：X 1p =1028.7711，X 1=-2.9635 X 2=
=
a 11a 20-a 12a 10
2
a 12-a 11a 22
233.8159⨯-10246366.652-25838.2898σh -1670.4715⨯-1331552.1821-3246.0464σh
1670.4715-233.8159⨯13057.1806
()(
)
=653.1145+2.3580σh
式中：X 2p =653.1145，X =2.3580
5.4.5计算主动荷载和被动荷载分别产生的衬砌内力
计算公式为： M p =X 1p +yX 2p +M p
N p =X 2p ⨯cos φ+N P
(5.57)
0 M 1=X 1+yX 2+M σ
0 N 1=X 2⨯cos φ+N σ
(5.58)
计算过程列入表5.24和表5.25中。
5.4.6计算最大抗力值
参照王毅才主编的《隧道工程》第七章—隧道结构计算：
由式： δhp ≅
∆s (y h -y ) M p
∑ E I
δh σ≅
（5.59）
∆s (y h -y ) M σ
∑E I
并考虑接缝5的径向位移与水平方向有一定的偏离，因此将其修正如下：
δhp =δ5p =
∆s (y 5-y i ) M p
∑sin ϕ5 E I
∆s (y 5-y i ) M σ
∑sin ϕ5 E I
δh σ=δ5σ=
（5.60）
计算过程列入表5.26。
位移值为： δhp =4.8398⨯10-8⨯592120.508⨯0.9322=26714.4733⨯10-6
δh σ=4.8398⨯10-8⨯1930.2959⨯0.9322=-87.0884⨯10-6
δhp
-δh σk
26714.4733⨯10-6
==299.8648
-6
+87.0884⨯100.5⨯10
则可得最大抗力：σh =
计算过程列入表5.27。
续上表
根据拱顶切开点之相对转角和相对水平位移应为零的条件来检查。
(5.61) 式中：
∆S M
∑I +βa =0 E h
∆S M
=-4.8398⨯10-8⨯5587.8240=-270.4395⨯10-6 ∑E h I
βa =M 8a =1.4105⨯192⨯10-6=270.8213⨯10-6
270.8213-270.4395
⨯100%=0.14% 闭合差： ∆=
270.8213
(5.62)
∆S M
+f βa =0
∑E h I
∆S yM
=-4.8398⨯10-8⨯24256.0777=-2165.9283⨯10-6 ∑E h I
f βa =8.0109⨯270.8213⨯10-6=2169.5223⨯10-6
闭合差： ∆=
5.4.7内力图
2169.5223-2165.9283
⨯100%=0.1656%
2169.5223
将内力计算结果按比例尺绘制弯矩图M 及轴力图N ，如图5.4所示。
图5.4 衬砌结构内力图
5.5浅埋衬砌截面强度验算
衬砌截面（浅埋）需要验算的截面有拱顶截面、最大负弯矩截面、最大正弯矩
截面、拱脚截面、最大轴力截面。由于最大负弯矩出现在拱顶，最大正弯矩出现拱脚，因此本设计中明洞衬砌需要进行验算的截面有，拱顶截面、拱脚截面、最大轴力截面。 可用到公式有：
h
e =ηe 0+-a （5.63）
2
e '=ηe 0+
h
-a ' （5.64） 2
x ⎫⎛
'e ')=R w bx e -h 0+⎪ （5.65） R g (A g e +A g
2⎭⎝
5.5.1拱顶截面（0截面）强度验算
'，b =1m ，h =0.5m 其中：b 为截面宽度，h 为截面厚 1、根据构造配筋A g =A g 度。
2、偏心距计算
M
=0.103m ＜0.45h =0.45⨯0.5=0.225m N
此构件为偏心受压构件，应考虑偏心距增大系数的影响，按偏心构件对其进行
e 0=
验算。
3、假定为大偏心构件
对于隧道衬砌、明洞拱圈和墙背紧密回填的明洞边墙，可取偏心距增大系数
η=1
4、在弯矩作用平面的强度验算
构件所受弯距为正弯距，下侧受拉，根据配筋图，纵向受力钢筋采用HRB335,
面积A g =2463mm
2
，钢筋直径28 mm 。箍筋选10mm 。混凝土强度等级采用
C25, 混凝土保护层厚度取40mm ，经查规范抗拉强度标准值分别为R g =335MPa ， MPa ，混凝土强度标准值为R ω=18.5MPa R ＇g =268
2828
=54mm ，a ＇=40+=54mm 。 22
由公式（5.43）可计算出e =1⨯103+250-54=299mm
a =40+
由公式（5.44）可以算出e =1⨯103-250+54=-93mm
＇
N 作用于A g 和A ＇g 中心之间时由公式（5.44）得
x
335⨯(2463⨯299-2463⨯93) =18.5⨯1000x (299-446+)
