简谐运动
一、本周内容：
1、简谐运动
2、振幅、周期和频率
二、本周重点：
1、简谐运动过程中的位移、回复力、加速度和速度的变化规律
2、简谐运动中回复力的特点
3、简谐运动的振幅、周期和频率的概念
4、关于振幅、周期和频率的实际应用
二、知识点要点：
1、机械振动
（1）定义：物体在平衡位置附近所做的往复运动，叫做机械振动，简称振动。
（2）产生振动的条件：
①物体受到的阻力足够小
②物体受到的回复力的作用
手施力使水平弹簧振子偏离平衡位置，感到振子受到一指向平衡位置的力，它总要使振子返回平衡位置，所以叫做回复力。回复力是根据力的作用效果命名的。回复力可以是弹力，也可以是其他的力，或几个力的合力，或某个力的分力。
（3）机械振动是一种普遍的运动形式，大至地壳振动，小至分子、原子的振动。
2、简谐运动
（1）定义：物体在跟位移的大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力作用下的运动，叫简谐运动
（2）条件：物体做简谐运动的条件是F=-kx，即物体受到的回复力F 跟位移大小成正比，方向跟位移方向相反。
（3）对F=-kx的理解：对一般的简谐运动，k 是一个比例常数，不同的简谐运动，K 值不同，k 是由振动系统本身结构决定的物理量，在弹簧振子中，k 是弹簧的劲度系数。
3、简谐运动的特点
（1）回复力：物体在往复运动期间，回复力的大小和方向均做周期性的变化，物体处在最大位移处时的回复力最大，物体处于平衡位置时的回复力最小（为零），物体经过平衡位置时，回复力的方向发生改变。
（2）加速度：由力与加速度的瞬时对应关系可知，回复力产生的加速度也是周期性变化的，且与回复力的变化步调相同。
（3）位移：物体做简谐运动时，它的位移（大小和方向）也是周期性变化的，为研究问题方便，选取平衡位置位移的起点，物体经平衡位置时位移的方向改变。
（4）速度：简谐运动是变加速运动，速度的变化也具有周期性（包括大小和方向），物体经平衡位置时的速度最大，物体在最大位移处的速度为零，且物体的速度方向改变。
4、振幅（A ）
（1）定义：振动物体离开平衡位置的最大距离，单位：m
（2）作用：描述振动的强弱。
（3）振幅和位移的区别：对于一个给定的振动，振子的位移是时刻变化的，但振幅是不变的，位移是矢量，振幅是标量，它等于最大位移的大小。
5、周期和频率
（1）周期（T ）：振动物体完成一次全振动所需要的时间，单位：s
（2）频率（f ）：单位时间内完成全振动的次数，单位：Hz
（3）一次全振动（往返一次）：振动物体经过一段时间的运动，位移、加速度、速度都恢复为原来的状态，即完成一次全振动。如振子从O→B→O→C→O或从B→O→C→O→B等。
（4）周期与频率的关系：f=1/T 1Hz=1/s=s-1
（5）作用：描述振动的快慢
（6）测量仪器：秒表、节拍器
6、固有周期和固有频率
（1）弹簧振子的周期由振动系统中振子的质量与劲度系数决定，而与振幅无关。
（2
）公式：
四、典型例题： （3）简谐运动的周期和频率由振动系数本身的性质决定，因此叫做固有周期和固有频率。
例1、如图所示，在光滑水平面上，用两根劲度系数分别为k 1、k 2的轻弹簧系住一个质量为m 的小球，开始时，两弹簧均处于原长，后使小球向左偏离x 后放手，可以看到小球将在水平面上作往复振动，试问小球是否作简谐运动？
分析：
为了判断小球的运动性质，需要根据小球的受力情
况，找出回复力，确定它能否写成F=-kx的形式。
解析：
以小球为研究对象，竖直方向处于力平衡状态，水平方向受到两根弹簧的弹力作用，设小球位于平衡位置O 左方某处时，偏离平衡位置的位移为x ，则
左方弹簧受压，对小球的弹力大小为F 1=k1x ，方向向右。
右方弹簧被拉伸，对小球的弹力大小为F 2=k2x 方向向右。
小球所受回复力等于两个弹力的合力，其大小为F=F1+F2=(k1+k2)x ，方向向右，
令k=k1+k2，上式可写成F=kx
由于小球所受回复力的方向与位移x 的方向相反，考虑方向后，上式可表示为F=-kx所以，小球将在两根弹簧的作用下，沿水平面简谐运动。
说明：
由本题可归纳出判断物体是否作简谐运动的一般步骤：确定研究对象（整个物体或某一部分）→分析受力情况→找出回复力→表示成F=-kx的形式（可以先确定F 的大小与x 的关系，再定性判断方向）。
例2、物体做简谐运动时，下列判断中正确的是（ ）
A 、在平衡位置加速度最大。
B 、在平衡位置速度最大。
C 、在运动路径两端速度最大。
D 、在运动路径两端加速度最小。
分析：
物体做简谐运动时受到的回复力为F=-kx
根据牛顿第二定律，物体在振动过程中的加速度为
即加速度的大小与位移成正比，加速度的方向与位移方向相反。
物体在平衡位置时，位移x=0，加速度a=0。
在运动路径两端时，位移最大，加速度也最大，所以A 、D 都错。
物体在运动路径两端时，速度都等于零，C 错。
从两端向平衡位置运动时，物体作加速度大小在变小、速度大小在变大的变加速运动，至平衡位置时速度达最大。B 正确。
答：B 。
例3、一个弹簧振子，第一次用力把弹簧压缩x 后开始振动，第二次把弹簧压缩2x 后开始振动，则两次振动的周期之比和最大加速度的大小之比分别为（ ）
A 、1:2，1:2 B 、1:1，1:1 C 、1:1，1:2 D 、1:2，1:1
分析：
简谐运动物体的周期只决定于振动系统固有的性质，对弹簧振子则由振子的质量与弹簧的劲度系数决定，与起振时的初始位移大小无关。所以周期之比为1:1。弹簧振子在振动中所受的回复力为F=-kx
，其加速度
最大加速度之比为1:2。
答：C 。
，位移越大，振子的加速度也越大，所以两情况中的
例4、如图所示，一个作简谐运动的质点，先后以同样大小的速度通过相距10cm 的A 、B 两点，历时0.5s ，过B 点后再经过t=0.5s质点以方向相反、大小相同的速度再次通过B 点，则质点振动的周期是（ ）。
A 、0.5s B 、1.0s C 、2.0s D 、4.0s
分析：
根据题意，由振动的对称性可知：AB 的中点（设为O ）为平衡位置，A 、B 两点对称分布于O 点两侧；质点从平衡位置O 向右运动到B 的时间应为
质点从B 向右到达右方极端位置（设为D
）的时间
所以，质点从O 到D
的时间
所以T=2s。
答：C 。
说明：
本题的关键是认识振动的对称性，如图所示，设C 、D 为质点振动中左方和右方的极端位置，则由对称性可知：
质点从B→D→B的时间一定等于质点从A→C→A的时
间，即t BDB =tACA =0.5s
所以，质点振动周期T=tAB +tBDB +tBA +tACA =2s
例5、如图所示，竖直悬挂的轻弹簧下端系着A 、B 两球，其质量m A =0.1kg、m B =0.5kg。 静止时弹簧伸长15cm ，若剪断A 、B 间的细线，则A 作简谐运动时的振幅和最大加
速度为多少？g=10m/s2。
分析：
剪断A 、B 间的细线后，A 球成为竖直悬挂的弹簧振子，其振幅由它所处的
初始 状态决定，振动中的最大加速度由振子受到的最大回复力用牛顿第二定律可
算出。
解答：
由两球静止时的力平衡条件，得弹簧的劲度系数为
=40N/m。
剪断A 、B 间细线后，A 球静止悬挂时的弹簧的伸长量为
=2.5cm。
弹簧下端的这个位置就是A 球振动中的平衡位置。
悬挂B 球后又剪断细线，相当于用手把A 球下拉后又突然释放，刚剪断细线时弹簧比静止悬挂A 球多伸长的长度就是振幅，即A=x-xA =15cm-2.5cm=12.5cm。
振动中A 球的最大加速度为
五、练习题： =50m/s2。
1、使物体产生振动的必要条件是（ ）
A 、物体所受到的各个力的合力必须指向平衡位置。
B 、物体受到阻力等于零。
C 、物体离开平衡位置后受到回复力的作用，物体所受的阻力足够小。
D 、物体离开平衡位置后受到回复力F 的作用，且F=-kx（x 为对平衡位置的位移）。
2、如图所示，小球以O 点为平衡位置，A 、B 为两极端位置往复振动，在某位置P 的位移（ ）。