2
0m 8 解得 x =346. 96m
而ξb h ︒=0.55h 0=245.3mm ，x ＞ξb h ︒。且2a '=108mm , x ＞2a '。则为小偏心受压构件，构件破坏为混凝土受压破坏，故K =2.0，截面承载力验算按下式计算：
'(h 0-a ') KNe ≤0. 5R a bh 02+R g A g （5.66）
左边=2.0⨯1360.1957⨯0.299=813.3970KN ⋅m
右边=0.5⨯14.8⨯1000⨯4462+335⨯2463⨯392=1795.4196KN ⋅m 左边＜右边
'重心之间，故还应满足下式： 由于N 作用在钢筋A g 与钢筋A g
KN e '≤0. 5R a bh 02+R g A g (h 0-a )
（5.67）
由于e ＞e ' ，a =a '，故上式满足 5、在垂直于弯距作用平面内的强度验算
l ︒=11.4697m ，H =0.5⨯l ︒=0.5⨯11.4697=5.7349m 长细比
l 05.7342
==11.4697，经查规范ϕ=0.9736。 h 0.5
'A g ')≥KN 则： N u =0. 9ϕ(R ωA +R g
=0.9⨯0.9736⨯(550000⨯18.5+268⨯2463)×10-3
=9143.0770KN
K ·N =2.0⨯1360.1957=2720.3914KN
N u ＞K ·N
所以强度验算合格。 6、裂缝宽度验算
由于e =η⨯e 0=1⨯103=103mm ＜0.5h 0=223mm ，故可不进行裂缝宽度验算。 5.5.2拱脚截面(8截面) 强度验算
'，b =1m ，h =0.5m 其中：b 为截面宽度，h 为截面 1、根据构造配筋A g =A g 厚度。
2、偏心距计算
e 0=
M
=0.0007m
此构件为偏心受压构件，应考虑偏心距增大系数的影响，按偏心构件对其进行验算。
3、假定为大偏心构件
对于隧道衬砌、明洞拱圈和墙背紧密回填的明洞边墙，可取偏心距增大系数
η=1。
4、在弯矩作用平面的强度验算
构件所受弯距为正弯距，下侧受拉，根据配筋图，纵向受力钢筋采用HRB335, 面积A g =2463mm2／m ，钢筋直径28 mm。箍筋选10mm 。混凝土强度等级采用C25, 混凝土保护层厚度取40mm ，经查规范抗拉强度标准值分别为R g =335MPa ，
R ＇g =268 MPa ，混凝土强度标准值为R ω=18.5MPa 。
2828
=54mm ，a ＇=40+=54mm 。 22
由公式（5.43）可计算出e =1⨯0.7+250-54=196.7mm
a =40+
由公式（5.44）可以算出e =1⨯0.7-250+54=-195.3mm
＇
N 作用于A g 和A ＇g 中心之间时由公式（5.44）得
x
335⨯(2463⨯196.7-2463⨯195.3) =18.5⨯1000x (196.7-446+)
2
0m 3 解得 x =498. 85m
而ξb h ︒=0.55h 0=245.3mm ，x ＞ξb h ︒。且2a '=108mm , x ＞2a '。则为小偏心受压构件，构件破坏为混凝土受压破坏，故K =2.0，截面承载力验算按下式计算：
'(h 0-a ') KNe ≤0. 5R a bh 02+R g A g
（5.68）
左边=2.0⨯1892.2749⨯196.7=744.42KN ⋅m
右边=0.5⨯14.8⨯1000⨯4462+335⨯2463⨯392=1795.4196KN ⋅m 左边＜右边
'重心之间，故还应满足下式： 由于N 作用在钢筋A g 与钢筋A g
KN e '≤0. 5R a bh 02+R g A g (h 0-a )
（5.69）
由于e ＞e ' ，a =a '，故上式满足 5、在垂直于弯距作用平面内的强度验算
l ︒=11.4697m ，H =0.5⨯l ︒=0.5⨯11.4697=5.7349m 长细比
H 5.7349==11.4697，经查规范ϕ=0.9736。 h 0.5
'A g ')≥KN 则：N u =0. 9ϕ(R ωA +R g
=0.9⨯0.9736⨯(550000⨯18.5+268⨯2463)×10-3 =9143.077KN
N =2.0⨯1892.2749=3784.5498KN K ·
N u ＞K ·N 所以强度验算合格。 6、裂缝宽度验算
由于e =η⨯e 0=1⨯0.7=0.7mm ＜0.55h 0=245.3mm ，故可不进行裂缝宽度验算。
5.6本章小结
本章系统的进行了衬砌计算，包括荷载的计算、衬砌内力计算、衬砌验算。分别分了超浅埋、浅埋、深埋进行计算和验算，并都符合了要求。分别绘制了内力图等，更直观更具体。计算量再次加大，并进行闭合验算，使结果更加准确。特别要注意细心，欲速则不达。