A 、从B 点返回P 时，用线段BP 表示，方向向P 。
B 、只有从O 向P 运动时，才作OP 表示，方向向P 。
C 、用PO 表示，方向向O 。
D 、用OP 表示，方向向P 。
3、关于简谐运动的有关物理量，下列说法中错误的是（ ）
A 、回复力方向总是指向平衡位置。
B 、向平衡位置运动时，加速度越来越小，速度也越来越小。
C 、加速度和速度方向总是跟位移方向相反。
D 、速度方向有时跟位移方向相同，有时相反。
4、作简谐运动的物体每次通过同一位置时，都具有相同的（ ）
A 、加速度 B 、动量 C 、动能 D 、位移 E 、回复力 F 、速度
5、第2题图中，小球受到回复力最大的位置是________；小球加速度最大的位置是_______，速度最大的位置是________，小球在位置A 的加速度方向________；小球在位置P 的加速度方向________。
6、关于简谐运动的以下几个说法中，错误的是（ ）
A 、质点从平衡位置起第1次到最大位移处所需时间为T/4（T 是周期）。
B 、质点走过一个振幅那么长的路程用的时间总是T/4。
C 、质点在T/4时间内走过的路程恒等于一个振幅的长度。
D 、质点在T/4时间内走过的路程可以大于、也可以小于一个振幅的长度。
7、将一个水平方向的弹簧振子从它的平衡位置向旁边拉开5cm ，然后无初速释放，假如这振子振动的频率为5Hz ，则振子在0.8s 内通过的路程是________。
8、一质点在O 点附近做简谐运动，它离开O 点向M 点运动，3s 后，第一次到达M 点；再经过2s ，第二次到达M 点，则这个质点还要经过________s，第三次到达M 点。
六、参考答案：
1、C ．
提示：D 是简谐运动的条件。
2、D ． 3、B ，C 。 4、A ，C ，D ，E 。
5、A 和B ，A 和B ，O 。指向O 。指向O 。
6、B ，C ． 7、0.8m 。 8、14。
简谐运动
一、本周内容：
1、简谐运动
2、振幅、周期和频率
二、本周重点：
1、简谐运动过程中的位移、回复力、加速度和速度的变化规律
2、简谐运动中回复力的特点
3、简谐运动的振幅、周期和频率的概念
4、关于振幅、周期和频率的实际应用
二、知识点要点：
1、机械振动
（1）定义：物体在平衡位置附近所做的往复运动，叫做机械振动，简称振动。
（2）产生振动的条件：
①物体受到的阻力足够小
②物体受到的回复力的作用
手施力使水平弹簧振子偏离平衡位置，感到振子受到一指向平衡位置的力，它总要使振子返回平衡位置，所以叫做回复力。回复力是根据力的作用效果命名的。回复力可以是弹力，也可以是其他的力，或几个力的合力，或某个力的分力。
（3）机械振动是一种普遍的运动形式，大至地壳振动，小至分子、原子的振动。
2、简谐运动
（1）定义：物体在跟位移的大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力作用下的运动，叫简谐运动
（2）条件：物体做简谐运动的条件是F=-kx，即物体受到的回复力F 跟位移大小成正比，方向跟位移方向相反。
（3）对F=-kx的理解：对一般的简谐运动，k 是一个比例常数，不同的简谐运动，K 值不同，k 是由振动系统本身结构决定的物理量，在弹簧振子中，k 是弹簧的劲度系数。
3、简谐运动的特点
（1）回复力：物体在往复运动期间，回复力的大小和方向均做周期性的变化，物体处在最大位移处时的回复力最大，物体处于平衡位置时的回复力最小（为零），物体经过平衡位置时，回复力的方向发生改变。
（2）加速度：由力与加速度的瞬时对应关系可知，回复力产生的加速度也是周期性变化的，且与回复力的变化步调相同。
（3）位移：物体做简谐运动时，它的位移（大小和方向）也是周期性变化的，为研究问题方便，选取平衡位置位移的起点，物体经平衡位置时位移的方向改变。
（4）速度：简谐运动是变加速运动，速度的变化也具有周期性（包括大小和方向），物体经平衡位置时的速度最大，物体在最大位移处的速度为零，且物体的速度方向改变。
4、振幅（A ）
（1）定义：振动物体离开平衡位置的最大距离，单位：m
（2）作用：描述振动的强弱。
（3）振幅和位移的区别：对于一个给定的振动，振子的位移是时刻变化的，但振幅是不变的，位移是矢量，振幅是标量，它等于最大位移的大小。
5、周期和频率
（1）周期（T ）：振动物体完成一次全振动所需要的时间，单位：s
（2）频率（f ）：单位时间内完成全振动的次数，单位：Hz
（3）一次全振动（往返一次）：振动物体经过一段时间的运动，位移、加速度、速度都恢复为原来的状态，即完成一次全振动。如振子从O→B→O→C→O或从B→O→C→O→B等。
（4）周期与频率的关系：f=1/T 1Hz=1/s=s-1
（5）作用：描述振动的快慢
（6）测量仪器：秒表、节拍器
6、固有周期和固有频率
（1）弹簧振子的周期由振动系统中振子的质量与劲度系数决定，而与振幅无关。
（2
）公式：
四、典型例题： （3）简谐运动的周期和频率由振动系数本身的性质决定，因此叫做固有周期和固有频率。
例1、如图所示，在光滑水平面上，用两根劲度系数分别为k 1、k 2的轻弹簧系住一个质量为m 的小球，开始时，两弹簧均处于原长，后使小球向左偏离x 后放手，可以看到小球将在水平面上作往复振动，试问小球是否作简谐运动？
分析：
为了判断小球的运动性质，需要根据小球的受力情
况，找出回复力，确定它能否写成F=-kx的形式。
解析：
以小球为研究对象，竖直方向处于力平衡状态，水平方向受到两根弹簧的弹力作用，设小球位于平衡位置O 左方某处时，偏离平衡位置的位移为x ，则
左方弹簧受压，对小球的弹力大小为F 1=k1x ，方向向右。
右方弹簧被拉伸，对小球的弹力大小为F 2=k2x 方向向右。
小球所受回复力等于两个弹力的合力，其大小为F=F1+F2=(k1+k2)x ，方向向右，
令k=k1+k2，上式可写成F=kx
由于小球所受回复力的方向与位移x 的方向相反，考虑方向后，上式可表示为F=-kx所以，小球将在两根弹簧的作用下，沿水平面简谐运动。
说明：
由本题可归纳出判断物体是否作简谐运动的一般步骤：确定研究对象（整个物体或某一部分）→分析受力情况→找出回复力→表示成F=-kx的形式（可以先确定F 的大小与x 的关系，再定性判断方向）。
例2、物体做简谐运动时，下列判断中正确的是（ ）
A 、在平衡位置加速度最大。
B 、在平衡位置速度最大。
C 、在运动路径两端速度最大。
D 、在运动路径两端加速度最小。
分析：
物体做简谐运动时受到的回复力为F=-kx
根据牛顿第二定律，物体在振动过程中的加速度为
即加速度的大小与位移成正比，加速度的方向与位移方向相反。
物体在平衡位置时，位移x=0，加速度a=0。
在运动路径两端时，位移最大，加速度也最大，所以A 、D 都错。
物体在运动路径两端时，速度都等于零，C 错。
从两端向平衡位置运动时，物体作加速度大小在变小、速度大小在变大的变加速运动，至平衡位置时速度达最大。B 正确。
答：B 。
例3、一个弹簧振子，第一次用力把弹簧压缩x 后开始振动，第二次把弹簧压缩2x 后开始振动，则两次振动的周期之比和最大加速度的大小之比分别为（ ）
A 、1:2，1:2 B 、1:1，1:1 C 、1:1，1:2 D 、1:2，1:1
分析：
简谐运动物体的周期只决定于振动系统固有的性质，对弹簧振子则由振子的质量与弹簧的劲度系数决定，与起振时的初始位移大小无关。所以周期之比为1:1。弹簧振子在振动中所受的回复力为F=-kx
，其加速度
最大加速度之比为1:2。
答：C 。
，位移越大，振子的加速度也越大，所以两情况中的
例4、如图所示，一个作简谐运动的质点，先后以同样大小的速度通过相距10cm 的A 、B 两点，历时0.5s ，过B 点后再经过t=0.5s质点以方向相反、大小相同的速度再次通过B 点，则质点振动的周期是（ ）。
A 、0.5s B 、1.0s C 、2.0s D 、4.0s
分析：
根据题意，由振动的对称性可知：AB 的中点（设为O ）为平衡位置，A 、B 两点对称分布于O 点两侧；质点从平衡位置O 向右运动到B 的时间应为
质点从B 向右到达右方极端位置（设为D
）的时间
所以，质点从O 到D
的时间
所以T=2s。
答：C 。
说明：
本题的关键是认识振动的对称性，如图所示，设C 、D 为质点振动中左方和右方的极端位置，则由对称性可知：
质点从B→D→B的时间一定等于质点从A→C→A的时
间，即t BDB =tACA =0.5s
所以，质点振动周期T=tAB +tBDB +tBA +tACA =2s
例5、如图所示，竖直悬挂的轻弹簧下端系着A 、B 两球，其质量m A =0.1kg、m B =0.5kg。 静止时弹簧伸长15cm ，若剪断A 、B 间的细线，则A 作简谐运动时的振幅和最大加
速度为多少？g=10m/s2。
分析：
剪断A 、B 间的细线后，A 球成为竖直悬挂的弹簧振子，其振幅由它所处的
初始 状态决定，振动中的最大加速度由振子受到的最大回复力用牛顿第二定律可
算出。
解答：
由两球静止时的力平衡条件，得弹簧的劲度系数为
=40N/m。
剪断A 、B 间细线后，A 球静止悬挂时的弹簧的伸长量为
=2.5cm。
弹簧下端的这个位置就是A 球振动中的平衡位置。
悬挂B 球后又剪断细线，相当于用手把A 球下拉后又突然释放，刚剪断细线时弹簧比静止悬挂A 球多伸长的长度就是振幅，即A=x-xA =15cm-2.5cm=12.5cm。
振动中A 球的最大加速度为
五、练习题： =50m/s2。
1、使物体产生振动的必要条件是（ ）
A 、物体所受到的各个力的合力必须指向平衡位置。
B 、物体受到阻力等于零。
C 、物体离开平衡位置后受到回复力的作用，物体所受的阻力足够小。
D 、物体离开平衡位置后受到回复力F 的作用，且F=-kx（x 为对平衡位置的位移）。
2、如图所示，小球以O 点为平衡位置，A 、B 为两极端位置往复振动，在某位置P 的位移（ ）。
A 、从B 点返回P 时，用线段BP 表示，方向向P 。
B 、只有从O 向P 运动时，才作OP 表示，方向向P 。
C 、用PO 表示，方向向O 。
D 、用OP 表示，方向向P 。
3、关于简谐运动的有关物理量，下列说法中错误的是（ ）
A 、回复力方向总是指向平衡位置。
B 、向平衡位置运动时，加速度越来越小，速度也越来越小。
C 、加速度和速度方向总是跟位移方向相反。
D 、速度方向有时跟位移方向相同，有时相反。
4、作简谐运动的物体每次通过同一位置时，都具有相同的（ ）
A 、加速度 B 、动量 C 、动能 D 、位移 E 、回复力 F 、速度
5、第2题图中，小球受到回复力最大的位置是________；小球加速度最大的位置是_______，速度最大的位置是________，小球在位置A 的加速度方向________；小球在位置P 的加速度方向________。
6、关于简谐运动的以下几个说法中，错误的是（ ）
A 、质点从平衡位置起第1次到最大位移处所需时间为T/4（T 是周期）。
B 、质点走过一个振幅那么长的路程用的时间总是T/4。
C 、质点在T/4时间内走过的路程恒等于一个振幅的长度。
D 、质点在T/4时间内走过的路程可以大于、也可以小于一个振幅的长度。
7、将一个水平方向的弹簧振子从它的平衡位置向旁边拉开5cm ，然后无初速释放，假如这振子振动的频率为5Hz ，则振子在0.8s 内通过的路程是________。
8、一质点在O 点附近做简谐运动，它离开O 点向M 点运动，3s 后，第一次到达M 点；再经过2s ，第二次到达M 点，则这个质点还要经过________s，第三次到达M 点。
六、参考答案：
1、C ．
提示：D 是简谐运动的条件。
2、D ． 3、B ，C 。 4、A ，C ，D ，E 。
5、A 和B ，A 和B ，O 。指向O 。指向O 。
6、B ，C ． 7、0.8m 。 8、14。